2020-2021学年四川省成都市嘉祥外国语学校九年级（上）开学数学试卷

这是一份2020-2021学年四川省成都市嘉祥外国语学校九年级（上）开学数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．2
3．（3分）如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，得点B，A，在同一条直线上，则旋转角∠BAB′的度数是（ ）
A．60°B．90°C．120°D．150°
4．（3分）如果关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．﹣3B．3C．4D．10
5．（3分）已知关于x的不等式组的解集为﹣1＜x≤2，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
6．（3分）已知一个多边形的内角和是720°，则该多边形的边数为（ ）
A．4B．6C．8D．10
7．（3分）如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（ ）
A．x＞B．x＞3C．x＜3D．x＜
8．（3分）已知3是关于x的方程x2﹣5x+c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）
A．﹣2B．2C．5D．6
9．（3分）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，点F在线段AD上，EF∥BD，FH∥AC，且交CD于点H（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
10．（3分）如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，3），点B在x轴的正半轴上，分别交OA、OB于点D，E；②分别以点DDE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F，交边AC于点G．则点G的坐标为（ ）
A．（，3）B．（﹣1，3）C．（4﹣，3）D．（﹣3，3）
二、填空题（每小题5分，共20分）
11．（5分）因式分解：2xm2﹣12xm+18x＝ ．
12．（5分）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是 ．
13．（5分）已知代数式x2+2x+5可以利用完全平方公式变形为（x+1）2+4，进而可知x2+2x+5的最小值是4．依此方法，代数式y2﹣y+5的最小值是 ．
14．（5分）如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，BC＝6，D为斜边AB上一点，当AD＝ 时，平行四边形CDEB为菱形．
三、解答题（共50分）
15．（6分）解答下列各题：
（1）解一元二次方程：2x2﹣4x+1＝0
（2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
16．（6分）先化简，再求值：÷（x﹣1﹣），其中x＝
17．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，建立平面直角坐标系xOy（2，4），B（1，1），C（4，2）．
（1）平移△ABC，使得点A的对应点为A1（2，﹣1），点B，C的对应点分别为B1，C1，画出平移后的△A1B1C1；
（2）在（1）的基础上，画出△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2，其中点A1，B1，C1的对应点分别为A2，B2，C2，并直接写出点C2的坐标．
18．（7分）已知k为实数，关于x的方程x2+k2＝2（k﹣1）x有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若（x1+1）（x2+1）＝2，试求k的值．
19．（7分）如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝4cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC
（1）求证：四边形OBEC为矩形；
（2）求四边形ABEC的面积．
20．（10分）如图一，在射线DE的一侧以AD为一条边作矩形ABCD，AD＝10，
CD＝10，点M是线段AC上一动点（不与点A重合），连接BM，连接BN．
（1）求∠CAD的大小；
（2）问题探究：动点M在运动的过程中，是否能使△AMN为等腰三角形，如果能；如果不能，请说明理由．
（3）问题解决：
如图二，当动点M运动到AC的中点时，AM与BN的交点为F，求线段FH的长度．
一、填空题（每小题5分，共20分）
21．（5分）已知a＝7﹣3b，则代数式a2+6ab+9b2的值为 ．
22．（5分）若a2﹣2a﹣1＝0，b2﹣2b﹣1＝0，则的值为 ．
23．（5分）从﹣2，﹣1，0，，1，2这六个数字中，则使得关于x的方程＝1的解为非负数只有三个整数解的概率是 ．
24．（5分）平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣1与x轴和y轴分别交于B、C两点，直线x＝4与x轴交于点A，点M（3，0），点F为直线y＝﹣x﹣1上一动点 ，此时点F的坐标为 ．
25．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，点D是AB的中点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交边BC于点F，则CB′的长为 ．
二、解答题（共30分）
26．（8分）嘉宝暑期实践活动准备摆地摊，在淘宝上购进甲、乙两种联名T恤．其中甲种T恤每件的成本价比乙种T恤的成本价多20元，甲种T恤每件的售价为240元比乙种T恤的售价多80元．嘉宝用4000元购进甲种T恤的数量与用3200元购进乙种T恤的数量相同．
（1）甲种T恤每件的成本是多少元？
（2）要使购进的甲、乙两种T恤共200件的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于21100元，且不超过21700元
27．（10分）如图，O为正方形ABCD对角线的交点，E为AB边上一点，△EBF的周长等于BC的长．
（1）若AB＝24，BE＝6，求EF的长；
（2）求∠EOF的度数；
（3）若OE＝OF，求的值．
28．（13分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于点C
（1）求点C的坐标及直线BC的解析式；
（2）如图1，设点F为线段AB中点，点G为y轴上一动点，以FG为边向FG右侧作长方形FGQP，且FG：GQ＝2：5，设点G的坐标为（0，m），用含m的代数式表示点Q的坐标，并求出此时求点G的坐标；
（3）如图2，若M为线段BC上一点，直线0M解析式为y＝2x，在x轴上是存在点D，使以点D，E，B，请直接写出点E的坐标；若不存在
2020-2021学年四川省成都市嘉祥外国语学校九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、既不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、既不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形；
D、是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
2．（3分）分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．2
【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，且分母不为零，进而得出答案．
【解答】解：由题意，得
x2﹣1＝8且x﹣1≠0，
解得x＝﹣2，
故选：C．
3．（3分）如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，得点B，A，在同一条直线上，则旋转角∠BAB′的度数是（ ）
A．60°B．90°C．120°D．150°
【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．
【解答】解：旋转角是∠BAB′＝180°﹣30°＝150°．
故选：D．
4．（3分）如果关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．﹣3B．3C．4D．10
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【解答】解：去分母得：4＝x﹣3+m，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，
把x＝3代入整式方程得：m＝8．
故选：C．
5．（3分）已知关于x的不等式组的解集为﹣1＜x≤2，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，再结合已知不等式组的解集得出关于a的值．
【解答】解：解不等式x﹣a≤1，得：x≤a+1，
解不等式x+8＞2，得：x＞﹣1，
所以不等式组的解集为﹣4＜x≤a+1，
∵不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
∴a+1＝2，
解得a＝4，
故选：A．
6．（3分）已知一个多边形的内角和是720°，则该多边形的边数为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到（n﹣2）×180°＝720°，然后解方程即可．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
依题意得（n﹣2）×180°＝720°，
n﹣2＝4，
n＝6．
即这个多边形的边数是6．
故选：B．
7．（3分）如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（ ）
A．x＞B．x＞3C．x＜3D．x＜
【分析】首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式2x＜ax+4的解集即可．
【解答】解：∵函数y＝2x过点A（m，3），
∴6m＝3，
解得：m＝1.5，
∴A（1.5，2），
∴不等式2x＜ax+4的解集为x＜7.5．
故选：D．
8．（3分）已知3是关于x的方程x2﹣5x+c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）
A．﹣2B．2C．5D．6
【分析】设方程的另一个根是m，根据根与系数的关系列出关于另一根m的方程，解方程即可．
【解答】解：设方程的另一个根是m，
∵3是关于x的方程x2﹣5x+c＝0的一个根，
∴3+m＝3，
解得，m＝2，
∴这个方程的另一个根是2
故选：B．
9．（3分）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，点F在线段AD上，EF∥BD，FH∥AC，且交CD于点H（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【分析】根据EF∥BD，可得△AEF∽△ABD，根据FH∥AC，可得△DHF∽△DCA，再根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD，
∴＝，故A错误；
＝，
＝．
∵FH∥AC，
∴△DHF∽△DCA，
∴＝，故B错误；
＝，
＝，
∴≠，故C错误；
＝，故D正确．
故选：D．
10．（3分）如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，3），点B在x轴的正半轴上，分别交OA、OB于点D，E；②分别以点DDE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F，交边AC于点G．则点G的坐标为（ ）
A．（，3）B．（﹣1，3）C．（4﹣，3）D．（﹣3，3）
【分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOH中，AO＝，依据∠AGO＝∠AOG，即可得到AG＝AO＝，进而得出HG＝﹣1，可得G（﹣1，3）．
【解答】解：∵▱AOBC的顶点O（0，0），5），
∴AH＝1，HO＝3，
∴Rt△AOH中，AO＝，
由题可得，OF平分∠AOB，
∴∠AOG＝∠EOG，
又∵AG∥OE，
∴∠AGO＝∠EOG，
∴∠AGO＝∠AOG，
∴AG＝AO＝，
∴HG＝﹣2，
∴G（﹣1，
故选：B．
二、填空题（每小题5分，共20分）
11．（5分）因式分解：2xm2﹣12xm+18x＝ 2x（m﹣3）2 ．
【分析】首先提公因式2x，再利用完全平方进行二次分解即可．
【解答】解：原式＝2x（m2﹣5m+9）＝2x（m﹣8）2．
故答案为：2x（m﹣2）2．
12．（5分）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是 a≤1且a≠0 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4a≥0，然后求出a的取值范围．
【解答】解：∵一元二次方程ax2﹣2x+6＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣2）6﹣4a≥0，且a≠5，
解得：a≤1且a≠0，
故答案为：a≤8且a≠0．
13．（5分）已知代数式x2+2x+5可以利用完全平方公式变形为（x+1）2+4，进而可知x2+2x+5的最小值是4．依此方法，代数式y2﹣y+5的最小值是 ．
【分析】仿照题中的方法将原式配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可．
【解答】解：y2﹣y+5＝y2﹣y++＝（y﹣）5+≥，
则代数式y5﹣y+5的最小值是．
故答案为：．
14．（5分）如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，BC＝6，D为斜边AB上一点，当AD＝ 6 时，平行四边形CDEB为菱形．
【分析】首先含30°角直角三角形的性质得AB＝12，由菱形的性质可得OD＝OB，CD＝CB，由三角形面积可求出OC，根据勾股定理可得OB，由AD＝AB﹣2OB即可求AD的长．
【解答】解：连接CE交AB于点O，如图所示：
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，
∴AB＝2BC＝12，AC＝＝，
若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，CD＝CB，
∵AB•OC＝，
∴OC＝＝＝5，
∴OB＝＝＝6，
∴AD＝AB﹣2OB＝12﹣2×3＝6，
故答案为：6．
三、解答题（共50分）
15．（6分）解答下列各题：
（1）解一元二次方程：2x2﹣4x+1＝0
（2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】（1）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）2x2﹣2x+1＝0，
3x2﹣4x＝﹣4，
x2﹣2x＝﹣，
x2﹣5x+1＝﹣+1，
（x﹣1）7＝，
开方得：x﹣8＝±，
解得：x7＝，x2＝；
（2），
解不等式①得：x≤4，
解不等式②得：x＞0，
所以不等式组的解集是5＜x≤4，
在数轴上表示为：
16．（6分）先化简，再求值：÷（x﹣1﹣），其中x＝
【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，则约分得到原式＝，然后把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当x＝﹣2时＝．
17．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，建立平面直角坐标系xOy（2，4），B（1，1），C（4，2）．
（1）平移△ABC，使得点A的对应点为A1（2，﹣1），点B，C的对应点分别为B1，C1，画出平移后的△A1B1C1；
（2）在（1）的基础上，画出△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2，其中点A1，B1，C1的对应点分别为A2，B2，C2，并直接写出点C2的坐标．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出点A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C6即为所求．
（2）△A2B2C4即为所求．A2（﹣1，﹣5），B2（﹣4，﹣7），C2（﹣3，﹣8）．
18．（7分）已知k为实数，关于x的方程x2+k2＝2（k﹣1）x有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若（x1+1）（x2+1）＝2，试求k的值．
【分析】（1）把方程化为一般式得到x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0．再根据判别式的意义得到Δ＝4（k﹣1）2﹣4k2≥0，然后解不等式即可；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k2，再利用（x1+1）（x2+1）＝2得到k2+2k﹣2＝1．然后解关于k的方程后利用k的范围确定满足条件的k的值．
【解答】解：（1）原方程变形为x2﹣2（k﹣5）x+k2＝0．
根据题意得Δ＝4（k﹣1）2﹣4k2≥0，
∴（k﹣2）2﹣k2≥8．
∴﹣2k+1≥7，
∴k≤；
（2）由根与系数的关系得x4+x2＝2（k﹣4），x1x2＝k5，
∵（x1+1）（x2+1）＝2，
∴x8x2+（x1+x2）+1＝2．
∴k3+2k﹣2＝7．即k2+2k﹣2＝0．
解得k1＝7，k2＝﹣3，
∵k≤，
∴k的值为﹣3．
19．（7分）如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝4cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC
（1）求证：四边形OBEC为矩形；
（2）求四边形ABEC的面积．
【分析】（1）由两组对边平行是平行四边形可证四边形OBEC是平行四边形，由菱形的性质可得AC⊥BD，可得结论；
（2）由勾股定理可求OC的长，得出AC的长，由矩形的性质得BE＝OC＝cm，BE∥OC，CE＝OB＝3cm，由梯形面积公式即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵CE∥DB，BE∥AC，
∴四边形OBEC是平行四边形，
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴四边形OBEC是矩形
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝3cm，
在Rt△OCD中，OC＝＝＝，
∴AC＝2OC＝2cm，
由（1）得：四边形OBEC为矩形，
∴BE＝OC＝cm，CE＝OB＝3cm，
∴四边形ABEC的面积＝（BE+AC）×CE＝（）×3＝6）
20．（10分）如图一，在射线DE的一侧以AD为一条边作矩形ABCD，AD＝10，
CD＝10，点M是线段AC上一动点（不与点A重合），连接BM，连接BN．
（1）求∠CAD的大小；
（2）问题探究：动点M在运动的过程中，是否能使△AMN为等腰三角形，如果能；如果不能，请说明理由．
（3）问题解决：
如图二，当动点M运动到AC的中点时，AM与BN的交点为F，求线段FH的长度．
【分析】（1）在Rt△ADC中，求出∠DAC的正切值即可解决问题．
（2）分两种情形：①当NA＝NM时，②当AN＝AM时，分别求解即可．
（3）先证明△ABM是等边三角形，再证明BN垂直平分线段AM，解直角三角形即可解决问题．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴AC＝＝＝20，
∴CD＝AC，，
∴∠CAD＝30°；
（2）能使△AMN为等腰三角形，理由如下：
分两种情况：
①当AN＝NM时，如图一（1）所示：
∵∠BAN＝∠BMN＝90°，BN＝BN，
∴Rt△BNA≌Rt△BNM（HL），
∴BA＝BM，
在Rt△ABC中，∠ACB＝∠DAC＝30°，
∴AC＝2AB＝20，
∵∠BAM＝60°，BA＝BM，
∴△ABM是等边三角形，
∴AM＝AB＝10，
∴CM＝AC﹣AM＝20﹣10＝10；
②当AN＝AM时，如图一（2）所示：
则∠AMN＝∠ANM＝∠CAD＝15°，
∵∠BMN＝90°，
∴∠CMB＝75°，
∵∠MCB＝30°，
∴∠CBM＝180°﹣75°﹣30°＝75°，
∴∠CMB＝∠CBM，
∴CM＝CB＝10；
综上所述，能使△AMN为等腰三角形；
（3）如图二所示：
∵AM＝MC，
∴BM＝AM＝CM，
∴AC＝2AB，
∴AB＝BM＝AM，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠BAM＝∠BMA＝60°，
∵∠BAN＝∠BMN＝90°，
∴∠NAM＝∠NMA＝30°，
∴NA＝NM，
∵BA＝BM，
∴BN垂直平分线段AM，
∴FM＝5，
∴FN＝FM＝，
∵∠NFM＝90°，NH＝HM，
∴FH＝MN＝．
一、填空题（每小题5分，共20分）
21．（5分）已知a＝7﹣3b，则代数式a2+6ab+9b2的值为 49 ．
【分析】先根据完全平方公式变形，再代入，即可求出答案．
【解答】解：∵a＝7﹣3b，
∴a+8b＝7，
∴a2+2ab+9b2
＝（a+4b）2
＝75
＝49，
故答案为：49．
22．（5分）若a2﹣2a﹣1＝0，b2﹣2b﹣1＝0，则的值为 ﹣6或2 ．
【分析】根据a2﹣2a﹣1＝0，b2﹣2b﹣1＝0得到a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，然后利用根与系数的关系代入求值即可．
【解答】解：∵a2﹣2a﹣4＝0，b2﹣2b﹣1＝0，
∴a、b是一元二次方程x6﹣2x﹣1＝6的两根，
∴a+b＝2，ab＝﹣1
∴＝＝﹣6，
当a＝b，a、b都为方程x3﹣2x﹣1＝3的同一个根．则结果就为1+1＝7．
故答案为：﹣6或2．
23．（5分）从﹣2，﹣1，0，，1，2这六个数字中，则使得关于x的方程＝1的解为非负数只有三个整数解的概率是 ．
【分析】解关于x的分式方程，根据分式方程的解为非负数及分式有意义的条件求出a的范围，解不等式组，由不等式组整数解的个数求出a的范围，再从6个数中找到同时满足以上两个条件的情况，从而利用概率公式求解可得．
【解答】解：解方程＝6得x＝，
由题意知＞0且，
解得：a＜1且a≠﹣，
解不等式组，得：a＜x≤2，
∵不等式组只有3个整数解，
∴不等式组的整数解为2、4、0，
则﹣1≤a＜2，
∴在所列的六个数字中，同时满足以上两个条件的只有﹣1这1个数字，
∴使得关于x的方程＝1的解为非负数只有三个整数解的概率是，
故答案为：．
24．（5分）平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣1与x轴和y轴分别交于B、C两点，直线x＝4与x轴交于点A，点M（3，0），点F为直线y＝﹣x﹣1上一动点 ，此时点F的坐标为 （，﹣） ．
【分析】①作M点关于直线x＝4的对称点M′，然后作M′F⊥直线y＝﹣x﹣1于F，交直线x＝4于E，此时ME+EF有最小值，最小值为M′F；然后通过△BOC∽△BFM′，根据对应边成比例即可求得ME+EF最小值；
②由直线M′F与直线y＝﹣x﹣1互相垂直，可知直线M′F与直线y＝﹣x﹣1的k互为负倒数，然后设直线M′F的关系式为：y＝2x+b，然后将M′的坐标代入关系式，即可确定直线M′F的关系式，然后将直线M′F与直线y＝﹣x﹣1的关系式联立方程组，解得即可求出点F的坐标．
【解答】解：①如图，
作M点关于直线x＝4的对称点M′，然后作M′F⊥直线y＝﹣，交直线x＝4于E，最小值为M′F；
∵y＝﹣x﹣1与x轴和y轴分别交于B，
令x＝0，可得y＝﹣8，可得x＝﹣2，
∴B（﹣2，8），﹣1），
∴OB＝2，OC＝8，
∴BC＝＝，
∵M（3，0），
∴M′（8，0），
∴BM′＝5+7＝7，
∵M′F⊥直线BC，
∴∠BFM′＝90°＝∠BOC，
∵∠OBC＝∠FBM′
∴△BOC∽△BFM′，
∴，
即，
解得：M′F＝，
∴ME+EF的最小值为；
②∵直线M′F与直线y＝﹣x﹣1互相垂直，
∴直线M′F与直线y＝﹣x﹣1的k互为负倒数，
∴设直线M′F的关系式为：y＝2x+b，
将M′（5，0），可得：
b＝﹣10，
∴直线M′F的关系式为：y＝2x﹣10，
将直线y＝6x﹣10与直线y＝﹣x﹣2联立方程组得：
，
解得：，
∴点F的坐标为（，﹣）．
故答案为：；（，﹣）．
25．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，点D是AB的中点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交边BC于点F，则CB′的长为 2或4 ．
【分析】当△CB′F为直角三角形时，需要分类讨论，点C，B′，F分别为直角顶点时，画出图形求解即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，
∴BC＝5，∠B＝60°，AD＝BD＝2，
由折叠可知，BD＝B′D＝8，
①由点运动可知点C不可能是直角顶点；
②如图，当点F为直角顶点，
∴∠DFB＝∠CFB′＝90°，
∴DF＝BD＝DF＝8，
∴B′F＝，CF＝5，
∴CB′＝＝2；
③如图，当点B′是直角顶点时，连接CD，
由题意可知Rt△ACD≌Rt△B′CD（HL），
∴CB′＝CA＝8，
故答案为：2或2．
二、解答题（共30分）
26．（8分）嘉宝暑期实践活动准备摆地摊，在淘宝上购进甲、乙两种联名T恤．其中甲种T恤每件的成本价比乙种T恤的成本价多20元，甲种T恤每件的售价为240元比乙种T恤的售价多80元．嘉宝用4000元购进甲种T恤的数量与用3200元购进乙种T恤的数量相同．
（1）甲种T恤每件的成本是多少元？
（2）要使购进的甲、乙两种T恤共200件的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于21100元，且不超过21700元
【分析】（1）设甲种T恤每件的成本是x元，则乙T恤成本价为（x﹣20）元/件，由题意列出分式方程，解方程即可；
（2）设甲种T恤购进m件，则乙种T恤购进（200﹣m）件，由题意列出不等式，解不等式，即可解决问题．
【解答】解：（1）设甲种T恤每件的成本是x元，则乙T恤成本价为（x﹣20）元/件，
由题意得：＝，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，
答：甲种T恤每件的成本是100元；
（2）设甲种T恤购进m件，则乙种T恤购进（200﹣m）件，
由题意得：21100≤（240﹣100）m+（160﹣80）（200﹣m）≤21700，
解得：85≤m≤95，
因为m是正整数，
所以m可以取85、86、88、90、92、94．
所以嘉宝进货方案有11种．
27．（10分）如图，O为正方形ABCD对角线的交点，E为AB边上一点，△EBF的周长等于BC的长．
（1）若AB＝24，BE＝6，求EF的长；
（2）求∠EOF的度数；
（3）若OE＝OF，求的值．
【分析】（1）设BF＝x，则FC＝24﹣x，根据△EBF的周长等于BC的长得出EF＝18﹣x，Rt△BEF中利用勾股定理求出x的值即可得；
（2）在FC上截取FM＝FE，连接OM．首先证明∠EOM＝90°，再证明△OFE≌△OFM（SSS）即可解决问题；
（3）证明∠FOC＝∠AEO，结合∠EAO＝∠OCF＝45°可证△AOE∽△CFO，根据相似三角形的性质得到得＝＝＝，于是得到结论．
【解答】解：（1）设BF＝x，则FC＝BC﹣BF＝24﹣x，
∵BE＝6，且BE+BF+EF＝BC，
∴EF＝18﹣x，
在Rt△BEF中，由BE2+BF5＝EF2可得64+x2＝（18﹣x）2，
解得：x＝6，
则EF＝18﹣x＝10；
（2）如图，在FC上截取FM＝FE，
∵C△EBF的周长＝BE+EF+BF＝BC，则BE+EF+BF＝BF+FM+MC，
∴BE＝MC，
∵O为正方形中心，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCM＝45°，
在△OBE和△OCM中，
∵，
∴△OBE≌△OCM（SAS），
∴∠EOB＝∠MOC，OE＝OM，
∴∠EOB+∠BOM＝∠MOC+∠BOM，即∠EOM＝∠BOC＝90°，
在△OFE与△OFM中，
∵，
∴△OFE≌△OFM（SSS），
∴∠EOF＝∠MOF＝∠EOM＝45°．
（3）证明：由（2）可知：∠EOF＝45°，
∴∠AOE+∠FOC＝135°，
∵∠EAO＝45°，
∴∠AOE+∠AEO＝135°，
∴∠FOC＝∠AEO，
∵∠EAO＝∠OCF＝45°，
∴△AOE∽△CFO．
∴＝＝＝，
∴AE＝OCCF，
∵AO＝CO，
∴AE＝×CF＝，
∴＝．
28．（13分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于点C
（1）求点C的坐标及直线BC的解析式；
（2）如图1，设点F为线段AB中点，点G为y轴上一动点，以FG为边向FG右侧作长方形FGQP，且FG：GQ＝2：5，设点G的坐标为（0，m），用含m的代数式表示点Q的坐标，并求出此时求点G的坐标；
（3）如图2，若M为线段BC上一点，直线0M解析式为y＝2x，在x轴上是存在点D，使以点D，E，B，请直接写出点E的坐标；若不存在
【分析】（1）根据题意求出A、B点的坐标，再根据△ABC的面积即可求出C点坐标，最后根据B、C点的坐标用待定系数法求的直线BC函数解析式即可；
（2）根据题中给出的线段比例关系，分情况求出Q点的坐标即可；
（3）根据AM的坐标求出直线AM的解析式，设出E点的坐标，构造全等三角形即可求出E点的纵坐标长度等于OB，进而求得E点坐标．
【解答】解：（1）直线y＝与x轴交于点A，
∴A（﹣4，0），3），
即OA＝4，OB＝6，
∵△ABC面积为30，
∴（OA+OC）•OB＝30，
即OC＝6，
故C（7，0），
设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：k＝﹣1，
∴直线BC的表达式为：y＝﹣x+4；
（2）设点G（0，m），则点F（﹣2，
①如图3所示，当点G在y轴上方时，
过点G作x轴的平行线MN，过点F、N，
∵∠MGF+∠GFM＝90°，∠MGF+∠NGQ＝90°，
∴∠NGQ＝∠GFM，
又∵∠GNQ＝∠FMG＝90°，
∴△GNQ∽△FMG，
故GN＝，QN＝5，
故点Q（，m﹣5），
将点Q的坐标代入y＝﹣x+7并解得：m＝，
故点G的坐标为（0，）；
②当点G在y轴下方时，同理解得m＝，
故点G的坐标为（0，）；
（3）∵直线BC的表达式为：y＝﹣x+6①，
直线OM的表达式为：y＝2x②，
联立①②并解得：x＝5，
故点M（2，4），
同理直线AM的表达式为：y＝，
设点E（s，s+），
①D在x轴负半轴时，如图2，
∵以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∴∠NDE＝∠OCB，
在△END和△BOA中，
，
∴△END≌△BOA（AAS），
∴EN＝OB＝8，
即s+，
解得s＝5，
∴E（6，6），
②D在x轴正半轴时同理可求得，
E（﹣13，﹣6），
综上，E点的坐标为（5，﹣6）．