2020-2021学年湖南省长沙市雨花外国语学校八年级（下）开学数学试卷

这是一份2020-2021学年湖南省长沙市雨花外国语学校八年级（下）开学数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列几组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．5，12，13B．9，40，41C．3，4，5D．2，3，4
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（ab）2＝a2b2C．（a2）3＝a5D．a12÷a3＝a4
3．（3分）下列二次根式中，（ ）是最简二次根式．
A．B．C．D．
4．（3分）△ABC中，∠B＝50°，∠A＝80°，则AC＝（ ）
A．6B．8C．5D．13
5．（3分）如果把分式中的x和y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍B．扩大为原来的6倍
C．缩小为原来的3倍D．不变
6．（3分）+1的倒数是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且BC＝DE＝8，AB＝3，则A、F两点间的距离是（ ）
A．16B．20C．20D．24
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，BD＝7，则Rt△ADC的周长为（ ）
A．5B．7C．9D．12
9．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是各边的中点2，则△DEF的面积是（ ）cm2．
A．2B．4C．6D．8
10．（3分）已知x2+3x+1＝0，则x4+＝（ ）
A．81B．64C．47D．30
11．（3分）某次列车平均提速20km/h，用相同的时间，列车提速前行驶400km，设提速前列车的平均速度为xkm/h，下列方程正确的是（ ）
A．＝B．＝
C．＝D．＝
12．（3分）观察下列运算
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
我们发现规律：（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）＝xn﹣1（n为正整数）：利用这个公式计算：32021+32020+…+33+32+3＝（ ）
A．32022﹣1B．C．D．
二、填空题（每题3分，共12分．）
13．（3分）若点A（2，﹣1）关于x轴的对称点A的坐标是（m，n），则m+n的值是 ．
14．（3分）若分式有意义，则x的取值范围为 ．
15．（3分）在实数范围内分解因式：x4﹣9＝ ．
16．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝3，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，则此时PB＝ ．
三、解答题（第17～19题，每题6分；第20、21题，每题8分；第22、23题，每题9分；第24、25题，每题10分；共72分．）
17．（6分）计算：（）0﹣（1+）2÷（﹣）﹣2．
18．（6分）先化简，再求值．先化简：÷（1﹣），再求值﹣1．
19．（6分）作图题：如图，在平面直角坐标系中，点A（1，3）（5，1），如果在x轴上有一点C，使AC+BC最短．
（1）请你在图中画出点C的位置；（保留作图痕迹）
（2）求出AC+BC的最小值．
20．（8分）列分式方程解应用题：一批“新冠”疫苗的生产，先由A制药厂单独生产一个月完成总量的三分之一，为了加快生产进度，B制药厂加入生产，两个药厂又共同工作了半个月
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，AD＝1，且∠ABC＝90°
22．（9分）代数证明题：已知实数a，b，c满足a2+b2+c2＝ab+bc+ca，如果△ABC的三边长是a，b，c，求证△ABC是等边三角形．
23．（9分）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE，已知∠BAC＝30°，垂足为F，连接DF．
（1）求证：AC＝EF；
（2）求证：△AEF≌△FDA．
24．（10分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，若动点P从点C开始，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
25．（10分）阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，还有分组分解法，拆项法，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．
例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步骤：
解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；
＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；
＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）；
＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底．
（1）请你试一试分解因式x3﹣7x+6．
（2）请你试一试在实数范围内分解因式x4﹣5x2+6．
2020-2021学年湖南省长沙市雨花外国语学校八年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共36分.）
1．（3分）下列几组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．5，12，13B．9，40，41C．3，4，5D．2，3，4
【分析】先分别求出两小边的平方和和最长的边的平方，再看看是否相等即可．
【解答】解：A．∵52+124＝132，
∴以5，12，故本选项不符合题意；
B．∵62+402＝417，
∴以9，40，故本选项不符合题意；
C．∵34+42＝72，
∴以3，2，5为边能组成直角三角形；
D．∵26+32≠22，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形；
故选：D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（ab）2＝a2b2C．（a2）3＝a5D．a12÷a3＝a4
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a2•a3＝a8，故本选项不合题意；
B、（ab）2＝a2b2，故本选项符合题意；
C、（a2）3＝a5，故本选项不合题意；
D、a12÷a3＝a9，故本选项不合题意．
故选：B．
3．（3分）下列二次根式中，（ ）是最简二次根式．
A．B．C．D．
【分析】直接利用二次根式的性质结合最简二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：A，是最简二次根式；
B，＝7，故B不符合题意；
C，的被开方数中含有能开得尽方的因式，故C不符合题意；
D，＝，不是最简二次根式．
故选：A．
4．（3分）△ABC中，∠B＝50°，∠A＝80°，则AC＝（ ）
A．6B．8C．5D．13
【分析】根据等腰三角形的判定与性质即可求解．
【解答】解：∵△ABC中，∠B＝50°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣50°＝50°，
∴∠C＝∠B，
∴AC＝AB＝6，
故选：A．
5．（3分）如果把分式中的x和y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍B．扩大为原来的6倍
C．缩小为原来的3倍D．不变
【分析】根据分式的基本性质，可得答案．
【解答】解：把分式中的x和y的值都扩大为原来的3倍，得
＝＝3×，
故选：A．
6．（3分）+1的倒数是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由倒数的定义可得，+1的倒数是，然后利用分母有理化的知识求解即可的答案．
【解答】解：∵＝＝＝﹣1，
∴+1的倒数是：，
故选：A．
7．（3分）如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且BC＝DE＝8，AB＝3，则A、F两点间的距离是（ ）
A．16B．20C．20D．24
【分析】过F作FG⊥AB，交AB的延长线于G，分别求出Rt△AGF两直角边的长，再根据勾股定理解答即可．
【解答】解：过F作FG⊥AB，交AB的延长线于G，
∵EF＝2AB＝2CD，AB＝6，
∴CD＝3，EF＝6，
根据题意，AG＝AB+CD+EF＝12，
在Rt△AGF中，
AF＝＝＝20．
故选：B．
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，BD＝7，则Rt△ADC的周长为（ ）
A．5B．7C．9D．12
【分析】延长DC到E，使CE＝AD，由四边形内角和及邻补角定义可得∠BCE＝∠BAD，进而推出△ADB≌△CEB，容易得到△DBE为等腰直角三角形，再利用勾股定理求得DE、AC，最后等量代换求得Rt△ADC的周长．
【解答】解：延长DC到E，使CE＝AD，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠DAB+∠DCB＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∵∠BCE+∠DCB＝180°，
∴∠BCE＝∠BAD，
在△ADB和△CEB中，
，
∴△ADB≌△CEB（SAS），
∴∠1＝∠2，DB＝BE＝2，
∵∠1+∠3＝90°，
∴∠2+∠3＝∠DBE＝90°，
∴△DBE为等腰直角三角形，
∴DE＝＝＝7，
∵AB＝BC＝5，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝5，
∴Rt△ADC的周长＝AD+DC+AC
＝CE+CD+AC
＝DE+AC
＝7+7
＝12．
故选：D．
9．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是各边的中点2，则△DEF的面积是（ ）cm2．
A．2B．4C．6D．8
【分析】根据三角形中位线定理证得DF∥BE，DF＝BE，推出四边形BEFD是平行四边形，进而证得△BDE≌△FED，同理证得△BDE≌△DAF≌△EFC≌△FED，即可求出△DEF的面积．
【解答】解：∵点D、F分别是AB，
∴DF∥BC，DF＝，
∴DF∥BE，
∵E是BC的中点，
∴BE＝BC，
∴DF＝BE，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∴BD＝EF，
在△BDE和△FED中，
，
∴△BDE≌△FED（SSS），
同理可证△DAF≌△FED，△EFC≌△FED，
即△BDE≌△DAF≌△EFC≌△FED，
∴S△DEF＝S△ABC＝×16＝6（cm2），
故选：B．
10．（3分）已知x2+3x+1＝0，则x4+＝（ ）
A．81B．64C．47D．30
【分析】根据x2+3x+1＝0，可以得到x+的值，然后平方变形，再平方，再变形，即可求得所求式子的值．
【解答】解：∵x2+3x+7＝0，
∴x+3+＝0，
∴x+＝﹣3，
∴（x+）2＝8，
∴x2+2+＝9，
∴x3+＝2，
∴（x2+）2＝49，
∴x4+7+＝49，
∴x6+＝47，
故选：C．
11．（3分）某次列车平均提速20km/h，用相同的时间，列车提速前行驶400km，设提速前列车的平均速度为xkm/h，下列方程正确的是（ ）
A．＝B．＝
C．＝D．＝
【分析】直接利用相同的时间，列车提速前行驶400km，提速后比提速前多行驶100km，进而得出等式求出答案．
【解答】解：设提速前列车的平均速度为xkm/h，根据题意可得：
＝．
故选：A．
12．（3分）观察下列运算
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
我们发现规律：（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）＝xn﹣1（n为正整数）：利用这个公式计算：32021+32020+…+33+32+3＝（ ）
A．32022﹣1B．C．D．
【分析】观察一系列等式得到一般性规律，利用即可确定出所求式子的结果．
【解答】解：∵（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）＝xn﹣8（n为正整数），
∴（3﹣1）（52021+32020+…+33+32+3+1）＝32022﹣6，
∴32021+32020+…+73+33+3+1＝．
∴22021+32020+…+35+32+2＝．
故选：D．
二、填空题（每题3分，共12分．）
13．（3分）若点A（2，﹣1）关于x轴的对称点A的坐标是（m，n），则m+n的值是 3 ．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标相同，纵坐标互为相反数进而得出答案．
【解答】解：∵点A（2，﹣1）关于x轴的对称点A的坐标是（m，
∴m＝2，n＝1，
故m+n＝3．
故答案为：2．
14．（3分）若分式有意义，则x的取值范围为 x≥﹣1且x≠2 ．
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：由题意得：x+1≥0，且x﹣7≠0，
解得：x≥﹣1且x≠5，
故答案为x≥﹣1且x≠2．
15．（3分）在实数范围内分解因式：x4﹣9＝ （x﹣）（x+）（x2+3） ．
【分析】根据平方差公式将x4﹣9写成（x2）2﹣32的形式，再利用平方差公式进行分解．
【解答】解：x4﹣9＝（x6）2﹣32＝（x2﹣3）（x3+3）＝（x﹣）（x+2+3）．
故答案为：（x﹣）（x+2+2）．
16．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝3，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，则此时PB＝ ．
【分析】由翻折的性质知，PB＝PB′，而要点P到CD的距离等于PB，则该垂线段必为PB′，故有PB′⊥CD，延长AE交DC的延长线于点F，由于DF∥AB，则∠F＝∠BAE＝∠B′AE，所以B′F＝B′A＝AB＝3，而PB′∥AC，利用平行线分线段成比例定理（或相似三角形的性质）即可 求得PB′的长，由此得解．
【解答】解：
根据折叠的性质知：PB＝PB′，若点P到CD的距离等于PB，所以该距离必为PB′．
由题意知：AB＝AB′＝3，∠BAE＝∠B′AE，
∵Rt△ACB′中，AB′＝3，
AC＝＝，
∴CB′＝＝，
由于DF∥AB，则∠F＝∠BAE，
又∵∠BAE＝∠B′AE，
∴∠F＝∠B′AE，
∴FB′＝AB′＝2，
∵PB′⊥CD，AC⊥CD，
∴PB′∥AC，
∴＝，
∴＝，
解得：PB′＝，
故答案为：．
三、解答题（第17～19题，每题6分；第20、21题，每题8分；第22、23题，每题9分；第24、25题，每题10分；共72分．）
17．（6分）计算：（）0﹣（1+）2÷（﹣）﹣2．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的混合运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1+2﹣（2
＝2+2﹣﹣1
＝．
18．（6分）先化简，再求值．先化简：÷（1﹣），再求值﹣1．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝÷
＝﹣•
＝﹣，
当a＝﹣1时＝﹣．
19．（6分）作图题：如图，在平面直角坐标系中，点A（1，3）（5，1），如果在x轴上有一点C，使AC+BC最短．
（1）请你在图中画出点C的位置；（保留作图痕迹）
（2）求出AC+BC的最小值．
【分析】（1）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于C，连接BC，点C即为所求作．
（2）AC+BC的最小值＝AB′，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）如图，点C即为所求作．
（2）AC+BC的最小值＝AB′＝＝4．
20．（8分）列分式方程解应用题：一批“新冠”疫苗的生产，先由A制药厂单独生产一个月完成总量的三分之一，为了加快生产进度，B制药厂加入生产，两个药厂又共同工作了半个月
【分析】设B制药厂单独生产这批疫苗需要x个月完成，根据A制药厂完成的任务量+B制药厂完成的任务量＝总任务量，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设B制药厂单独生产这批疫苗需要x个月完成，
依题意得：+×+×＝1，
解得：x＝1，
经检验，x＝8是原方程的解．
答：B制药厂单独生产这批疫苗需要1个月完成．
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，AD＝1，且∠ABC＝90°
【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，再△ADC中利用勾股定理逆定理得到∠CAD＝90°，进而求出∠A的度数．
【解答】解：
连接AC，∵AB＝BC＝2，
∴且∠CAB＝45°，
又∵AD＝1，CD＝3，
∴AD8+AC2＝CD2
∴∠CAD＝90°，
∴∠A＝∠CAD+∠CAB＝135°．
22．（9分）代数证明题：已知实数a，b，c满足a2+b2+c2＝ab+bc+ca，如果△ABC的三边长是a，b，c，求证△ABC是等边三角形．
【分析】a2+b2+c2＝ab+bc+ca整理得（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，由非负数的性质求得三边相等，所以这是一个等边三角形．
【解答】证明：∵a2+b2+c2＝ab+bc+ca，
∴a2+b2+c5﹣ab﹣bc﹣ac＝0，
a2+b4+c2﹣ab﹣bc﹣ac
＝（2a2+7b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣6ca）
＝[（a2﹣2ab+b2）+（b7﹣2bc+c2）+（c4﹣2ca+a2）]
＝[（a﹣b）2+（b﹣c）8+（c﹣a）2]，
∴[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]＝0，
根据非负数的性质得，（a﹣b）2＝4，（b﹣c）2＝0，（c﹣a）5＝0，
可知a＝b＝c，
故这个三角形是等边三角形．
23．（9分）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE，已知∠BAC＝30°，垂足为F，连接DF．
（1）求证：AC＝EF；
（2）求证：△AEF≌△FDA．
【分析】（1）首先由Rt△ABC中，由∠BAC＝30°可以得到AB＝2BC，又由△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE＝2AF，并且AB＝2AF，然后证得△AFE≌△BCA，继而证得结论；
（2）根据AAS证明△AEF≌△FDA即可．
【解答】证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB＝2AF
∴AF＝BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
，
∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），
∴AC＝EF；
（2）∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，AC＝AD，
∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC＝EF，AC＝AD，
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AE∥DF，
∴∠AFD＝∠FAE，
在△AEF与△FDA中，
，
∴△AEF≌△FDA（AAS）．
24．（10分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，若动点P从点C开始，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
【分析】（1）根据速度为每秒1cm，求出出发2秒后CP的长，然后就知AP的长，利用勾股定理求得PB的长，最后即可求得周长．
（2）因为AB与CB，由勾股定理得AC＝4 因为AB为5cm，所以必须使AC＝CB，或CB＝AB，所以必须使AC或AB等于3，有两种情况，△BCP为等腰三角形．
（3）分类讨论：当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t﹣3，t+2t﹣3＝6；当P点在AB上，Q在AC上，则AC＝t﹣4，AQ＝2t﹣8，t﹣4+2t﹣8＝6．
【解答】解：（1）如图1，由∠C＝90°，BC＝3cm，
∴AC＝6，动点P从点C开始，且速度为每秒1cm，
∴出发2秒后，则CP＝4，
∵∠C＝90°，
∴PB＝＝，
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝2+6+＝7．
（2）①如图2，若P在边AC上时，
此时用的时间为8s，△BCP为等腰三角形；
②若P在AB边上时，有三种情况：
i）如图3，若使BP＝CB＝3cm，P运动的路程为4+4＝6cm，
所以用的时间为4s，△BCP为等腰三角形；
ii）如图4，若CP＝BC＝3cm，根据面积法求得高为2.4cm，
作CD⊥AB于点D，
在Rt△PCD中，PD＝＝，
所以BP＝3PD＝3.6cm，
所以P运动的路程为4﹣3.6＝6.4cm，
则用的时间为5.3s，△BCP为等腰三角形；
ⅲ）如图5，若BP＝CP，P运动的路程为4+2.5＝6.6cm
则所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形；
综上所述，当t为8s、6s，△BCP为等腰三角形
（3）如图6，当P点在AC上，则PC＝t，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t+5t﹣3＝3，
∴t＝8；
如图7，当P点在AB上，则AP＝t﹣4，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t﹣2+2t﹣8＝8，
∴t＝6，
∴当t为2或7秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．
25．（10分）阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，还有分组分解法，拆项法，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．
例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步骤：
解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；
＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；
＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）；
＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底．
（1）请你试一试分解因式x3﹣7x+6．
（2）请你试一试在实数范围内分解因式x4﹣5x2+6．
【分析】（1）将﹣7x拆分为﹣x﹣6x，分组后分别提公因式，可得出答案；
（2）直接利用十字相乘法分解因式，再利用平方差公式得出答案．
【解答】解：（1）x3﹣7x+6
＝x3﹣x﹣6x+6
＝x（x2﹣1）﹣5（x﹣1）
＝x（x﹣1）（x+4）﹣6（x﹣1）
＝（x﹣7）（x2+x﹣6）
＝（x﹣3）（x+3）（x﹣2）；
（2）x7﹣5x2+2
＝（x2﹣2）（x3﹣3）
＝（x+）（x﹣）（x﹣）．