2020-2021学年四川省成都市郫都区嘉祥外国语学校九年级（下）入学数学试卷

这是一份2020-2021学年四川省成都市郫都区嘉祥外国语学校九年级（下）入学数学试卷，共34页。试卷主要包含了选择题.，填空题.，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下面四个图形，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列命题中，说法正确的是（ ）
A．四条边对应成比例的两个四边形相似
B．四个内角对应相等的两个四边形相似
C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似
D．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
3．（3分）已知⊙O的直径为12cm，如果圆心O到一条直线的距离为7cm，那么这条直线与这个圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．相交或相切
4．（3分）不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）关于反比例函数y＝的图象的性质，下面说法正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．y随x的增大而增大
C．在每个象限内，y随x的增大而减小
D．在每个象限内，y随x的增大而增大
6．（3分）疫情无情人有情，爱心捐款传真情，新型冠状病毒感染的肺炎疫情期间，该班50名学生的捐款统计情况如下表：
则他们捐款金额的众数和中位数分别是（ ）
A．100，10B．10，20C．17，10D．17，20
7．（3分）已知点P、点Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10，那么PQ的长为（ ）
A．5（3﹣）B．10（﹣2）C．5（﹣1）D．5（+1）
8．（3分）如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k＜B．k＜且k≠0
C．﹣≤k＜D．﹣≤k＜且k≠0
9．（3分）在平面直角坐标系中，如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①5a+b+c＝0； ③方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④b2﹣4ac＞0，其中正确的命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（3分）如图，已知⊙O的半径为3，弦CD＝4（点A与点C、D不重合），连接AO并延长交CD于点E，交⊙O于点B，当∠APB＝120°时，则AP•BP的最大值为（ ）
A．4B．6C．8D．12
二、填空题.（每小题4分，共16分）
11．（4分）已知，二次函数f（x）＝ax2+bx+c的部分对应值如下表，则f（﹣3）＝ ．
12．（4分）已知a是满足不等式组的整数解，求代数式：（1+）÷ ．
13．（4分）如图，一飞镖游戏板由大小相同的小正方形格子组成，向游戏板内随机投掷一枚飞镖 ．
14．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，则AC的长为 ．
三、解答题（共54分）
15．（12分）计算：
（1）tan45°+﹣2﹣2﹣（π﹣1）0+|﹣|；
（2）解方程：2x2+8x﹣3＝0．
16．（6分）高中招生指标到校是我市中考招生制度改革的一项重要措施．某初级中学对该校近四年指标到校保送生人数进行了统计，制成了如下两幅不完整的统计图：
（1）该校近四年保送生人数的极差是 ．请将折线统计图补充完整；
（2）该校2009年指标到校保送生中只有1位女同学，学校打算从中随机选出2位同学了解他们进入高中阶段的学习情况．请用列表法或画树状图的方法，求出所选两位同学恰好是1位男同学和1位女同学的概率．
17．（8分）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图．
身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，此时在额头C处测得A的仰角为53°．如果测得小聪的有效测温区间MN的长度是0.98米，求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计，sin53°≈0.8，cs53°＝0.6，ct53°≈0.75，≈1.73．）
18．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E
（1）求证：△AEB∽△CFB；
（2）求证：；
（3）若CE＝5，EF＝2，BD＝6．求AD的长．
19．（10分）如图，已知反比例函数y＝（m为常数）的图象经过▱ABOD的顶点D（0，3），（﹣2，0）．
（1）求出m的值及函数解析式；
（2）设点P是该反比例函数图象上的一点，若OD＝OP，求P点的坐标．
20．（10分）如图，点I是O△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，延长CD，BA相交于点F
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若DE＝4，BE＝5，求DI的长；
（3）若sin∠ACD＝，CD＝10，求△ACD的内心到点O的距离．
四、填空题（每小题4分，共20分）
21．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，则k的值 ．
22．（4分）若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程，则符合条件的所有整数a的和为 ．
23．（4分）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AD＝CD＝，点E、点F分别是边AD，那么EF的长等于 ．
24．（4分）如图，直线y＝﹣x+b与双曲线y＝（k＜0），y＝（m＞0），B，C，D，已知点A的坐标为（﹣1，4），且AB：CD＝5：2 ．
25．（4分）一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC＝EF＝12cm（如图1）（EF）的中点，边FD与AB相交于点H ．现将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转（如图2），在∠CGF从0°到60°的变化过程中，点H相应移动的路径长共为 ．（结果保留根号）
五、解答题（共30分）
26．（8分）某厂为满足市场需求，改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个，每条生产线每天就会少生产20个口罩，设增加x条生产线（x为正整数）
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量取值范围；
（2）设该厂每天可以生产的口罩w个，请求出w与x的函数关系式，并求出当x为多少时
（3）由于口罩供不应求，所以每天生产的口罩数量不能低于6000个，请直接写出需要增加的生产线x条的取值范围．
27．（10分）已知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的中点
（1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时；
（2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，DG2＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG（直接写出计算结果）
28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点C，A（﹣4，0），B（1，0）
（1）求点C的坐标和抛物线的函数关系式；
（2）点D是OA上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，当DF＝EF时；
（3）设抛物线的对称轴l交x轴于点G，在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴上一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在；若不存在，请说明理由．
2020-2021学年四川省成都市郫都区嘉祥外国语学校九年级（下）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题.（每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四个图形，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形；
B、不是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、是中心对称图形．
故选：D．
2．（3分）下列命题中，说法正确的是（ ）
A．四条边对应成比例的两个四边形相似
B．四个内角对应相等的两个四边形相似
C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似
D．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
【分析】根据三角形相似和相似多边形的判定解答．
【解答】解：A、四个角对应相等，原命题是假命题；
B、四个内角对应相等，原命题是假命题；
C、两边对应成比例且其夹角相等的两个三角形相似；
D、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似；
故选：D．
3．（3分）已知⊙O的直径为12cm，如果圆心O到一条直线的距离为7cm，那么这条直线与这个圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．相交或相切
【分析】根据圆心到直线的距离7大于圆的半径6，则直线和圆相离．
【解答】解：∵⊙O的直径为12cm，
∴⊙O的半径为6cm，
∵圆心O到一条直线的距离为7cm＞7cm，
∴直线和圆相离．
故选：A．
4．（3分）不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】用列表法或树状图法可以列举出所有等可能出现的结果，然后看符合条件的占总数的几分之几即可．
【解答】解：两次摸球的所有的可能性树状图如下：
∴P两次都是红球＝．
故选：D．
5．（3分）关于反比例函数y＝的图象的性质，下面说法正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．y随x的增大而增大
C．在每个象限内，y随x的增大而减小
D．在每个象限内，y随x的增大而增大
【分析】通过k＝3，k＞0的反比例图象的性质选择，k＞0时，双曲线位于一，三象限，在每个象限内，y随x增大而减小．
【解答】解：由反比例函数图象k＞0的性质可知，图象位于一，在每个象限内y随x增大而减小．
故选：C．
6．（3分）疫情无情人有情，爱心捐款传真情，新型冠状病毒感染的肺炎疫情期间，该班50名学生的捐款统计情况如下表：
则他们捐款金额的众数和中位数分别是（ ）
A．100，10B．10，20C．17，10D．17，20
【分析】根据众数，中位数的定义判断即可．
【解答】解：捐款金额的众数为10，
中位数＝＝20，
故选：B．
7．（3分）已知点P、点Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10，那么PQ的长为（ ）
A．5（3﹣）B．10（﹣2）C．5（﹣1）D．5（+1）
【分析】先由黄金分割的比值求出BP＝AQ＝5（﹣1），再由PQ＝AQ+BP﹣AB进行计算即可．
【解答】解：如图，∵点P，AB＝10，
∴BP＝AQ＝AB＝5（，
∴PQ＝AQ+BP﹣AB＝10（﹣1）﹣10＝10（，
故选：B．
8．（3分）如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k＜B．k＜且k≠0
C．﹣≤k＜D．﹣≤k＜且k≠0
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则Δ＞0，以及二次根式有意义的条件，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．
【解答】解：由题意知：2k+1≥6，k≠0，
∴≤k＜．
故选：D．
9．（3分）在平面直角坐标系中，如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①5a+b+c＝0； ③方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④b2﹣4ac＞0，其中正确的命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据二次函数的图象可知抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣1，且过点（1，0），根据对称轴可得抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），把（1，0）代入可对①做出判断；由对称轴为x＝﹣1，可对②做出判断；根据二次函数与一元二次方程的关系，可对③做出判断，根据根的判别式解答即可．
【解答】解：由图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，0）点，
把（3，0）代入y＝ax2+bx+c得，a+b+c＝2，所以5a+b+c≠0；
对称轴为直线x＝﹣8，即：﹣，整理得，因此②错误；
由抛物线的对称性，可知抛物线与x轴的两个交点为（1，2）2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；故③是正确的；
由图可得，抛物线有两个交点2﹣5ac＞0，故④正确；
故选：B．
10．（3分）如图，已知⊙O的半径为3，弦CD＝4（点A与点C、D不重合），连接AO并延长交CD于点E，交⊙O于点B，当∠APB＝120°时，则AP•BP的最大值为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【分析】延长AP交⊙O于T，连接BT．设PC＝x．构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
【解答】解：延长AP交⊙O于T，连接BT．
∵AB是直径，
∴∠ATB＝90°，
∵∠APB＝120°，
∴∠BPT＝60°，
∴PT＝PB•cs60°＝PB，
∵PA•PB＝2PA•PT＝2PC•PD＝2x•（7﹣x）＝﹣2（x﹣2）8+8，
∵﹣2＜7，
∴x＝2时，PA•PB的最大值为8，
故选：C．
二、填空题.（每小题4分，共16分）
11．（4分）已知，二次函数f（x）＝ax2+bx+c的部分对应值如下表，则f（﹣3）＝ 12 ．
【分析】根据二次函数的对称性结合图表数据可知，x＝﹣3时的函数值与x＝5时的函数值相同．
【解答】解：由图可知，f（﹣3）＝f（5）＝12．
故答案为：12．
12．（4分）已知a是满足不等式组的整数解，求代数式：（1+）÷ ．
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后根据a是满足不等式组的整数解，可以得到a的值，然后选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1+）÷
＝
＝
＝，
由不等式组，得4＜a≤2，
∵a是满足不等式组的整数解，
∴a＝2，
当a＝7时，＝＝，
故答案为：．
13．（4分）如图，一飞镖游戏板由大小相同的小正方形格子组成，向游戏板内随机投掷一枚飞镖 ．
【分析】利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可．
【解答】解：黑色区域的面积＝3×3﹣×3×2﹣×3×5＝4，
所以击中黑色区域的概率＝，
故答案为：．
14．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，则AC的长为 2 ．
【分析】连接OA、OC，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC＝45°，根据圆周角定理求出∠AOC，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：连接OA、OC，
∵AD⊥BC，AD＝BD，
∴∠ABC＝45°，
由圆周角定理得，∠AOC＝2∠ABC＝90°，
∴AC＝OA＝7，
故答案为：2．
三、解答题（共54分）
15．（12分）计算：
（1）tan45°+﹣2﹣2﹣（π﹣1）0+|﹣|；
（2）解方程：2x2+8x﹣3＝0．
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值进行实数的计算即可；
（2）运用配方法法求解即可．
【解答】解：（1）原式＝1+﹣﹣1+
＝1+1﹣﹣﹣1+
＝；
（2）2x2+5x﹣3＝0，
x2+4x＝，
x2+4x+5＝+62＝，
∴x+5＝±，
∴x1＝，x2＝．
16．（6分）高中招生指标到校是我市中考招生制度改革的一项重要措施．某初级中学对该校近四年指标到校保送生人数进行了统计，制成了如下两幅不完整的统计图：
（1）该校近四年保送生人数的极差是 5 ．请将折线统计图补充完整；
（2）该校2009年指标到校保送生中只有1位女同学，学校打算从中随机选出2位同学了解他们进入高中阶段的学习情况．请用列表法或画树状图的方法，求出所选两位同学恰好是1位男同学和1位女同学的概率．
【分析】（1）用该校近四年保送生人数的最大值减去最小值，即可求出极差，根据扇形统计图和折线统计图分别求出2009年和2012年的保送生人数，即可将折线统计图补充完整；
（2）根据题意列表，求出所有情况，再求出选两位同学恰好是1位男同学和1位女同学的情况，再根据概率公式计算即可．
【解答】解：（1）因为该校近四年保送生人数的最大值是8，最小值是3，
所以该校近四年保送生人数的极差是：4﹣3＝5，
折线统计图如下：
（2）记7位男生分别为A1，A2，A6；记女生为B，
列表如下：
由图表可知，共有12种情况，
所以选两位同学恰好是1位男同学和1位女同学的概率是＝．
17．（8分）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图．
身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，此时在额头C处测得A的仰角为53°．如果测得小聪的有效测温区间MN的长度是0.98米，求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计，sin53°≈0.8，cs53°＝0.6，ct53°≈0.75，≈1.73．）
【分析】延长BC交AD于点E，构造直角△ABE和矩形EDNB，设AE＝x米．通过解直角三角形分别表示出BE、CE的长度，根据BC＝BE﹣CE得到1.73x﹣0.75x＝0.98，解得即可求得AE 进而即可求得．
【解答】解：延长BC交AD于点E，设AE＝x米．
∵，
∴CE＝≈0.75x≈1.73x，
∴BC＝BE﹣CE＝4.73x﹣0.75x＝0.98．
解得x＝2，
∴AE＝1，
∴AD＝AE+ED＝1+3.6＝2.7（米）．
答：测温门顶部A处距地面的高度约为2.6米．
18．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E
（1）求证：△AEB∽△CFB；
（2）求证：；
（3）若CE＝5，EF＝2，BD＝6．求AD的长．
【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似即可判断．
（2）首先证明CE＝CF，利用相似三角形的性质即可解决问题．
（3）解直角三角形求出FH，CH，利用相似三角形的性质求出DF，AD即可．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴△AEB∽△CFB．
（2）证明：∵∠ABE＝∠CBE，∠A＝∠BCD，
∴∠CFE＝∠BCD+∠CBE＝∠A+∠ABE，
∵∠CEF＝∠A+∠ABE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∵△AEB∽△CFB，
∴＝，
∴＝．
（3）解：如图，作CH⊥EF于H．
∵CE＝CF，CH⊥EF，
∴EH＝FH＝，
∴CH＝＝＝2，
由△BFD∽△CFH，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝3，CD＝CF+DF＝4，
由△ACD∽△CBD，
∴＝，
∴＝，
∴AD＝．
19．（10分）如图，已知反比例函数y＝（m为常数）的图象经过▱ABOD的顶点D（0，3），（﹣2，0）．
（1）求出m的值及函数解析式；
（2）设点P是该反比例函数图象上的一点，若OD＝OP，求P点的坐标．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和点A、B的坐标，求出点D的坐标，代入解析式计算即可求出m的值，得到函数解析式；
（2）根据反比例函数的对称性，即关于原点对称和关于直线y＝x对称，求出P点的坐标．
【解答】解：（1）∵四边形ABOD为平行四边形，
∴AD∥OB，AD＝OB＝2，3），
∴D点坐标为（4，3），
∴1﹣5m＝2×3＝4，解得m＝﹣，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）∵反比例函数y＝的图象关于原点中心对称，
∴当点P与点D关于原点对称，则OD＝OP，﹣3），
∵反比例函数y＝的图象关于直线y＝x对称，
∴点P与点D（2，3）关于直线y＝x对称时满足OP＝OD，2），
点（3，2）关于原点的对称点也满足OP＝OD，﹣8），
综上所述，P点的坐标为（﹣2，（3，（﹣7．
20．（10分）如图，点I是O△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，延长CD，BA相交于点F
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若DE＝4，BE＝5，求DI的长；
（3）若sin∠ACD＝，CD＝10，求△ACD的内心到点O的距离．
【分析】（1）连接OD，根据点I是△ABC的内心，和垂径定理可得OD⊥AC，根据四边形ABCD是圆内接四边形，可得∠ADF＝∠ABC，得DG∥AC，进而可以解决问题；
（2）结合（1）证明DA＝DI，根据△DAE∽△DBA，对应边成比例即可求出AD的长，进而可得结论．
（3）如图，连接OD交AC于T，设G是△ACD的内心，连接CG，OC．想办法求出OT，GT，可得结论．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵点I是△ABC的内心，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴＝，
∴OD⊥AC，DC＝DA，
∴∠ODA＝∠CDA，
∵DG平分∠ADF，
∴∠ADG＝∠ADF，
∴∠ODG＝∠ODA+∠ADG＝（∠CDA+∠ADF）＝90°，
∴OD⊥DG，
∴DG是⊙O的切线．
（2）解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAI＝∠CAI，
∵∠EIA＝∠IBA+∠IAB＝∠CAD+∠CAI，
即∠DIA＝∠DAI，
∴DA＝DI，
∵∠DAE＝∠DBA，∠ADE＝∠BDA，
∴△DAE∽△DBA，
∴AD：DB＝DE：DA，
即AD：9＝4：AD，
∴AD＝3，
∴DI＝6．
（3）解：如图，连接OD交AC于T，连接CG．
∵DC＝DA，OD⊥AC，
∴OD平分∠CDA，
∴△ACD的内心在DT上，
在Rt△CDT中，CD＝10＝，
∴DT＝6，
∴CT＝AT＝＝＝6，
设OD＝OC＝x，
在Rt△OCE中，则有x2＝82+（x﹣6）2，
∴x＝，
∴OT＝﹣6＝，
∵G是△ACD的内心，
∴•（CD+AD+AC）•GT＝，
∴GT＝＝4，
∴OG＝OT+GT＝+4＝．
∴△ACD的内心到点O的距离为．
四、填空题（每小题4分，共20分）
21．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，则k的值 ﹣3 ．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，然后解不等式求得k的取值范围，然后根据根与系数的关系得到x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，再把x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16变形为﹣（x1+x2）2+3x1•x2＝﹣16，所以﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，然后解方程后即可确定满足条件的k的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+2k＝4有两个实数根，
∴Δ＝（2k+1）4﹣4（k2+5k）≥0，
解得k≤，
由根与系数的关系得x1+x2＝5k+1，x1x6＝k2+2k，
∵x5x2﹣x13﹣x22＝﹣16．
∴x6x2﹣[（x1+x7）2﹣2x7x2]＝﹣16，
即﹣（x1+x6）2+3x6•x2＝﹣16，
∴﹣（2k+8）2+3（k8+2k）＝﹣16，
整理得k2﹣6k﹣15＝0，
解得k1＝8（舍去），k2＝﹣3．
∴k＝﹣6，
故答案为﹣3．
22．（4分）若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程，则符合条件的所有整数a的和为 1 ．
【分析】解不等式组，得到不等式组的解集，根据整数解的个数判断a的取值范围，解分式方程，用含有a的式子表示y，根据解的非负性求出a的取值范围，确定符合条件的整数a，相加即可．
【解答】解：，
解①得，x＜5；
解②得，
∴不等式组的解集为；
∵不等式有且只有四个整数解，
∴，
解得，﹣2＜a≤8；
解分式方程得，y＝2﹣a（a≠1）；
∵方程的解为非负数，
∴7﹣a≥0即a≤2且a≠8
综上可知，﹣2＜a≤2且a≠8，
∵a是整数，
∴a＝﹣1，0，3；
∴﹣1+0+7＝1，
故答案为：1．
23．（4分）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AD＝CD＝，点E、点F分别是边AD，那么EF的长等于 ．
【分析】利用相似三角形的性质求出BC长，再利用等腰三角形的性质和勾股定理计算出EF的长即可．
【解答】解：如图所示：
∵AB＝AC，AD＝CD，
∴AC2＝BC•AD，
∵AC＝，AD＝，
∴CB＝2，
∵△ABC∽△DAC，
∴∠ACB＝∠CAD，
∴CB∥AD，
∵AB＝AC，F为BC中点，
∴AF⊥CB，BF＝CF＝5，
∴∠AFC＝90°，
∵CB∥AD，
∴∠FAE＝∠AFC＝90°，
∵AC＝，
∴AF＝，
∵AD＝，E为AD中点，
∴AE＝，
∴EF＝＝＝．
故答案为：．
24．（4分）如图，直线y＝﹣x+b与双曲线y＝（k＜0），y＝（m＞0），B，C，D，已知点A的坐标为（﹣1，4），且AB：CD＝5：2 ．
【分析】如图由题意：k＝﹣4，设直线AB交x轴于F，交y轴于E．根据反比例函数y＝和直线AB组成的图形关于直线y＝x对称，求出E、F、C、D的坐标即可；
【解答】解：如图由题意：k＝﹣4，设直线AB交x轴于F．
∵反比例函数y＝和直线AB组成的图形关于直线y＝x对称，4），
∴B（4，﹣1），
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4，
∴E（0，3），8），
∴AB＝5，EF＝3，
∵AB：CD＝5：4，
∴CD＝2，
∴CE＝DF＝，
∴C（，），D（，），
∴m＝，
故答案为．
25．（4分）一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC＝EF＝12cm（如图1）（EF）的中点，边FD与AB相交于点H （12﹣12）cm ．现将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转（如图2），在∠CGF从0°到60°的变化过程中，点H相应移动的路径长共为 （12﹣18）cm ．（结果保留根号）
【分析】如图1中，作HM⊥BC于M，设HM＝CM＝a．在Rt△BHM中，BH＝2HM＝2a，BM＝a，根据BM+MF＝BC，可得a+a＝12，推出a＝6﹣6，推出BH＝2a＝12﹣12．如图2中，当DG⊥AB时，易证GH1⊥DF，此时BH1的值最小，易知BH1＝BK+KH1＝3+3，当旋转角为60°时，F与H2重合，易知BH2＝6，观察图象可知，在∠CGF从0°到60°的变化过程中，点H相应移动的路径长＝2HH1+HH2，由此即可解决问题．
【解答】解：如图1中，作HM⊥BC于M，则CM＝HM＝a．
在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，
在Rt△BHM中，BH＝2HM＝7aa，
∵BM+FM＝BC，
∴a+a＝12，
∴a＝5﹣6，
∴BH＝8a＝12﹣12．
如图2中，当DG⊥AB时7⊥DF，此时BH1的值最小，易知BH1＝BK+KH5＝3+6，
∴HH1＝BH﹣BH1＝6﹣15，
当旋转角为60°时，F与H2重合，易知BH3＝6，
观察图象可知，在∠CGF从4°到60°的变化过程中1+HH2＝18﹣30+[6﹣12）]＝12．
故答案为（12﹣12）cm﹣18）cm．
五、解答题（共30分）
26．（8分）某厂为满足市场需求，改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个，每条生产线每天就会少生产20个口罩，设增加x条生产线（x为正整数）
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量取值范围；
（2）设该厂每天可以生产的口罩w个，请求出w与x的函数关系式，并求出当x为多少时
（3）由于口罩供不应求，所以每天生产的口罩数量不能低于6000个，请直接写出需要增加的生产线x条的取值范围．
【分析】（1）由题意可知该函数关系为一次函数，直接写出其解析式及自变量的取值范围即可；
（2）先根据题意写出关于x的二次函数，再将其配方，写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案；
（3）生产线的条数乘以每条生产线生产的口罩数量＝6000，据此列出一元二次方程，求解并根据题意得出x的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可知该函数关系为一次函数，其解析式为：y＝500﹣20x；
故y与x之间的函数关系式为y＝500﹣20x（1≤x＜25，且x为正整数）；
（2）w＝（10+x）（500﹣20x）
＝﹣20x2+300x+5000
＝﹣20（x﹣6.5）2+6125，
∵a＝﹣20＜6，开口向下，
∴当x＝7.5时，w最大，
又∵x为整数，
∴当x＝5或8时，w最大．
答：当增加7或8条生产线时，每天生产的口罩数量最多；
（3）由题意得：
 （10+x）（500﹣20x）＝6000，
整理得：x2﹣15x+50＝0，
解得：x8＝5，x2＝10，
由（2）得：w＝﹣20x2+300x+5000，
∵a＝﹣20＜0，开口向下，
∴需要增加的生产线x条的取值范围是：5≤x≤10（x为正整数）．
27．（10分）已知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的中点
（1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时；
（2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，DG2＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG（直接写出计算结果）
【分析】（1）由“AAS”可证△AGM≌△DGF，可得AM＝DF＝4，AG＝GD＝AD＝2，由勾股定理可求GF的长，由锐角三角函数可求MC的长，即可求解；
（2）过点M作MH⊥CD于H，过点G作GP⊥CD于P，通过证明△FHM∽△MHC，可得，可求FH＝，PH＝，DP＝2﹣，GP＝x，由勾股定理可求解；
（3）分两种情况讨论，通过全等三角形的性质和相似三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵点G为线段MF的中点，
∴GF＝MG，
又∵∠A＝∠FDG＝90°，∠AGM＝∠FGD，
∴△AGM≌△DGF（AAS），
∴AM＝DF＝4，AG＝GD＝，
∴GF＝＝＝2，
∴FM＝5GF＝4，
∵tanF＝，
∴，
∴MC＝2，
∴S△MFC＝×FM×MC＝×2；
（2）过点M作MH⊥CD于H，过点G作GP⊥CD于P，
∴GP∥MH，MH＝AD＝x，
∴＝，
∴GP＝MH＝xFH＝，
∵∠CMF＝90°＝∠FHM＝∠CHM，
∴∠F+∠FCM＝90°＝∠F+∠FMH＝∠FCM+∠CMH，
∴∠F＝∠CMH，∠FCM＝∠CMH，
∴△FHM∽△MHC，
∴，
∴MH2＝FH•HC，
∴FH＝，
∴PH＝，
∴DP＝2﹣，GP＝x，
∵DG6＝DP2+GP2，
∴y＝+5（2；
（3）如图6，当点G在矩形的内部时，连接AG，
∵∠FMC＝90°，
∴∠AME+∠CMB＝90°＝∠CMB+∠BCM，
∴∠AME＝∠MCB，
∵∠EDG＝∠EFD＝∠AME＝∠MCB，AD＝BC，
∴△ADJ≌△BCM（ASA），
∴AJ＝BM＝2，
∴JM＝4，
∵AB∥CD，
∴，
∴MJ＝FD＝4，GJ＝DG，
∴AG＝DG＝GJ，
∴∠GAD＝∠GDA＝∠GFD，
又∵∠AEG＝∠FED，
∴∠AGE＝∠FDE＝90°，
又∵FG＝GM，
∴AF＝AM＝6，
∴AD＝＝＝2，
当点G在矩形的外部时，延长DG交BA的延长线于L，
同理可求AD＝2，
综上所述：AD＝2或2．
28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点C，A（﹣4，0），B（1，0）
（1）求点C的坐标和抛物线的函数关系式；
（2）点D是OA上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，当DF＝EF时；
（3）设抛物线的对称轴l交x轴于点G，在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴上一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）证明△OAC∽△OCB，则，则，故C（0，﹣2），再用待定系数法即可求出抛物线表达式；
（2）设D（m，0），则，，，，由题意m+2＝（﹣m2﹣2m），进而求解；
（3）分AE是边和对角线两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．
【解答】解：（1）由题意，OA＝4，OC⊥AB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AOC＝∠COB，∠OCA+∠OAC＝90°，
∴∠OAC＝∠OCB，
∴△OAC∽△OCB，
∴，
∴，
∴C（0，﹣7），
分别把A（﹣4，0），8），﹣2）代入y＝ax2+bx+c得解得，
∴；
（2）设直线AC函数关系式为y＝kx+b，
代入A（﹣4，0），﹣2）得，，
解得，，b＝﹣2，
∴，
设D（m，2），
∴，，
∴，，
由题意m+2＝m2﹣2m），
解得，m＝﹣3或﹣5（舍去）
将m＝﹣3代入，得，
∴E（﹣7，﹣2）；
（3）存在，理由：
当以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形时．
由题意，AD＝1，，
在Rt△ADE中，由勾股定理的，，
①当AE是边时，
当时，
∵点A到直线l的距离是，
∴此时点M不存在．
当时，如图，
过点E作EH⊥l于点H，
∴yH＝yE＝﹣2，，
在Rt△EHM中，由勾股定理得MH＝＝，
∴或，
∴，；
当点M为（﹣，﹣2+，
由EM＝AN知，xM﹣xE＝xN﹣xA，即﹣﹣（﹣3）＝xN﹣（﹣2），解得xN＝﹣，
同理可得，yN＝，故点N1的坐标为（﹣，）；
同理可得N2的坐标为（﹣，﹣）；
②当AE是对角线时，
此时MA＝ME，即MA4＝ME2，此时菱形为AM3EN，
即MG2+AG2＝MH2+EH5，
设，，
解得n＝4，
∴，即点M3在x轴上，
则EN＝AM5＝﹣+3＝N﹣xE＝﹣7﹣xN，
解得xN＝﹣；
综上，，，．
金额/元
5
10
20
50
100
人数
6
17
14
8
5
x
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
y
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
5
12
金额/元
5
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20
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人数
6
17
14
8
5
x
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0
1
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