人教版新课标A选修4-5二 用数学归纳法证明不等式单元测试同步练习题

这是一份人教版新课标A选修4-5二 用数学归纳法证明不等式单元测试同步练习题，共18页。试卷主要包含了 选择题， 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。
一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ， ）

1. 用数学归纳法证明不等1n+1+1n+2+1n+3+...+12n>2324(n≥2)的过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边（ ）
A.增加了一项12(k+1)
B.增加了一项12k+1+12(k+1)
C.增加了12k+1+12(k+1)，又减少了1k+1
D.增加了 12(k+1)，又减少了1k+1

2. 用数学归纳法证明不等式“1+12+13+...+12n≥1+n2(n∈N*)”的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边（ ）
A.增加了1项B.增加了2项C.增加了2k项D.增加了2k+1项

3. 用数学归纳法证明：1+a+a2+...+an+1=1−an+21−a(a≠1)，在验证n=1时，左端计算所得的式子是（ ）
A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3

4. 已知数列{an}满足an=1+12+13+...+1n2，则ak+1−ak共有（ ）项．
A.1B.kC.2kD.2k+1

5. 用数学归纳法证明12+22+...+(n−1)2+n2+(n−1)2+...+22+12=n(2n2+1)3时，从n=k到n=k+1时，等式左边应添加的式子是( )
A.(k−1)2+2k2B.(k+1)2+k2
C.(k+1)2D.13(k+1)[2(k+1)2+1]

6. 在数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证（ ）
A.n=1成立B.n=2成立C.n=3成立D.n=4成立

7. 用数学归纳法证明1+2+3+⋯+n3=n6+n32，n∈N*时，则当n=k+1时，应当在n=k时对应的等式的左边加上（ ）
A.(k3+1)+(k3+2)+...+(k+1)3B.k3+1
C.(k+1)3D.(k+1)6+(k+1)32

8. 如果命题P(n)对n=k(k∈N*)成立，则它对n=k+1也成立，现已知P(n)对n=4不成立，则下列结论正确的是( )
A.P(n)对n≤4且n∈N*不成立B.P(n)对n>4且n∈N*成立
C.P(n)对nn2(n≥2, n∈N*)”的过程中，由“n=k”变到“n=k+1”时，左边增加了________项．

11. 试比较nn+1与(n+1)n(n∈N*)的大小．
当n=1时，有nn+1________(n+1)n（填>、=或、=或、=或、=或0，且a1a4＝27，S4＝24，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＝2bn−1．
（1）求数列{an}的通项公式；

（2）证明数列{bn}为等比数列；

（3）若∀n∈N*，a1b1+a2b2+...+anbn≥(2n−1)t+1恒成立，求实数t的最大值．

17. 已知数列an满足a1=2,anan+1+1=2an．
(1)求a2,a3,a4，试猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明；

(2)记数列lnan的前n项和为Sn，证明：Sn>lnn．

18. 设数列an满足a1=1，a2=3，当n≥2时，an+1=anan−1+1an+an−1+n+2.
(1)计算a3,a4，猜想an的通项公式，并加以证明；

(2)求证： 4a1+12+4a2+12+⋯+4an+120时，f(x)≥0，求实数a的取值范围；

(2)求证： ln2+ln3+⋯+lnn>1+12+13+⋯+1n−n(n≥2).
参考答案与试题解析
2021年人教A版选修4-5数学第4章 用数学归纳法证明不等式单元测试卷含答案
一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）
1.
【答案】
C
【考点】
数学归纳法
【解析】
当n=k时，写出左端，并当n=k+1时，写出左端，两者比较，关键是最后一项和增加的第一项的关系．
【解答】
解：当n=k时，左端1k+1+1k+2+...+12k，
那么当n=k+1时 左端=1k+2+1k+3...+12k+12k+1+12k+2，
故第二步由k到k+1时不等式左端的变化是增加了12k+1和12k+2两项，同时减少了1k+1这一项，
故选：C．
2.
【答案】
C
【考点】
数学归纳法
【解析】
分别把n=k和n=k+1代入不等式计算不等式左边的项数，即可得出答案．
【解答】
解：当n=k时，不等式左边为1+12+13+...+12k，共有2k项，
当n=k+1时，不等式左边为1+12+13+...+12k+12k+1+12k+2+...+12k+1，共有2k+1项，
∴ 不等式左边增加的项数为：2k+1−2k=2k．
故选C．
3.
【答案】
C
【考点】
数学归纳法
【解析】
在验证n=1时，左端计算所得的项．把n=1代入等式左边即可得到答案．
【解答】
解：用数学归纳法证明：1+a+a2+...+an+1=1−an+21−a(a≠1)，
在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a2．
故选：C．
4.
【答案】
D
【考点】
数学归纳法
【解析】
写出ak+1与ak即可推出结果．
【解答】
解：由于ak=1+12+13+...+1k2，ak+1=1+12+13+...+1k2+1k2+1+1k2+2+...+1k2+2k+1，
从而可得ak+1−ak=1k2+1+1k2+2+...+1k2+2k+1，
所以ak+1−ak共有2k+1项．
故选：D．
5.
【答案】
B
【考点】
数学归纳法
【解析】
根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分别写出n=k与n=k+1时的结论，即可得到答案．
【解答】
解：根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，
由于n=k，左边=12+22+...+(k−1)2+k2+(k−1)2+...+22+12
n=k+1时，左边=12+22+...+(k−1)2+k2+(k+1)2+k2+(k−1)2+...+22+12
比较两式，从而等式左边应添加的式子是(k+1)2+k2，
故选B．
6.
【答案】
C
【考点】
数学归纳法
【解析】
数学归纳法第一步应验证n的最小值时，命题是否成立．
【解答】
解：多边形的边数最少是3，即三角形，
∴ 第一步验证n等于3．
故选C．
7.
【答案】
A
【考点】
数学归纳法
【解析】
分别使得n＝k，和n＝k+1代入等式，然后把n＝k+1时等式的左端减去n＝k时等式的左端，即可得到答案．
【解答】
解：当n=k时，等式左端=1+2+...+k3，
当n=k+1时，
等式左端=1+2+...+k3+(k3+1)...+(k+1)3，
∴ 应该增加的是(k3+1)+(k3+2)+...+(k+1)3.
故选A.
8.
【答案】
A
【考点】
数学归纳法
【解析】
本题主要考查数学归纳法的递推关系.
【解答】
解：原命题为真，则逆否命题一定为真，原命题的逆否命题为：如果命题P(n)对n=k+1不成立，则它对n=k也不成立，现已知P(n)对n=4不成立，则P(n)对n=3不成立，则P(n)对n=2,1也不成立，即P(n)对n≤4且n∈N*不成立.
故选A.
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
9.
【答案】
12k+1−12k+2
【考点】
数学归纳法
【解析】
求出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．
【解答】
解：n=k时，左边=1k+1+1k+2+...+12k，n=k+1时，左边=1k+2+...+12k+12k+1+12k+2，
∴ 从n=k到n=k+1时，左边要增加的表达式为12k+1+12k+2−1k+1=12k+1−12k+2，
故答案为：12k+1−12k+2．
10.
【答案】
2k
【考点】
数学归纳法
【解析】
，最后一项为12k−1，n＝k+1时，最后一项为12k+1−1，由此可得由n＝k变到n＝k+1时，左边增加的项数．
【解答】
解：由题意，n=k时，最后一项为12k−1，n=k+1时，最后一项为12k+1−1，
∴ 由n=k变到n=k+1时，左边增加了2k+1−(2k+1)+1=2k.
故答案为：2k.
11.
【答案】

【考点】
用数学归纳法证明不等式
【解析】
本题考查的知识点是归纳推理与数学归纳法，我们可以列出nn+1与(n+1)n(n∈N*)的前若干项，然后分别比较其大小，然后由归纳推理猜想出一个一般性的结论，然后利用数学归纳法进行证明．
【解答】
解：当n=1时，nn+1=1，(n+1)n=2，此时，nn+1(n+1)n，
根据上述结论，我们猜想：当n≥3时，nn+1>(n+1)n(n∈N*)恒成立．
①当n=3时，nn+1=34=81>(n+1)n=43=64
即nn+1>(n+1)n成立．
②假设当n=k时，kk+1>(k+1)k成立，即：kk+1(k+1)k>1
则当n=k+1时，(k+1)k+2(k+2)k+1=(k+1)⋅(k+1k+2)k+1>(k+1)⋅(kk+1)k+1=kk+1(k+1)k>1
即(k+1)k+2>(k+2)k+1成立，即当n=k+1时也成立，
∴ 当n≥3时，nn+1>(n+1)n(n∈N*)恒成立．
12.
【答案】
4k+2
【考点】
数学归纳法
【解析】
从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式是(k+1+k)(k+1+k+1)k+1，化简即可得出．
【解答】
用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)＝2n⋅1⋅3⋅5…(2n−1)(n∈N*)时，
从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式是(k+1+k)(k+1+k+1)k+1=2(2k+1)．
三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 12 分 ，共计84分 ）
13.
【答案】
证明：（1）当n＝1时，左边＝1，中间=12×224=1，右边＝12＝1，
∴ 等式成立，
（2）假设当n＝k时，等式成立，即13+23+33+...+k3=k2(k+1)24=(1+2+3+...+k)2，
那么，当n＝k+1时，有13+23+33+...+k3+(k+1)3=k2(k+1)24+(k+1)3
＝(k+1)2⋅(k24+k+1)
＝(k+1)2⋅k2+4k+44
=(k+1)2(k+2)24
=(k+1)2[(k+1)+1]24=(1+2+3+...+k+1)2，
这就是说，当n＝k+1时，等式也成立，
根据（1）和（2），可知对n∈N*13+23+33+...+n3=n2(n+1)24=(1+2+3+...+n)2等式成立．
【考点】
数学归纳法
【解析】
用数学归纳法证明：（1）当n＝1时，验证等式成立；（2）假设当n＝k时，等时成立，用上归纳假设后，去证明当n＝k+1时，等式也成立即可．
【解答】
证明：（1）当n＝1时，左边＝1，中间=12×224=1，右边＝12＝1，
∴ 等式成立，
（2）假设当n＝k时，等式成立，即13+23+33+...+k3=k2(k+1)24=(1+2+3+...+k)2，
那么，当n＝k+1时，有13+23+33+...+k3+(k+1)3=k2(k+1)24+(k+1)3
＝(k+1)2⋅(k24+k+1)
＝(k+1)2⋅k2+4k+44
=(k+1)2(k+2)24
=(k+1)2[(k+1)+1]24=(1+2+3+...+k+1)2，
这就是说，当n＝k+1时，等式也成立，
根据（1）和（2），可知对n∈N*13+23+33+...+n3=n2(n+1)24=(1+2+3+...+n)2等式成立．
14.
【答案】
1解：当n=1时，
f(1)=1，g(1)=1，
所以f(1)=g(1).
当n=2时，
f(2)=98，g(2)=118，
所以f(2)1+12+13+⋯+1n−n(n≥2)，
即ln2+ln3+⋯+lnn>1+12+13+⋯+1n−n(n≥2).
【考点】
用数学归纳法证明不等式
不等式的证明
利用导数研究函数的单调性
【解析】
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【解答】
(1)解：f(x)的定义域为(0,+∞)，
由f(x)≥0，得a≤x+xlnx，
令g(x)=x+xlnx，
则g′(x)=1+lnx+1=lnx+2，g′(e−2)=0，
当00时，g(x)≥g(e−2)=e−2−2e−2=−e−2，
∴a≤−e−2，
即a的取值范围是(−∞,−e−2].
(2)证明：当a=1时，f(x)=lnx−1x+1,
f′(x)=1x+1x2=x+1x2>0，
∴f(x)在[1,+∞)上是增函数，
∴x>1时，f(x)>f(1)=0，
∴x>1时，lnx−1x+1>0,lnx>1x−1，
∴ln2>12−1,ln3>13−1,⋯,lnn>1n−1，
∵ln1=1−1，
∴ln1+ln2+ln3+⋯+lnn>1+12+13+⋯+1n−n(n≥2)，
即ln2+ln3+⋯+lnn>1+12+13+⋯+1n−n(n≥2).