第4章 第1节　任意角、弧度制与任意角的三角函数-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）教案

这是一份第4章 第1节　任意角、弧度制与任意角的三角函数-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）教案，共10页。教案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动体验等内容，欢迎下载使用。

一、教材概念·结论·性质重现
1．角的概念
(1)分类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))
(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
2．弧度的定义和公式
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
(2)公式
①弧度与角度的换算：360°＝2π rad,180°＝π rad.
②弧长公式：l＝αR.
③扇形面积公式：S扇形＝eq \f(1,2)lR和S扇形＝eq \f(1,2)αR2.
说明：②③公式中的α必须为弧度制．
有关角度与弧度的两个注意点
角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
3．三角函数的概念
(1)定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)．
①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α；
②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cs α，即x＝cs α；
③把点P的纵坐标与横坐标的比值eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tan α，即eq \f(y,x)＝tan α(x≠0)．
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数．
(2)三角函数定义的推广：设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
(3)三角函数值在各象限内的符号．(口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦)
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)小于90°的角是锐角．(×)
(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×)
(3)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．(×)
(4)三角形的内角必是第一、第二象限角．(×)
2．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cs α＝( )
A．eq \f(4,5) B．eq \f(3,5) C．－eq \f(3,5) D．－eq \f(4,5)
D 解析：记P(－4,3)，则x＝－4，y＝3，r＝|OP|＝eq \r(－42＋32)＝5.故cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(－4,5)＝－eq \f(4,5).故选D．
3．已知sin A>0且tan A<0，则角A的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B 解析：因为sin A>0，所以角A为第一或第二象限角；因为tan A<0，所以角A为第二或第四象限角，所以角A为第二象限角．
4．在与2 020°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．
－eq \f(7π,9) 解析：2 020°＝eq \f(101π,9)＝12π－eq \f(7π,9)，所以与2 020°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为－eq \f(7π,9).
5．已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．
6π 解析：设此扇形的半径为r.由题意得eq \f(π,3)r＝2π，所以r＝6.所以此扇形的面积为eq \f(1,2)×2π×6＝6π.
考点1 象限角及终边相同的角——基础性
1．(多选题)下列四个命题中，正确的是( )
A．－eq \f(3π,4)是第二象限角
B．eq \f(4π,3)是第三象限角
C．－400°是第四象限角
D．－315°是第一象限角
BCD 解析：－eq \f(3π,4)是第三象限角，故A错误；eq \f(4π,3)＝π＋eq \f(π,3)，从而eq \f(4π,3)是第三象限角，故B正确；－400°＝－360°－40°，是第四象限角，故C正确；－315°＝－360°＋45°，是第一象限角，故D正确．
2．集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
C 解析：当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋eq \f(π,4)≤α≤2nπ＋eq \f(π,2)(n∈Z)，此时α的终边在eq \f(π,4)～eq \f(π,2)内；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋eq \f(π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq \f(π,2)(n∈Z)，此时α的终边在π＋eq \f(π,4)～π＋eq \f(π,2)内，结合选项知选C.
3．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．
－675°或－315° 解析：所有与45°终边相同的角表示为β＝45°＋k×360°(k∈Z)．令－720°<45°＋k×360°<0°(k∈Z)，得－765°4．若角α是第二象限角，则eq \f(α,2)是第________象限角．
一或三 解析：因为α是第二象限角，所以eq \f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，所以eq \f(π,4)＋kπ考点2 扇形的弧长、面积公式——综合性
已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形的圆心角；
(3)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解：(1)因为α＝60°＝eq \f(π,3)，
所以l＝α·R＝eq \f(π,3)×10＝eq \f(10π,3)(cm)．
(2)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2R＋α·R＝10，,\f(1,2)α·R2＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(R＝1，,α＝8))(舍去)或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(R＝4，,α＝\f(1,2).))
故扇形的圆心角为eq \f(1,2).
(3)由已知得l＋2R＝20(cm)．
(方法一)S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.
所以，当R＝5 cm时，S取得最大值，且最大值为25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2.
(方法二)S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,4)l(2R)≤eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l＋2R,2)))eq \s\up8(2)＝25，
当且仅当l＝2R＝10，即R＝5时，Smax＝25 cm2，
此时α＝2.
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积的最大值问题，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决，也可以通过“配凑”法利用基本不等式求最值．
1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
C 解析：设扇形的半径为r(r＞0)，弧长为l.由扇形面积公式可得2＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)αr2＝eq \f(1,2)×4×r2，解得r＝1，l＝αr＝4.所以所求扇形的周长为2r＋l＝6.
2．(2021·青铜峡市高三期中)《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为eq \f(π,4)米，肩宽约为eq \f(π,8)米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为( )
A．1.012米 B．1.768米 C．2.043米 D．2.945米
B 解析：“弓”所在弧长为l＝eq \f(π,4)＋eq \f(π,4)＋eq \f(π,8)＝eq \f(5π,8)，其所对圆心角为α＝eq \f(\f(5π,8),\f(5,4))＝eq \f(π,2)，所以两手之间的距离约为eq \r(2)×1.25≈1.768.
考点3 三角函数的定义及应用——应用性
考向1 三角函数的定义
(1)已知点M在角θ终边的反向延长线上，且|OM|＝2，则点M的坐标为( )
A．(2cs θ，sin θ) B．(－2cs θ，2sin θ)
C．(－2cs θ，－2sin θ) D．(2cs θ，－2sin θ)
C 解析：由任意角的三角函数定义，可知角θ的终边上的点M′的坐标为(2cs θ，2sin θ)，其中|OM′|＝2.因为|OM|＝2，所以点M和点M′关于原点对称，所以点M的坐标为(－2cs θ，－2sin θ)．
(2)(2020·深圳模拟)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cs α＝－eq \f(4,5)，则m的值为( )
A．eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C．±eq \f(1,2) D．±eq \f(\r(3),2)
A 解析：因为角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)＝(－8m，－3)，cs α＝－eq \f(4,5)<0，所以角α的终边在第三象限，则m>0，|OP|＝eq \r(64m2＋9).
由cs α＝eq \f(－8m,\r(64m2＋9))＝－eq \f(4,5)，解得m＝eq \f(1,2)(m>0)．
三角函数定义的应用策略
(1)已知角α终边上一点P的坐标，可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的终边所在的直线方程(注意分为两条射线)，可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义求解．
(3)已知角α的某个三角函数值，求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．
考向2 三角函数值的符号
(1)(2020·全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则( )
A．cs 2α>0 B．cs 2α<0
C．sin 2α>0 D．sin 2α<0
D 解析：因为α是第四象限角，所以－eq \f(π,2)＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，所以－π＋4kπ<2α<4kπ，k∈Z，所以角2α的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上，所以sin 2α<0，cs 2α可正、可负、可为零．故选D.
(2)sin 2·cs 3·tan 4的值( )
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．大于等于0
A 解析：因为eq \f(π,2)＜2＜3＜π＜4＜eq \f(3π,2)，
所以sin 2＞0，cs 3＜0，tan 4＞0.
所以sin 2·cs 3·tan 4＜0.故选A．
(3)若sin αtan α＜0，且eq \f(cs α,tan α)＜0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
C 解析：由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角．由eq \f(cs α,tan α)＜0可知cs α，tan α异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．
(1)三角函数值符号及角的终边位置判断．
已知角的三角函数值(sin α，cs α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．
(2)三角函数值的符号规律．
一全正、二正弦、三正切、四余弦．
1．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cs α＝eq \f(1,5)x，则tan α＝( )
A．eq \f(4,3) B．eq \f(3,4) C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(4,3)
D 解析：因为α是第二象限角，所以cs α＝eq \f(1,5)x<0，即x<0.又cs α＝eq \f(1,5)x＝eq \f(x,\r(x2＋16))，解得x＝－3，所以tan α＝eq \f(4,x)＝－eq \f(4,3).
2．(2020·永州祁阳二模)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝－2x上，则sin 2θ＝( )
A．eq \f(3,5) B．－eq \f(3,5) C.eq \f(4,5) D．－eq \f(4,5)
D 解析：在角θ的终边所在直线y＝－2x上任取一点P(a，－2a)(a≠0)，则r＝|OP|＝eq \r(5)|a|.由三角函数的定义知sin θ＝eq \f(－2a,\r(5)|a|)，cs θ＝eq \f(a,\r(5)|a|)，故sin 2θ＝2sin θ·cs θ＝2·eq \f(－2a,\r(5)|a|)·eq \f(a,\r(5)|a|)＝－eq \f(4,5).故选D.
3．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cs α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是( )
A．(－2,3] B．(－2,3) C．[－2,3) D．[－2,3]
A 解析：因为cs α≤0，sin α>0，所以角α的终边在第二象限或y轴的正半轴上．所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－9≤0，,a＋2>0，))所以－2课程标准
命题解读
1.借助单位圆建立一般三角函数的概念，体会引入弧度制的必要性．
2.用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性(对称性)、单调性和最大(小)值等性质．
3.探索和研究三角函数之间的一些恒等关系．
4.利用三角函数构建数学模型，解决实际问题．
5.能用余弦定理，正弦定理解决简单的实际问题.
考查形式：一般为一个选择题或一个填空题和一个解答题
考查内容：三角函数的定义、图象与性质、同角三角函数基本关系、诱导公式、三角恒等变换、正弦定理、余弦定理．
备考策略：(1)熟练应用同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角恒等变换公式化简、求值．
(2)重视对三角函数图象和性质的研究，注意将问题和方法进行归纳、整理．
(3)加强正弦、余弦定理应用方面的训练．
核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算.
(1)判断象限角的两种方法.
图象法
在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角
转化法
先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角
(2)确定kα，eq \f(α,k)(k∈N*)的终边位置的步骤．
①用终边相同的角的形式表示出角α的范围．
②写出kα或eq \f(α,k)的范围．
③根据k的可能取值确定kα或eq \f(α,k)的终边所在的位置．