第2章 第6节　对数与对数函数-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）教案

这是一份第2章 第6节　对数与对数函数-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）教案，共9页。教案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动体验等内容，欢迎下载使用。
一、教材概念·结论·性质重现
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM (n∈R)．
(2)对数的性质
①lga1＝0；②lgaa＝1；③aeq \s\up10(lgaN)＝N；
④lgaaN＝N(a>0，且a≠1)．
(3)对数的换底公式
lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
换底公式的三个重要结论
(1)lgab＝eq \f(1,lgba).
(2)lgeq \s\d6(am)bn＝eq \f(n,m)lgab.
(3)lgab·lgbc·lgcd＝lgad.
其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，c>0，且c≠1，m，n∈R.
3．对数函数
(1)一般地，函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
对数函数图象的特征
(1)由图可知，00，且a≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x)＝( )
A．lg2x B．eq \f(1,2x) C．lg0.5x D．2x－2
A 解析：由题意知f (x)＝lgax(a>0，且a≠1)．因为f (2)＝1，所以lga2＝1.所以a＝2.所以f (x)＝lg2x.
考点1 对数运算问题——基础性
1．填空：
(1)eq \f(1,2)lg 25＋lg 2－lgeq \r(0.1)－lg29×lg32的值是________．
(2)已知2x＝12，lg2eq \f(1,3)＝y，则x＋y的值为________．
(3)设2a＝5b＝m，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，则m＝________.
(1)－eq \f(1,2) (2)2 (3)eq \r(10) 解析：(1)原式＝lg 5＋lg 2＋eq \f(1,2)－2＝1＋eq \f(1,2)－2＝－eq \f(1,2).
(2)因为2x＝12，所以x＝lg212，
所以x＋y＝lg212＋lg2eq \f(1,3)＝lg24＝2.
(3)因为2a＝5b＝m>0，所以a＝lg2m，b＝lg5m，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,lg2m)＋eq \f(1,lg5m)＝lgm2＋lgm5＝lgm10＝2.所以m2＝10.所以m＝eq \r(10).
2．(2021·北京二中高三月考)在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位ml/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位ml/L，记作[OH－])的乘积等于常数10－14.已知pH值的定义为pH＝－lg[H＋]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的eq \f([H＋],[OH－])可以为(参考数据： lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,6) D．eq \f(1,10)
C 解析：由题设有eq \f([H＋],[OH－])＝eq \f([H＋]2,10－14)＝1014[H＋]2.又10－7.45≤[H＋]≤10－7.35 ，所以10－0.9≤1014[H＋]2≤10－0.7.所以－0.9≤lg1014[H＋]2≤－0.7.又lg eq \f(1,2)≈－0.3，lg eq \f(1,3)＝－0.48，lg eq \f(1,6)＝－0.78，lg eq \f(1,10)＝－1，只有lg eq \f(1,6)在范围之中．故选C．
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.
考点2 对数函数的图象及应用——综合性
(1) 已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f (x)＝ln(x＋1)，则函数f (x)的大致图象为( )
C 解析：先作出当x≥0时，f (x)＝ln(x＋1)的图象，显然图象经过点(0,0)，再作此图象关于y轴对称的图象，可得函数f (x)在R上的大致图象，如选项C中图象所示．
(2)当0＜x≤eq \f(1,2)时，4x＜lgax，则实数a的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
C．(1，eq \r(2))D．(eq \r(2)，2)
B 解析：易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝lgax的大致图象如图．
由题意可知只需满足lgaeq \f(1,2)＞4eq \s\up8(eq \f(1,2))，解得a＞eq \f(\r(2),2)，所以eq \f(\r(2),2)＜a＜1.故选B．
1．将本例(2)中“4x＜lgax”变为“4x＝lgax有解”，则实数a的取值范围为________．
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) 解析：若方程4x＝lgax在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上有解，则函数y＝4x与函数y＝lgax的图象在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上有交点．
由图象可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜a＜1，,lga\f(1,2)≤2，))解得0＜a≤eq \f(\r(2),2)，即a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))).
2．若本例(2)变为：已知不等式x2－lgax