2020-2021学年重庆实验外国语学校八年级（下）入学数学试卷

这是一份2020-2021学年重庆实验外国语学校八年级（下）入学数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年重庆实验外国语学校八年级（下）入学数学试卷
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的框涂黑.
1．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．（a2）3＝a5 B．a2+a2＝a4 C．＝﹣4 D．
3．（4分）若代数式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≥1 B．x＜1且x≠0 C．x＞1 D．x≥1且x≠0
4．（4分）代数式49m2﹣km+1是一个完全平方式，则k的值为（　　）
A．7 B．±7 C．14 D．±14
5．（4分）估计（3+）×的值介于（　　）
A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间
6．（4分）根据以下程序，当输入x＝时，输出结果为（　　）

A． B．2 C． D．2
7．（4分）下列说法不正确的是（　　）
A．△ABC中，若∠A﹣∠B＝∠C，则△ABC是直角三角形
B．△ABC中，若b2﹣c2＝a2，则△ABC是直角三角形
C．△ABC 的三边之比是5：12：13，则△ABC是直角三角形
D．△ABC中，若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形
8．（4分）如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，GE＝1．则AC的长为（　　）

A．13 B．14 C．15 D．16
9．（4分）若k＜2，则一次函数y＝（2﹣k）x+k﹣2的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．（4分）如图图形都是由形状、大小完全相同的“●”按一定规律所组成，其中图①共有6个黑点，图②共有9个黑点，按此规律排列，则图⑦中黑点的个数为（　　）

A．21 B．24 C．27 D．30
11．（4分）如果关于x的不等式组的解集是x＞6，且关于x的分式方程，则符合条件的所有整数a的值之和是（　　）
A．7 B．12 C．15 D．20
12．（4分）如图，点D为△ABC边BC的延长线上一点．∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线交于点M，将△MBC以直线BC为对称轴翻折得到△NBC，若∠A＝48°，则∠BQC的度数为（　　）

A．138° B．114° C．102° D．100°
二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上。
13．（4分）一粒米的质量大约为0.000000036千克，将0.000000036用科学记数法来表示为　 　．
14．（4分）分解因式：ax2﹣16ay2＝　 　．
15．（4分）已知+（a﹣b﹣3）2＝0，则ab的值为　 　．
16．（4分）如图所示，直线y＝+5分别与x，B两点，C为线段OA上一点，将△ABC沿BC翻折，点A的对应点A'恰好落在y轴上　 　．

17．（4分）小亮和小明在同一直线跑道AB上跑步．小亮从AB之间的C地出发，到达终点B地停止运动，小明从起点A地与小亮同时出发，在返途经过某地时小明的体力下降，并将速度降至3米/秒跑回终点C地，小亮和小明均保持匀速，两人距C地的路程和记为y（米）（秒），y与x的函数关系如图所示，则小明在返途中体力下降并将速度降至3米/秒时　 　米．

18．（4分）疫情期间，为了降低外出感染风险，各大超市开通了送货到小区的便民服务．某超市推出A、B、C三种蔬菜，采用甲、乙、丙三种袋装进行销售．已知每袋的成本分别为袋中A、B、C三种蔬菜的成本之和，且袋子的成本忽略不计．每袋甲分别装A、B、C三种蔬菜3斤、1斤、1斤，每袋甲的利润率为25%．每袋甲比每袋乙的售价低25%．每袋丙在成本上提高40%标价后打八折销售，每袋的获利为每斤A成本的1.2倍．当销售甲、乙、丙三种袋装蔬菜的数量之比为1：2：5时　 　．
三、解答题：（本大题共8个小题，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．（10分）计算：
（1）（）×+（﹣2）﹣1；
（2）（a﹣3）2﹣a（a+2）．
20．（8分）先化简，再求值：（x﹣1+）÷，其中x为满足﹣3≤x≤﹣
21．（10分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，过D作DE∥AB，满足DE＝AD且DE为∠ADC的角平分线．
（1）求证：△ABD≌△DEC；
（2）求∠B的度数．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x与直线l2：y＝kx+b相交于点A，点A的横坐标为3，直线l2交y轴负半轴于点B，且OB＝OA．
（1）求点B的坐标及直线l2的函数表达式；
（2）过点B作l3∥l1交x轴于点C，连接AC，求△ABC的面积．

23．（10分）同学们为重庆实验外国语学校的“书香文化节”活动到文具店挑选奖品，准备购买一些中性笔和笔记本．如果分别用80元购买中性笔和笔记本，购买笔记本的数量比中性笔的数量少2．
（1）求中性笔、笔记本的单价分别为多少元？
（2）学校计划购买中性笔、笔记本数量总和为60，如果购买笔记本m本，学校计划总费用不超过520元，设总费用为w元，那么应如何安排购买方案才能使总费用最少
24．（10分）阅读材料1：规定若一个正整数x能表示成a2﹣b2（a，b是正整数，且a＞b）的形式，则称这个数为“风月同天数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为5＝32﹣22，所以5是“风月同天数”，3与2是5的平方差分解．
阅读材料2：如果一个自然数各数位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”，例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，再如：656，9898，171717，…都是“摆动数”．
（1）判断9和2是否为“风月同天数”，并说明理由；
（2）对于一个三位数为X，X的十位数字9，个位数字与百位数字相等且小于等于2，请求出X的所有平方差分解．
25．（10分）已知，在等腰△ABC中，AB＝AC，在等腰△ABC内部作等腰Rt△ABD，其中BD＝DA
（1）如图1，若∠BAC＝60°，AB＝3
（2）如图2，延长BD交AC于点E，过点A作AF⊥BC，使得AF＝FM，过点F、M分别作FN⊥BM，FN与MH交于点R且FR＝CE．求证：AF＝2CD．

26．（10分）已知直线l1：y＝﹣x+b与x轴交于点A，直线l2：y＝x﹣与x轴交于点B1、l2交于点C，且C点的横坐标为1．
（1）求直线l1的解析式和点A的坐标．
（2）直线l1与y轴交于点D，将l1向上平移9个单位得l3，l3与x轴、y轴分别交于点E、F，点P为l3上一动点，连接AP、BP，当△ABP的周长最小时
（3）将l1绕点C逆时针旋转，使旋转后的直线l4过点G（﹣2，0），过点C作l5平行于x轴，点M、N分别为直线l4、l5上两个动点，是否存在点M、点N，使△BMN是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，求出点M的坐标，若不存在

2020-2021学年重庆实验外国语学校八年级（下）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的框涂黑.
1．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：A、是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、是轴对称图形；
故选：B．
2．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．（a2）3＝a5 B．a2+a2＝a4 C．＝﹣4 D．
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及二次根式的乘法运算法则、合并同类项法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、（a2）3＝a5，故此选项错误；
B、a2+a2＝8a2，故此选项错误；
C、＝1；
D、×＝2×＝．
故选：D．
3．（4分）若代数式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≥1 B．x＜1且x≠0 C．x＞1 D．x≥1且x≠0
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣1＞0，
解得x＞6．
故选：C．
4．（4分）代数式49m2﹣km+1是一个完全平方式，则k的值为（　　）
A．7 B．±7 C．14 D．±14
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【解答】解：∵49m2﹣km+1是一个完全平方式，
∴km＝±3×7m×1，
解得k＝±14．
故选：D．
5．（4分）估计（3+）×的值介于（　　）
A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间
【分析】根据二次根式的乘除法法则化简后，再估算出的值即可．
【解答】解：（3+）×
＝
＝3+2，
∵，
∴，
∴，
∴（3+）×．
故选：C．
6．（4分）根据以下程序，当输入x＝时，输出结果为（　　）

A． B．2 C． D．2
【分析】根据流程图所示顺序，逐框分析代入求值即可．
【解答】解：当x＝时，
则＝＝2，
再输入2，则＝，结果不大于2，
则输出结果为；
故选：C．
7．（4分）下列说法不正确的是（　　）
A．△ABC中，若∠A﹣∠B＝∠C，则△ABC是直角三角形
B．△ABC中，若b2﹣c2＝a2，则△ABC是直角三角形
C．△ABC 的三边之比是5：12：13，则△ABC是直角三角形
D．△ABC中，若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形
【分析】根据直角三角形的判定方法和勾股定理的逆定理判断即可．
【解答】解：A、△ABC中，可得，则△ABC是直角三角形，不符合题意；
B、△ABC中2﹣c2＝a7，可得，b2＝c2+a5，则△ABC是直角三角形，说法正确；
C、△ABC ，可得2+（12x）2＝（13x）7，则△ABC是直角三角形，说法正确；
D、△ABC中2+b2≠c8，而b2＝c2+a2，则△ABC是直角三角形，说法错误；
故选：D．
8．（4分）如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，GE＝1．则AC的长为（　　）

A．13 B．14 C．15 D．16
【分析】利用线段的垂直平分线的性质以及线段的和差关系即可解决问题．
【解答】解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，
∴EB＝EA，GB＝GC，
∵△BEG周长为16，
∴EB+GB+EG＝16，
∴EA+GC+EG＝16，
∴GA+EG+EG+EG+EC＝16，
∴AC+2EG＝16，
∵EG＝1，
∴AC＝14，
故选：B．
9．（4分）若k＜2，则一次函数y＝（2﹣k）x+k﹣2的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】判断出2﹣k及k﹣2的符号，进而可得出结论．
【解答】解：∵k＜2，
∴2﹣k＞3，k﹣2＜0，
∴一次函数y＝（2﹣k）x+k﹣2的图象过一、三、四象限．
故选：B．
10．（4分）如图图形都是由形状、大小完全相同的“●”按一定规律所组成，其中图①共有6个黑点，图②共有9个黑点，按此规律排列，则图⑦中黑点的个数为（　　）

A．21 B．24 C．27 D．30
【分析】仔细观察图形，找到图形中圆形个数的通项公式：第n个图形有3（n+1）个●，然后代入n＝7求解即可．
【解答】解：观察图形得：
第1个图形有3+4×1＝6个●，
第5个图形有3+3×3＝9个●，
第3个图形有4+3×3＝12个●，
…
第n个图形有6+3n＝3（n+2）个●，
当n＝7时，3×（6+1）＝24，
即第7个图形中●的个数为24，
故选：B．
11．（4分）如果关于x的不等式组的解集是x＞6，且关于x的分式方程，则符合条件的所有整数a的值之和是（　　）
A．7 B．12 C．15 D．20
【分析】表示出不等式组的解集，确定出a的范围，根据分式方程有非负整数解确定出a的值，即可得到符合条件的a的所有值的和．
【解答】解：解不等式组，可得，
∵该不等式组的解集为x＞6，
∴a≤2，
解关于x的分式方程+2，
∵x＞0，x≠7
∴，，
解得a＞2，a≠5
∴5＜a≤6，
∵a为整数，
∴a＝3，6．
∴3+4＝3．
故选：A．
12．（4分）如图，点D为△ABC边BC的延长线上一点．∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线交于点M，将△MBC以直线BC为对称轴翻折得到△NBC，若∠A＝48°，则∠BQC的度数为（　　）

A．138° B．114° C．102° D．100°
【分析】依据∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线交于点M，即可得到∠M＝∠DCM﹣∠DBM＝24°，依据∠NBC的角平分线与∠NCB的角平分线交于点Q，即可得到∠Q＝180°﹣（∠CBQ+∠BCQ）＝102°．
【解答】解：∵∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线交于点M，
∴∠DCM＝∠ACD∠ABC，
∴∠M＝∠DCM﹣∠DBM
＝（∠ACD﹣∠ABC）
＝∠A
＝24°，
由折叠可得，∠N＝∠M＝24°，
又∵∠NBC的角平分线与∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠CBQ＝∠CBN∠BCN，
∴△BCQ中，
∠Q＝180°﹣（∠CBQ+∠BCQ）
＝180°﹣（∠CBN+∠BCN）
＝180°﹣×（180°﹣∠N）
＝90°+∠N
＝102°，
故选：C．

二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上。
13．（4分）一粒米的质量大约为0.000000036千克，将0.000000036用科学记数法来表示为　3.6×10﹣8　．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000036＝3.7×10﹣8，
故答案为：3.6×10﹣8．
14．（4分）分解因式：ax2﹣16ay2＝　a（x+4y）（x﹣4y）　．
【分析】原式提取公因式a后，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（x+4y）（x﹣4y）．
故答案为：a（x+5y）（x﹣4y）
15．（4分）已知+（a﹣b﹣3）2＝0，则ab的值为　1　．
【分析】首先根据非负数的性质可得关于a，b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，进而可求出ab的值．
【解答】解：∵+（a﹣b﹣7）2＝0，
∴，
解得；
∴ab＝30＝7．
故答案为：1．
16．（4分）如图所示，直线y＝+5分别与x，B两点，C为线段OA上一点，将△ABC沿BC翻折，点A的对应点A'恰好落在y轴上　（﹣，0）　．

【分析】由折叠的行程可知∠ABC＝∠A′BC，过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝CO，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，利用勾股定理可求出AB的长，再利用面积法即可求出m的值，进而可得出点C的坐标．
【解答】解：由折叠的性质可知：∠ABC＝∠A′BC.
过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝CO．
当x＝0时，y＝，
∴点B的坐标为（3，5）；
当y＝0时，x+5＝0，
∴点A的坐标为（﹣12，3），
∴AB＝＝13．
设OC＝m，则CD＝m．
∵AB•CD＝AC•OB，即13m＝5（12﹣m），
解得：m＝，
∴点C的坐标为（﹣，3）．
故答案为：（﹣，0）．

17．（4分）小亮和小明在同一直线跑道AB上跑步．小亮从AB之间的C地出发，到达终点B地停止运动，小明从起点A地与小亮同时出发，在返途经过某地时小明的体力下降，并将速度降至3米/秒跑回终点C地，小亮和小明均保持匀速，两人距C地的路程和记为y（米）（秒），y与x的函数关系如图所示，则小明在返途中体力下降并将速度降至3米/秒时　180　米．

【分析】由题意可知，小明速度比小亮速度快，把图象看作由线段DE、EF、FG、GH、HI组成，线段DE和EF代表小亮从C地、小明从A地同时出发往B地走的过程，其中点E处表示小明到达C地，故两人离C地距离和最小，随后又增大；线段FG表示小明在休息，小亮继续走，所以y＝480时对应的x＝100+20＝120；线段GH表示小明加快速度返回；线段HI表示小明速度下降后返回．
【解答】解：由图象可知，x＝0时，即开始时小亮在C地小明在A地，
∴AC＝100，
当x＝25时，y最小，
∴小明开始速度为：100÷25＝4（米/秒），返回速度为3×1.5＝7（米/秒），
当x＝100时，小明到达B地，
∴AB＝4×100＝400（米），
∴BC＝AB﹣AC＝300（米），
当y＝480最大时，小明休息完20秒，
此时，小亮离C地距离为480﹣300＝180（米），
∴小亮速度为：180÷120＝（米/秒），
∴两人走完全程所用时间为：300÷＝200（秒），
∴小明返回C地所用时间为：200﹣120＝80（秒），
设小明返回时在a秒时速度下降到5米/秒，列方程得：
6a+3（80﹣a）＝300，
解得：a＝20．
此时离C地距离为：4×（80﹣20）＝180（米）．
故答案为：180
18．（4分）疫情期间，为了降低外出感染风险，各大超市开通了送货到小区的便民服务．某超市推出A、B、C三种蔬菜，采用甲、乙、丙三种袋装进行销售．已知每袋的成本分别为袋中A、B、C三种蔬菜的成本之和，且袋子的成本忽略不计．每袋甲分别装A、B、C三种蔬菜3斤、1斤、1斤，每袋甲的利润率为25%．每袋甲比每袋乙的售价低25%．每袋丙在成本上提高40%标价后打八折销售，每袋的获利为每斤A成本的1.2倍．当销售甲、乙、丙三种袋装蔬菜的数量之比为1：2：5时　11%　．
【分析】分别设每斤A、B、C三种蔬菜的成本为a、b、c，设丙每袋成本为m，然后根据题意将甲、乙、丙三种袋装的每袋成本和利润用a表示出来即可求解．
【解答】解：设每斤A、B、C三种蔬菜的成本分别为a、b、c
3a+b+c＝12a，
∴b+c＝9a，
∴每袋甲的销售利润＝12a•25%＝5a，
∴每袋甲的销售价为：12a+3a＝15a，
依题意得，乙种袋装每袋成本＝a+2b+4c＝a+18a＝19a，
∵每袋甲比每袋乙的售价低25%，
∴乙种袋装每袋售价＝15a÷（1﹣25%）＝20a，
∴每袋乙的销售利润＝20a﹣19a＝a，
设每袋丙成本为m，依题意得：m（1+40%）•7.8﹣m＝1.8a，
解得m＝10a．
∴当销售甲、乙、丙三种袋装蔬菜的数量之比为1：2：5时，
总成本为：12a•1+19a•2+10a•7＝100a，
总利润为：3a•1+a•4+1.2a•2＝11a，
销售的总利润率为 ×100%＝11%，
故答案为：11%．
三、解答题：（本大题共8个小题，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．（10分）计算：
（1）（）×+（﹣2）﹣1；
（2）（a﹣3）2﹣a（a+2）．
【分析】（1）直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案；
（2）直接利用完全平方公式以及单项式乘多项式计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝（2﹣）×﹣
＝×﹣
＝2﹣；

（2）原式＝a6﹣6a+9﹣a7﹣2a
＝﹣8a+6．
20．（8分）先化简，再求值：（x﹣1+）÷，其中x为满足﹣3≤x≤﹣
【分析】根据分式的加减法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣3≤x≤﹣中选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（x﹣1+）÷
＝
＝
＝
＝，
∵x+1≠0（x+4）（x﹣2）≠0，
∴x≠﹣4，x≠±2，
∵﹣3≤x≤﹣
∴x可以是﹣3，
当x＝﹣7时，原式＝＝．
21．（10分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，过D作DE∥AB，满足DE＝AD且DE为∠ADC的角平分线．
（1）求证：△ABD≌△DEC；
（2）求∠B的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质和等腰三角形的性质得出DE＝EC＝AD＝BD，进而利用全等三角形的判定解答即可；
（2）根据三角形内角和解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B，∠BAD＝∠ADE，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠EDC，
∴∠B＝∠BAD＝∠EDC＝∠C，
∴∠ADB＝∠DEC，
∴DE＝DC，BD＝AD，
∴DE＝AD，
∴DC＝DE＝BD＝AD，
在△ABD与△DEC中，
，
∴△ABD≌△DEC（SAS）；
（2）设∠B＝x，
由（1）得，∠ADE＝x，
∴∠AED＝，
∵∠B＝∠C＝∠EDC＝x，
∴∠AED＝2x，
∴6x＝，
解得：x＝36°，
∴∠B＝36°．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x与直线l2：y＝kx+b相交于点A，点A的横坐标为3，直线l2交y轴负半轴于点B，且OB＝OA．
（1）求点B的坐标及直线l2的函数表达式；
（2）过点B作l3∥l1交x轴于点C，连接AC，求△ABC的面积．

【分析】（1）利用直线l1的解析式求出点A的坐标，再根据勾股定理求出OA的长度，从而可以得到OB的长度，根据图象求出点B的坐标，然后利用待定系数法列式即可求出直线l2的函数表达式；
（2）根据题意易求得直线l3为y＝x﹣5，即可求得C（，0），根据直线l2的解析式求得与x轴的交点D的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得结果．
【解答】解：（1）∵点A的横坐标为3，
∴y＝x＝4
∴点A的坐标是（3，8），
∴OA＝＝5，
∵OA＝OB，
∴OB＝OA＝5，
∴点B的坐标是（0，﹣5），
把A、B的坐标代入y＝kx+b得，，
解得，
∴直线l2的函数表达式是y＝3x﹣5；
（2）∵过点B作l3∥l2交x轴于点C，
∴直线l3为y＝x﹣5，
令y＝0，则x＝，
∴C（，0），
设直线l6与x轴的交点为D，
∵直线l2为y＝3x﹣4，
∴D（，5），
∴CD＝﹣＝，
∴△ABC的面积＝××（6+5）＝．

23．（10分）同学们为重庆实验外国语学校的“书香文化节”活动到文具店挑选奖品，准备购买一些中性笔和笔记本．如果分别用80元购买中性笔和笔记本，购买笔记本的数量比中性笔的数量少2．
（1）求中性笔、笔记本的单价分别为多少元？
（2）学校计划购买中性笔、笔记本数量总和为60，如果购买笔记本m本，学校计划总费用不超过520元，设总费用为w元，那么应如何安排购买方案才能使总费用最少
【分析】（1）首先设笔记本的单价的单价为x元，则中性笔的单价为x元，根据题意可得等量关系买笔记本的数量比中性笔的数量少2，列方程再解方程可得答案；
（2）根据题意得出W与m的关系式以及m的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设笔记本的单价的单价为x元，则中性笔的单价为，由题意得：
＝，
解得：x＝10，
经检验：x＝10是原分式方程的解，
则×10＝8（元）．
答：笔记本的单价的单价为10元，则中性笔的单价为4元；
（2）w＝10m+8（60﹣m）＝2m+480，
又∵，
解得：≤m≤20，
∵w＝6m+480，w随m的增大而增大，
∵m应为正整数，
∴当m＝9时，W取最小值．
60﹣9＝51（只），
答：购买笔记本5本，中性笔的数量51只，费用的最小值为498元．
24．（10分）阅读材料1：规定若一个正整数x能表示成a2﹣b2（a，b是正整数，且a＞b）的形式，则称这个数为“风月同天数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为5＝32﹣22，所以5是“风月同天数”，3与2是5的平方差分解．
阅读材料2：如果一个自然数各数位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”，例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，再如：656，9898，171717，…都是“摆动数”．
（1）判断9和2是否为“风月同天数”，并说明理由；
（2）对于一个三位数为X，X的十位数字9，个位数字与百位数字相等且小于等于2，请求出X的所有平方差分解．
【分析】（1）根据风月同天数的定义进行判断；
（2）根据题意得：X＝191或X＝292，然后分情况分别计算即可．
【解答】解：（1）9是风月同天数，2不是风月同天数
设3＝a2﹣b2，a，b均为正整数，且 ，
所以a+b＞a﹣b，
则（a+b）（a﹣b）＝8＝9×1，
∴a+b＝4，a﹣b＝1，
解得a＝5，b＝4，
则9＝52﹣42，即8是风月同天数；
设2＝a2﹣b7，a，b均为正整数，
所以a+b＞a﹣b，
则（a+b）（a﹣b）＝2＝2×5，
∴a+b＝2，a﹣b＝1，
解得a＝，b＝，
因为a，b的值不是正整数；
（2）根据题意得：X＝191或X＝292，
当X＝191时，设X＝a2﹣b2，a，b均为正整数，且 ，
所以a+b＞a﹣b，
则（a+b）（a﹣b）＝191＝191×2，
∴a+b＝191，a﹣b＝1，
解得a＝96，b＝95，
则X＝191＝962﹣955；
当X＝292时，设X＝a2﹣b2，a，b均为正整数，且 ，
所以a+b＞a﹣b，
则（a+b）（a﹣b）＝292＝292×7＝146×2＝73×4，
若a+b＝292，a﹣b＝8，
解得a＝，b＝，
a，b不是正整数，这种情况不存在；
若a+b＝146，a﹣b＝5，
解得a＝74，b＝72，
a，b是正整数，故X＝292＝742﹣722；
若a+b＝73，a﹣b＝7，
解得a＝，b＝，
a，b不是正整数，故这种情况不存在；
综上所述：X的所有平方差分解为：X＝191＝964﹣952或X＝292＝742﹣725．
25．（10分）已知，在等腰△ABC中，AB＝AC，在等腰△ABC内部作等腰Rt△ABD，其中BD＝DA
（1）如图1，若∠BAC＝60°，AB＝3
（2）如图2，延长BD交AC于点E，过点A作AF⊥BC，使得AF＝FM，过点F、M分别作FN⊥BM，FN与MH交于点R且FR＝CE．求证：AF＝2CD．

【分析】（1）证明△ADC≌△BDC（SSS），可知S△ACD＝S△BCD＝（S△ABC﹣S△ADB）．
（2）如图2中，连接DF．设HM交BC于点O，AM交BE于点J．想办法证明AF＝2CF，△DFC是等腰直角三角形，可得结论．
【解答】（1）解：如图1中，

∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴CA＝CB，
∵△ABD是等腰直角三角形，AB＝3，
∴DA＝DB，
在△ADC和△BDC中，
，
∴△ADC≌△BDC（SSS），
∴S△ACD＝S△BCD＝（S△ABC﹣S△ADB）＝•（5﹣×3×﹣．

（2）证明：如图2中，连接DF，AM交BE于点J．

∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝FC，∠AFC＝∠MFB＝90°，
在△AFC和△MFB中，
，
∴△AFC≌△MFB（SAS），
∴∠ACF＝∠FBM，
∵FN⊥BM，
∴∠FBM+∠BFN＝90°，
∵∠MFR+∠BFN＝90°，
∴MFR＝∠FBM＝∠ECB，
∵MH⊥BE，
∴∠BHO＝∠MFO＝90°，
∵∠BOH＝∠MOF，
∴∠CBE＝∠FMR，
在∠BCE和△MFR中，
，
∴△BCE≌△MFR（AAS），
∴BC＝FM＝AF，
∴AF＝6CF，
∵∠ADJ＝∠BFJ＝90°，∠AJD＝∠BJF，
∴∠FAD＝∠CBD，
在△AFD和△BCD中，
，
∴△AFD≌△BCD（SAS），
∴DF＝CD，∠ADF＝∠BDC，
∴∠ADB＝∠FDC＝90°，
∴CF＝CD，
∴AF＝2CD．
26．（10分）已知直线l1：y＝﹣x+b与x轴交于点A，直线l2：y＝x﹣与x轴交于点B1、l2交于点C，且C点的横坐标为1．
（1）求直线l1的解析式和点A的坐标．
（2）直线l1与y轴交于点D，将l1向上平移9个单位得l3，l3与x轴、y轴分别交于点E、F，点P为l3上一动点，连接AP、BP，当△ABP的周长最小时
（3）将l1绕点C逆时针旋转，使旋转后的直线l4过点G（﹣2，0），过点C作l5平行于x轴，点M、N分别为直线l4、l5上两个动点，是否存在点M、点N，使△BMN是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，求出点M的坐标，若不存在
【分析】（1）利用点C是两条直线的交点，求出C点坐标，代入直线l1，可求出直线l1的解析式，进而求出点A的坐标，
（2）利用平移求出l3的解析式，构造点B关于l3的对称点Q，利用两点之间线段最短找到点P的坐标，利用两点间距离公式，求出△ABP的周长，
（3）构造全等三角形，利用全等边相等，列出关系式，进而求出M的坐标．
【解答】解：（1）将x＝1代入直线y＝x﹣×1﹣，
故点C的坐标为（8，﹣4），
将C的坐标（1，﹣5）代入直线y＝﹣x+b得，
﹣4＝﹣1+b，
解得b＝﹣5，
∴直线l1：y＝﹣x﹣3，
令y＝4，则﹣x﹣3＝0，
故点A的坐标为（﹣2，0），
（2）直线l3为l4向上平移9个单位所得，故
直线l3的解析式为：y＝﹣x+4，
令x＝0，得y＝6，得x＝6，
故点E，点F的坐标分别为（6，（0，
直线l2：y＝x﹣，
令y＝0，得x＝4，4），
取点B关于l3的对称点Q，设点Q的坐标为（a，
则线段BQ的中点坐标为（，）在直线l3，
∴＝﹣，（1）
且•（﹣1）＝﹣2即，（2）
联立（1）（2）得
，
解得：，
∴Q（8，2），
直线AQ的解析式：y＝，
当△ABP的周长最小时，即AP+BP最小，
连接AQ，交直线l6于点P，

此时AP+BP最小，
最小值为AQ＝，
∵AB＝7，
此时△ABP的周长为7+，
由解得，
∴P点坐标为（，），
（3）设l4的解析式：y＝mx+n，
将C（4，﹣4），0），
，解得，
∴l4的解析式为：y＝﹣，
7°当点M在直线l4的上方时，
设点N（n，﹣4），﹣s﹣），
过点N，B分别作y轴的平行线，三条直线分别交于R，如图

则R，S的坐标分别为（n，﹣），（4，﹣），
∴RM＝s﹣n，RN＝4﹣，MS＝5﹣ss﹣，
∵∠NMB＝90°，
∴∠NMR+∠SMB＝90°，
∵∠BMS+∠MBS＝90°，
∴∠NMR＝∠MBS，
∵∠S＝∠R＝90°，MB＝MN，
∴△MNR≌△MBS（AAS），
∴RM＝SB，RN＝SM，
即s﹣n＝﹣s﹣s﹣，
解得s＝﹣8，n＝﹣16，
∴点M的坐标为（﹣8，7），
2°当点M在直线l4的下方时，
设点N（n，﹣3），﹣s﹣），
过点N，B分别作y轴的平行线，三条直线分别交于R，如图

则R，S的坐标分别为（n，﹣），（5，﹣），
∴RM＝s﹣n，RN＝﹣7，SB＝，
∵∠NMB＝90°，
∴∠NMR+∠SMB＝90°，
∵∠BMS+∠MBS＝90°，
∴∠NMR＝∠MBS，
∵∠S＝∠R＝90°，MB＝MN，
∴△MNR≌△MBS（AAS），
∴RM＝SB，RN＝SM，
即s﹣n＝s+，﹣4＝4﹣s，
解得s＝，n＝﹣，
∴点M的坐标为（，﹣），
综上点M的坐标为（﹣8，8）或（，﹣）．