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2020-2021学年江苏省南京市栖霞区九年级（下）开学数学试卷
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这是一份2020-2021学年江苏省南京市栖霞区九年级（下）开学数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省南京市栖霞区九年级（下）开学数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1．（2分）3的平方根是（ ）
A．9 B． C．﹣ D．±
2．（2分）下列运算结果正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．a3÷a2＝a D．（a2）3＝a5
3．（2分）某校运动会中，九年级有13名女同学参加女子百米竞赛，预赛成绩各不相同，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
4．（2分）如图，BD为⊙O的直径，点A、C在⊙O上，则∠CBD的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
5．（2分）如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，且DE∥BC，BD＝2AD．若△ODE的面积为1，则△BCE的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．（2分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论：①x＞0时；②2a+b＝0；③4a+2b+c＜02+bx+c+a＝0有两个不相等的实数根．其中，所有正确结论的序号为（ ）
A．②③ B．②④ C．①②③ D．②③④
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．（2分）南京在建的地铁6号线由栖霞山站开往南京南站，全长32400米．用科学记数法表示32400是 ．
8．（2分）要使在实数范围内有意义，x的取值范围是 ．
9．（2分）分解因式：（a+b）2﹣4ab＝ ．
10．（2分）计算﹣的结果是 ．
11．（2分）已知圆锥的底面半径为1cm，母线长为3cm，则其侧面积为 cm2．（结果保留π）
12．（2分）若x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2＝ ．
13．（2分）将二次函数y＝x2+1的图象向右平移1个单位后再沿x轴翻折，得到的图象对应的函数表达式是 ．
14．（2分）在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q（0，2），N（0，8），则点P的坐标为 ．
15．（2分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，B是，过C作⊙O的切线交AB的延长线于点E．若∠AEC＝84°，则∠ADC＝ °．
16．（2分）如图，点I为△ABC的内心，AB＝5cm，BC＝3cm，将△ABC平移，则重叠部分的面积为 cm2．
三、解答题（本大题共11小题，共88分）
17．（8分）化简：
18．（8分）解不等式组，并写出该不等式组的整数解．
19．（8分）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接BF，AC，求证：四边形ABFC是矩形．
20．（8分）甲、乙两人在相同的条件下各射靶5次，每次射靶的成绩情况如图：
（1）请你根据图中的数据填写下表：
姓名
平均数
中位数
众数
甲
6
6
乙
6
（2）利用方差判断这5次射靶是甲的成绩波动大还是乙的成绩波动大．
21．（8分）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．
（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？
（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 ．
22．（8分）为了提升小区形象，改善业主居住环境，开发商准备对小区进行绿化．利用长度为64m的篱笆和一段小区围墙搭建如图所示的矩形花圃（接口忽略不计），分别用来种植不同的花卉．则花圃的一边AB为多长时，花圃的面积为192m2．
23．（8分）如图，在▱ABCD中，过A、B、C三点的⊙O交AD于点E，BE＝BC．
（1）求证：△BEC∽△CED；
（2）若BC＝10，DE＝3.6，求⊙O的半径．
24．（8分）快、慢两车分别从相距120千米路程的甲、乙两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，立即按原路返回，返回时的速度是去时速度的2倍1（千米）与出发后所用的时间x（小时）的关系如图所示．
请结合图象信息解答下列问题：
（1）慢车的速度是 千米/小时，快车的返回时速度是 千米/小时；
（2）画出快车距出发地的路程y2（千米）与出发后所用的时间x（小时）的函数图象；
（3）在快车返回途中，快、慢两车相距的路程为50千米时，慢车行驶了多少小时？
25．（8分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为 件．
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大，最大利润是多少元？
26．（8分）已知二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣6）（a、m为常数，且a≠0），该函数图象顶点A的纵坐标为﹣9．
（1）求证：该函数的图象与x轴有两个公共点．
（2）若该函数图象与y轴交于点B（0，﹣5），求该函数的表达式．
（3）若该函数图象过点（﹣6，y1）与（2，y2），比较y1、y2的大小．
27．（8分）如图，在△ABC中，AB＝BC，过点C作∠ACD＝∠ACB，且交⊙O于点D．连接BD交AC于点E，使得CF＝CB，连接BF．
（1）求证：ED＝EC．
（2）求证：BF是⊙O的切线．
（3）若点G为△BCD的内心，AE•AC＝10．
①利用无刻度的直尺在图中画出点G的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
②求AG的长．
2020-2021学年江苏省南京市栖霞区九年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1．（2分）3的平方根是（ ）
A．9 B． C．﹣ D．±
【分析】如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有正、负两个平方根，它们互相为相反数；零的平方根是零，负数没有平方根．
【解答】解：∵（）2＝8，
∴3的平方根．
故选：D．
2．（2分）下列运算结果正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．a3÷a2＝a D．（a2）3＝a5
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、a2与a3是加，不是乘，故本选项错误；
B、a5•a3＝a2+5＝a5，故本选项错误；
C、a3÷a8＝a3﹣2＝a，故本选项正确；
D、（a7）3＝a2×8＝a6，故本选项错误．
故选：C．
3．（2分）某校运动会中，九年级有13名女同学参加女子百米竞赛，预赛成绩各不相同，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【分析】由于有13名同学参加百米竞赛，要取前6名参加决赛，故应考虑中位数的大小．
【解答】解：共有13名学生参加竞赛，取前6名．我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，所以小梅知道这组数据的中位数．
故选：C．
4．（2分）如图，BD为⊙O的直径，点A、C在⊙O上，则∠CBD的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等得到∠BDC＝∠A＝40°，由BD为⊙O的直径，根据圆周角定理的推论：直径所对的圆周角为直角得到∠BCD＝90°，然后利用三角形内角定理即可计算出∠CBD的度数．
【解答】解：∵∠A＝40°，
∴∠BDC＝40°，
又∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠CBD＝90°﹣40°＝50°．
故选：C．
5．（2分）如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，且DE∥BC，BD＝2AD．若△ODE的面积为1，则△BCE的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】结合图形根据线段之间的和差关系可得到＝，根据DE∥BC，推出△ADE∽ABC，△ODE∽OCB，从而根据相似三角形的性质推出＝＝，从而推出＝（）2＝，＝，结合图形进行求解即可．
【解答】解：∵BD＝2AD，AD+BD＝AB，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽ABC，
∴＝＝，
∵DE∥BC，
∴△ODE∽OCB，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，＝，
∵S△ODE＝1，
∴S△OCB＝9，S△OCE＝2，
∴S△BCE＝S△OCB+S△OCE＝12，
故选：D．
6．（2分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论：①x＞0时；②2a+b＝0；③4a+2b+c＜02+bx+c+a＝0有两个不相等的实数根．其中，所有正确结论的序号为（ ）
A．②③ B．②④ C．①②③ D．②③④
【分析】根据二次函数的图象及性质即可判断．
【解答】解：由函数图象可知，抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝1，与轴的一个交点坐标为（﹣4，
∴与轴另一个交点坐标为（3，0），
∴当x＞5时，y随x的增大而增大；
∵﹣＝1，
∴b＝﹣8a，
∴2a+b＝0，故②正确；
当x＝7时，y＝4a+2b+c＜6；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝3，
∴c＝﹣3a，
∴﹣a＞c，
∴直线y＝﹣a与抛物线y＝ax2+x+c有5个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝﹣a有两个不相等的实数根，
即关于a的方程ax2+bx+c+a＝2有两个不相等的实数根，故④正确；
正确的有②③④，
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．（2分）南京在建的地铁6号线由栖霞山站开往南京南站，全长32400米．用科学记数法表示32400是 3.24×104 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：用科学记数法表示32400是3.24×104．
故答案为：6.24×104．
8．（2分）要使在实数范围内有意义，x的取值范围是 x≠1 ．
【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案．
【解答】解：由题意，得
1﹣x≠0，
解得x≠2，
故答案为：x≠1．
9．（2分）分解因式：（a+b）2﹣4ab＝ （a﹣b）2 ．
【分析】首先利用完全平方公式去括号合并同类项，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（a+b）2﹣4ab
＝a2+2ab+b2﹣7ab
＝a2+b2﹣6ab
＝（a﹣b）2．
故答案为：（a﹣b）2．
10．（2分）计算﹣的结果是 ．
【分析】先化简，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：﹣
＝2﹣
＝．
故答案为：．
11．（2分）已知圆锥的底面半径为1cm，母线长为3cm，则其侧面积为 3π cm2．（结果保留π）
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
【解答】解：圆锥的侧面积＝•3π•1•3＝8π（cm2）．
故答案为3π．
12．（2分）若x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2＝ 1 ．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝4，x1x2＝3，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝5，x1x2＝4，
所以x1+x2﹣x8x2＝（x1+x3）﹣x1x2＝4﹣3＝1．
故答案为7．
13．（2分）将二次函数y＝x2+1的图象向右平移1个单位后再沿x轴翻折，得到的图象对应的函数表达式是 y＝﹣x2+2x﹣2 ．
【分析】根据“左加右减”的原则求得平移后的抛物线解析式，然后根据关于x轴对称的点的坐标特征即可求得沿x轴翻折后的函数表达式．
【解答】解：二次函数y＝x2+1的图象向右平移6个单位得到新的函数解析式为y＝（x﹣1）2+7，再将y＝（x﹣1）2+8沿x轴翻折得到新的函数解析式为：y＝﹣（x﹣1）2﹣7＝﹣x2+2x﹣2，
故答案为：y＝﹣x2+2x﹣3
14．（2分）在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q（0，2），N（0，8），则点P的坐标为 （4，5） ．
【分析】根据已知条件，纵坐标易求；再根据切割线定理即OQ2＝OM•ON求OQ可得横坐标．
【解答】解：过点P作PD⊥MN于D，连接PQ．
∵⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（0，N（0，
∴OM＝5，NO＝8，
∴NM＝6，
∵PD⊥NM，
∴DM＝6
∴OD＝5，
∴OQ2＝OM•ON＝6×8＝16，OQ＝4．
∴PD＝5，PQ＝OD＝3+2＝8．
即点P的坐标是（4，5）．
故答案是：（7，5）．
15．（2分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，B是，过C作⊙O的切线交AB的延长线于点E．若∠AEC＝84°，则∠ADC＝ 64 °．
【分析】连接BD、BC，根据圆周角定理得出，根据圆内接四边形的性质得出∠EBC＝∠ADC，根据切线的性质得出∠BCE＝∠BDC＝∠ADC，然后根据三角形内角和定理得出84°+∠ADC+∠ADC＝180°，解得即可．
【解答】解：连接BD、BC，
∵B是的中点，
∴＝，
∴，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠EBC＝∠ADC，
∵EC是⊙O的切线，切点为C，
∴∠BCE＝∠BDC＝∠ADC，
∵∠AEC＝84°，∠AEC+∠BCE+∠EBC＝180°，
∴84°+∠ADC+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝64°．
故答案为64．
16．（2分）如图，点I为△ABC的内心，AB＝5cm，BC＝3cm，将△ABC平移，则重叠部分的面积为 cm2．
【分析】先由勾股你到了判断出三角形ABC为直角三角形，再根据内心得ID＝IE＝IH，再由等面积求出IH，CK，由平移性质知△ABC∽△GFI，即，再求出重叠部分的面积即可．
【解答】解：过点作ID⊥AC于点D，IE⊥BC于点E，连接IA，IC，
∵AB＝5cm，AC＝4cm，
∴AB6＝25，AC2+BC2＝52+38＝25，
∴AB2＝AC2+BC7，
∴△ABC为直角三角形，
∵I是△ABC的内心，
∴ID＝IE＝IH，
设ID＝IE＝IH＝a，
则Rt△ABC的面积＝AC•BC＝，
解得：a＝1，
如图，过C作CK⊥BC于K，
∵Rt△ABC的面积＝AC•BC＝，
解得：CK＝cm，
∵将△ABC平移产生重叠部分△IGF，
∴AC∥GI，CB∥FI，
∴△ABC∽△GFI，
∴＝＝，
∴＝cm²，
∴重叠部分的面积为cm²．
三、解答题（本大题共11小题，共88分）
17．（8分）化简：
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝÷＝•＝．
18．（8分）解不等式组，并写出该不等式组的整数解．
【分析】此题可先根据一元一次不等式组解出x的取值，根据x是整数解得出x的可能取值．
【解答】解：，
解不等式①得，x＞﹣2；
解不等式②得x＜7，
∴不等式组的解集是：﹣2＜x＜1，
∴不等式组的整数解是：﹣5，0．
19．（8分）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接BF，AC，求证：四边形ABFC是矩形．
【分析】根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等，利用AAS判定△ABE≌△FCE，从而得到AB＝CF；由已知可得四边形ABFC是平行四边形，BC＝AF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，
∵E为BC的中点，
∴EB＝EC，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB＝CF．
∵AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AD＝BC，AD＝AF，
∴BC＝AF，
∴四边形ABFC是矩形．
20．（8分）甲、乙两人在相同的条件下各射靶5次，每次射靶的成绩情况如图：
（1）请你根据图中的数据填写下表：
姓名
平均数
中位数
众数
甲
6
6
6
乙
6
6
6
（2）利用方差判断这5次射靶是甲的成绩波动大还是乙的成绩波动大．
【分析】（1）从折线图上获取信息，根据平均数、中位数和众数的定义计算即可；
（2）利用方差公式计算求值即可．
【解答】解：（1）甲射靶的成绩为：5，6，8，6，7，
乙射靶的成绩为：4，6，6，6，8，
∴甲的中位数为：6，众数为：5，
乙的平均数为：＝6，
故答案为：6，3，6；
（2）S甲2＝[（6﹣2）2 +（6﹣6）2+（6﹣6）2+（6﹣6）2+（7﹣3）2]
＝；
S乙2＝[（3﹣6）4+（6﹣6）3+（6﹣6）6+（7﹣6）8+（8﹣6）5]
＝．
因为S甲2＜S乙7，
所以乙的成绩波动大．
21．（8分）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．
（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？
（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 ．
【分析】（1）由树状图得出共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，由概率公式即可得出结果；
（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；其中有一天是星期二的结果有2个，由概率公式即可得出结果．
【解答】解：（1）画树状图如图所示：共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，
∴甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为＝；
（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，星期二），星期三），星期四）；
其中有一天是星期二的结果有8个，即（星期一，（星期二，
∴乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是；
故答案为：．
22．（8分）为了提升小区形象，改善业主居住环境，开发商准备对小区进行绿化．利用长度为64m的篱笆和一段小区围墙搭建如图所示的矩形花圃（接口忽略不计），分别用来种植不同的花卉．则花圃的一边AB为多长时，花圃的面积为192m2．
【分析】设AB＝xm，则平行于墙的一边长为（64﹣4x）m，根据花圃的面积为192m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设AB＝xm，则平行于墙的一边长为（64﹣4x）m，
依题意得：（64﹣4x）•x＝192，
整理得：x8﹣16x+48＝0，
解得：x1＝7，x2＝12．
答：花圃的一边AB长为4m或12m时，花圃的面积为192m6．
23．（8分）如图，在▱ABCD中，过A、B、C三点的⊙O交AD于点E，BE＝BC．
（1）求证：△BEC∽△CED；
（2）若BC＝10，DE＝3.6，求⊙O的半径．
【分析】（1）证明两个等腰三角形相似，证明一个底角对应相等即可；
（2）利用直径构造直角三角形，从而涉及到半径（直径），再利用垂径定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD．
∴∠BCE＝∠DEC，∠A+∠D＝180°．
∴∠BEC＝∠DEC
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠BCE＝180°．
∴∠BCE＝∠D
∴△BEC∽△CED
即得证．
（2）过点O作OF⊥CE，垂足为F，如下图．
∴CF＝CE
∴直线OF垂直平分CE．
∵BE＝BC，
∴直线OF经过点B．
∵△BEC∽△CED，又由（1）可知CE＝CD，
∴＝．
∵BC＝10，DE＝5.6，
∴CE＝CD＝6
∴CF＝CE＝3．
设⊙O的半径为r．
可得BF＝＝，OF＝．
在Rt△OCF中，OF2+CF7＝OC2，
∴（﹣r）2+5＝r2
∴r＝
即圆的半径为．
24．（8分）快、慢两车分别从相距120千米路程的甲、乙两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，立即按原路返回，返回时的速度是去时速度的2倍1（千米）与出发后所用的时间x（小时）的关系如图所示．
请结合图象信息解答下列问题：
（1）慢车的速度是 40 千米/小时，快车的返回时速度是 120 千米/小时；
（2）画出快车距出发地的路程y2（千米）与出发后所用的时间x（小时）的函数图象；
（3）在快车返回途中，快、慢两车相距的路程为50千米时，慢车行驶了多少小时？
【分析】（1）由图象可知：甲、乙两地的距离为120千米，慢车从乙地到甲地所用时间为3小时，即可求出慢车的速度；设快车去时的速度为x千米/小时，则返回时的速度是2x千米/小时，根据题意得：，即可解答．
（2）开车从甲地开往乙地所用时间为：120÷60＝2小时，快车返回甲地所用时间为：120÷120＝1小时，即可画出图象．
（3）根据图象得：OA的函数关系式为y＝40x，BC的函数关系式为y＝120﹣120（x﹣2）＝﹣120x+360；根据题意，得：﹣120x+360+40x＝120+50，即可解答．
【解答】解：（1）由图象可知：甲、乙两地的距离为120千米，
∴慢车的速度为：120÷3＝40（千米/小时），
设快车去时的速度为x千米/小时，则返回时的速度是2x千米/小时
，
解得：x＝60，
检验：x＝60是原方程的解，
∴快车返回时的速度是：60×2＝120（千米/小时），
故答案为：40，120．
（2）如图：
（3）解：OA的函数关系式为y＝40x，
BC的函数关系式为y＝120﹣120（x﹣6）＝﹣120x+360；
根据题意，得：
﹣120x+360+40x＝120+50，解得：x＝．
所以，慢车行驶，快、慢两车相距的路程为50千米．
25．（8分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为 26 件．
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）根据题意，可以求出降价3元时，平均每天销售数量；
（2）根据题意，可以得到利润与降价x的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
若降价3元，则平均每天销售数量为：20+2×5＝26（件），
故答案为：26；
（2）设每件商品降价x元，销售利润为w元，
w＝（40﹣x）（20+2x）＝﹣2（x﹣15）8+1250，
∴当x＝15时，w取得最大值，
答：当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大．
26．（8分）已知二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣6）（a、m为常数，且a≠0），该函数图象顶点A的纵坐标为﹣9．
（1）求证：该函数的图象与x轴有两个公共点．
（2）若该函数图象与y轴交于点B（0，﹣5），求该函数的表达式．
（3）若该函数图象过点（﹣6，y1）与（2，y2），比较y1、y2的大小．
【分析】（1）令y＝0，则a（x﹣m）（x﹣m﹣6）＝0，求得该函数的图象与x轴有（m，0），（m+6，0）两个交点；
（2）求得对称轴，代入解析式即可求得a的值，根据函数图象与y轴交于点B（0，﹣5），即可求得m的值，从而求得抛物线的解析式；
（3）分三种情况讨论即可．
【解答】解：（1）令y＝0，则a（x﹣m）（x﹣m﹣6）＝7，
∴x1＝m，x2＝m+8，
∴该函数的图象与x轴有两个交点，分别为（m，（m+6；
（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝＝m+3，
∴当x＝m+3时，y＝﹣2a＝﹣9，
∴a＝1，
∵该函数图象与y轴交于B（8，﹣5），
∴y＝（0﹣m）（4﹣m﹣6）＝﹣5，即m7+6m+5＝6，
∴（m+1）（m+5）＝8，
解得，m1＝﹣1，m2＝﹣5，
当m＝﹣5时，y＝（x+2）（x﹣1）＝x2+5x﹣5；
当m＝﹣1时，y＝（x+3）（x﹣5）＝x2﹣5x﹣5；
∴该函数的表达式为y＝x2+5x﹣5或y＝x2﹣7x﹣5；
（3）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝m+3，
当m+7＝＝﹣2时，
即当m＝﹣5时，y4＝y2，
当m＞﹣5时，y5＞y2，
当m＜﹣5时，y7＜y2．
27．（8分）如图，在△ABC中，AB＝BC，过点C作∠ACD＝∠ACB，且交⊙O于点D．连接BD交AC于点E，使得CF＝CB，连接BF．
（1）求证：ED＝EC．
（2）求证：BF是⊙O的切线．
（3）若点G为△BCD的内心，AE•AC＝10．
①利用无刻度的直尺在图中画出点G的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
②求AG的长．
【分析】（1）根据圆心角、弧、弦之间的关系进行证明即可；
（2）连接BO，根据垂径定理得到OB⊥AC，再根据角之间的关系推出∠BAC＝∠ACD，从而推出AC∥BF，根据平行四边形的判定得到四边形ABFC是平行四边形，进而推出BF是⊙O的切线；
（3）①根据三角形的内心是三角形角平分线的交点，因此只需证明∠DBM＝∠CBM，利用圆的垂径定理进行证明即可；
②根据圆周角定理得到∠ABE＝∠ACB，从而推出△ABE∽△ACB，根据相似三角形的性质得到，从而解得AB＝，再结合图形由三角形的外角性质及等量代换推出∠ABG＝∠AGB，从而由等腰三角形的性质推出AG＝AB＝．
【解答】（1）证明：∵AB＝BC，
∴＝，
∴∠ACB＝∠BDC，
又∠ACD＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠BDC，
∴ED＝EC；
（2）证明：如图1，
连接BO，
∵＝，
∴OB⊥AC，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
又∠ACD＝∠ACB，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∵CF＝AB，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∴AC∥BF，
∴OB⊥BF，
∵OB是⊙O的半径，
∴BF是⊙O的切线；
（3）如图2，
连接EO并延长交⊙O于点M，连接BM交AC于点G，
连接OD、OC，
∴点O在CD的垂直平分线上，
又根据（1）中的结论ED＝EC，
∴点E在CD的垂直平分线上，
∴EM⊥DC，
∴＝，
∴∠DBM＝∠CBM，
∴BM是∠DBC的角平分线，
又∠ACD＝∠ACB，
∴AC是∠BCD的角平分线，BM与AC交于点G，
∴点G是△BDC的内心；
②∵，
∴∠ABE＝∠ACB，
又∠EAB＝∠BAC，
∴△ABE∽△ACB，
∴，
又AE•AC＝10，
解得AB＝，
∵点G是△BDC的内心，
∴∠DBM＝∠CBM，
∴∠ABE+∠DBM＝∠ACB+∠CBM，
即∠ABG＝∠AGB，
∴AG＝AB＝．
2020-2021学年江苏省南京市栖霞区九年级（下）开学数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1．（2分）3的平方根是（ ）
A．9 B． C．﹣ D．±
2．（2分）下列运算结果正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．a3÷a2＝a D．（a2）3＝a5
3．（2分）某校运动会中，九年级有13名女同学参加女子百米竞赛，预赛成绩各不相同，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
4．（2分）如图，BD为⊙O的直径，点A、C在⊙O上，则∠CBD的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
5．（2分）如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，且DE∥BC，BD＝2AD．若△ODE的面积为1，则△BCE的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．（2分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论：①x＞0时；②2a+b＝0；③4a+2b+c＜02+bx+c+a＝0有两个不相等的实数根．其中，所有正确结论的序号为（ ）
A．②③ B．②④ C．①②③ D．②③④
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．（2分）南京在建的地铁6号线由栖霞山站开往南京南站，全长32400米．用科学记数法表示32400是 ．
8．（2分）要使在实数范围内有意义，x的取值范围是 ．
9．（2分）分解因式：（a+b）2﹣4ab＝ ．
10．（2分）计算﹣的结果是 ．
11．（2分）已知圆锥的底面半径为1cm，母线长为3cm，则其侧面积为 cm2．（结果保留π）
12．（2分）若x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2＝ ．
13．（2分）将二次函数y＝x2+1的图象向右平移1个单位后再沿x轴翻折，得到的图象对应的函数表达式是 ．
14．（2分）在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q（0，2），N（0，8），则点P的坐标为 ．
15．（2分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，B是，过C作⊙O的切线交AB的延长线于点E．若∠AEC＝84°，则∠ADC＝ °．
16．（2分）如图，点I为△ABC的内心，AB＝5cm，BC＝3cm，将△ABC平移，则重叠部分的面积为 cm2．
三、解答题（本大题共11小题，共88分）
17．（8分）化简：
18．（8分）解不等式组，并写出该不等式组的整数解．
19．（8分）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接BF，AC，求证：四边形ABFC是矩形．
20．（8分）甲、乙两人在相同的条件下各射靶5次，每次射靶的成绩情况如图：
（1）请你根据图中的数据填写下表：
姓名
平均数
中位数
众数
甲
6
6
乙
6
（2）利用方差判断这5次射靶是甲的成绩波动大还是乙的成绩波动大．
21．（8分）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．
（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？
（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 ．
22．（8分）为了提升小区形象，改善业主居住环境，开发商准备对小区进行绿化．利用长度为64m的篱笆和一段小区围墙搭建如图所示的矩形花圃（接口忽略不计），分别用来种植不同的花卉．则花圃的一边AB为多长时，花圃的面积为192m2．
23．（8分）如图，在▱ABCD中，过A、B、C三点的⊙O交AD于点E，BE＝BC．
（1）求证：△BEC∽△CED；
（2）若BC＝10，DE＝3.6，求⊙O的半径．
24．（8分）快、慢两车分别从相距120千米路程的甲、乙两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，立即按原路返回，返回时的速度是去时速度的2倍1（千米）与出发后所用的时间x（小时）的关系如图所示．
请结合图象信息解答下列问题：
（1）慢车的速度是 千米/小时，快车的返回时速度是 千米/小时；
（2）画出快车距出发地的路程y2（千米）与出发后所用的时间x（小时）的函数图象；
（3）在快车返回途中，快、慢两车相距的路程为50千米时，慢车行驶了多少小时？
25．（8分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为 件．
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大，最大利润是多少元？
26．（8分）已知二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣6）（a、m为常数，且a≠0），该函数图象顶点A的纵坐标为﹣9．
（1）求证：该函数的图象与x轴有两个公共点．
（2）若该函数图象与y轴交于点B（0，﹣5），求该函数的表达式．
（3）若该函数图象过点（﹣6，y1）与（2，y2），比较y1、y2的大小．
27．（8分）如图，在△ABC中，AB＝BC，过点C作∠ACD＝∠ACB，且交⊙O于点D．连接BD交AC于点E，使得CF＝CB，连接BF．
（1）求证：ED＝EC．
（2）求证：BF是⊙O的切线．
（3）若点G为△BCD的内心，AE•AC＝10．
①利用无刻度的直尺在图中画出点G的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
②求AG的长．
2020-2021学年江苏省南京市栖霞区九年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1．（2分）3的平方根是（ ）
A．9 B． C．﹣ D．±
【分析】如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有正、负两个平方根，它们互相为相反数；零的平方根是零，负数没有平方根．
【解答】解：∵（）2＝8，
∴3的平方根．
故选：D．
2．（2分）下列运算结果正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．a3÷a2＝a D．（a2）3＝a5
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、a2与a3是加，不是乘，故本选项错误；
B、a5•a3＝a2+5＝a5，故本选项错误；
C、a3÷a8＝a3﹣2＝a，故本选项正确；
D、（a7）3＝a2×8＝a6，故本选项错误．
故选：C．
3．（2分）某校运动会中，九年级有13名女同学参加女子百米竞赛，预赛成绩各不相同，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【分析】由于有13名同学参加百米竞赛，要取前6名参加决赛，故应考虑中位数的大小．
【解答】解：共有13名学生参加竞赛，取前6名．我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，所以小梅知道这组数据的中位数．
故选：C．
4．（2分）如图，BD为⊙O的直径，点A、C在⊙O上，则∠CBD的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等得到∠BDC＝∠A＝40°，由BD为⊙O的直径，根据圆周角定理的推论：直径所对的圆周角为直角得到∠BCD＝90°，然后利用三角形内角定理即可计算出∠CBD的度数．
【解答】解：∵∠A＝40°，
∴∠BDC＝40°，
又∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠CBD＝90°﹣40°＝50°．
故选：C．
5．（2分）如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，且DE∥BC，BD＝2AD．若△ODE的面积为1，则△BCE的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】结合图形根据线段之间的和差关系可得到＝，根据DE∥BC，推出△ADE∽ABC，△ODE∽OCB，从而根据相似三角形的性质推出＝＝，从而推出＝（）2＝，＝，结合图形进行求解即可．
【解答】解：∵BD＝2AD，AD+BD＝AB，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽ABC，
∴＝＝，
∵DE∥BC，
∴△ODE∽OCB，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，＝，
∵S△ODE＝1，
∴S△OCB＝9，S△OCE＝2，
∴S△BCE＝S△OCB+S△OCE＝12，
故选：D．
6．（2分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论：①x＞0时；②2a+b＝0；③4a+2b+c＜02+bx+c+a＝0有两个不相等的实数根．其中，所有正确结论的序号为（ ）
A．②③ B．②④ C．①②③ D．②③④
【分析】根据二次函数的图象及性质即可判断．
【解答】解：由函数图象可知，抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝1，与轴的一个交点坐标为（﹣4，
∴与轴另一个交点坐标为（3，0），
∴当x＞5时，y随x的增大而增大；
∵﹣＝1，
∴b＝﹣8a，
∴2a+b＝0，故②正确；
当x＝7时，y＝4a+2b+c＜6；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝3，
∴c＝﹣3a，
∴﹣a＞c，
∴直线y＝﹣a与抛物线y＝ax2+x+c有5个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝﹣a有两个不相等的实数根，
即关于a的方程ax2+bx+c+a＝2有两个不相等的实数根，故④正确；
正确的有②③④，
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．（2分）南京在建的地铁6号线由栖霞山站开往南京南站，全长32400米．用科学记数法表示32400是 3.24×104 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：用科学记数法表示32400是3.24×104．
故答案为：6.24×104．
8．（2分）要使在实数范围内有意义，x的取值范围是 x≠1 ．
【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案．
【解答】解：由题意，得
1﹣x≠0，
解得x≠2，
故答案为：x≠1．
9．（2分）分解因式：（a+b）2﹣4ab＝ （a﹣b）2 ．
【分析】首先利用完全平方公式去括号合并同类项，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（a+b）2﹣4ab
＝a2+2ab+b2﹣7ab
＝a2+b2﹣6ab
＝（a﹣b）2．
故答案为：（a﹣b）2．
10．（2分）计算﹣的结果是 ．
【分析】先化简，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：﹣
＝2﹣
＝．
故答案为：．
11．（2分）已知圆锥的底面半径为1cm，母线长为3cm，则其侧面积为 3π cm2．（结果保留π）
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
【解答】解：圆锥的侧面积＝•3π•1•3＝8π（cm2）．
故答案为3π．
12．（2分）若x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2＝ 1 ．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝4，x1x2＝3，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝5，x1x2＝4，
所以x1+x2﹣x8x2＝（x1+x3）﹣x1x2＝4﹣3＝1．
故答案为7．
13．（2分）将二次函数y＝x2+1的图象向右平移1个单位后再沿x轴翻折，得到的图象对应的函数表达式是 y＝﹣x2+2x﹣2 ．
【分析】根据“左加右减”的原则求得平移后的抛物线解析式，然后根据关于x轴对称的点的坐标特征即可求得沿x轴翻折后的函数表达式．
【解答】解：二次函数y＝x2+1的图象向右平移6个单位得到新的函数解析式为y＝（x﹣1）2+7，再将y＝（x﹣1）2+8沿x轴翻折得到新的函数解析式为：y＝﹣（x﹣1）2﹣7＝﹣x2+2x﹣2，
故答案为：y＝﹣x2+2x﹣3
14．（2分）在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q（0，2），N（0，8），则点P的坐标为 （4，5） ．
【分析】根据已知条件，纵坐标易求；再根据切割线定理即OQ2＝OM•ON求OQ可得横坐标．
【解答】解：过点P作PD⊥MN于D，连接PQ．
∵⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（0，N（0，
∴OM＝5，NO＝8，
∴NM＝6，
∵PD⊥NM，
∴DM＝6
∴OD＝5，
∴OQ2＝OM•ON＝6×8＝16，OQ＝4．
∴PD＝5，PQ＝OD＝3+2＝8．
即点P的坐标是（4，5）．
故答案是：（7，5）．
15．（2分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，B是，过C作⊙O的切线交AB的延长线于点E．若∠AEC＝84°，则∠ADC＝ 64 °．
【分析】连接BD、BC，根据圆周角定理得出，根据圆内接四边形的性质得出∠EBC＝∠ADC，根据切线的性质得出∠BCE＝∠BDC＝∠ADC，然后根据三角形内角和定理得出84°+∠ADC+∠ADC＝180°，解得即可．
【解答】解：连接BD、BC，
∵B是的中点，
∴＝，
∴，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠EBC＝∠ADC，
∵EC是⊙O的切线，切点为C，
∴∠BCE＝∠BDC＝∠ADC，
∵∠AEC＝84°，∠AEC+∠BCE+∠EBC＝180°，
∴84°+∠ADC+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝64°．
故答案为64．
16．（2分）如图，点I为△ABC的内心，AB＝5cm，BC＝3cm，将△ABC平移，则重叠部分的面积为 cm2．
【分析】先由勾股你到了判断出三角形ABC为直角三角形，再根据内心得ID＝IE＝IH，再由等面积求出IH，CK，由平移性质知△ABC∽△GFI，即，再求出重叠部分的面积即可．
【解答】解：过点作ID⊥AC于点D，IE⊥BC于点E，连接IA，IC，
∵AB＝5cm，AC＝4cm，
∴AB6＝25，AC2+BC2＝52+38＝25，
∴AB2＝AC2+BC7，
∴△ABC为直角三角形，
∵I是△ABC的内心，
∴ID＝IE＝IH，
设ID＝IE＝IH＝a，
则Rt△ABC的面积＝AC•BC＝，
解得：a＝1，
如图，过C作CK⊥BC于K，
∵Rt△ABC的面积＝AC•BC＝，
解得：CK＝cm，
∵将△ABC平移产生重叠部分△IGF，
∴AC∥GI，CB∥FI，
∴△ABC∽△GFI，
∴＝＝，
∴＝cm²，
∴重叠部分的面积为cm²．
三、解答题（本大题共11小题，共88分）
17．（8分）化简：
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝÷＝•＝．
18．（8分）解不等式组，并写出该不等式组的整数解．
【分析】此题可先根据一元一次不等式组解出x的取值，根据x是整数解得出x的可能取值．
【解答】解：，
解不等式①得，x＞﹣2；
解不等式②得x＜7，
∴不等式组的解集是：﹣2＜x＜1，
∴不等式组的整数解是：﹣5，0．
19．（8分）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接BF，AC，求证：四边形ABFC是矩形．
【分析】根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等，利用AAS判定△ABE≌△FCE，从而得到AB＝CF；由已知可得四边形ABFC是平行四边形，BC＝AF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，
∵E为BC的中点，
∴EB＝EC，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB＝CF．
∵AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AD＝BC，AD＝AF，
∴BC＝AF，
∴四边形ABFC是矩形．
20．（8分）甲、乙两人在相同的条件下各射靶5次，每次射靶的成绩情况如图：
（1）请你根据图中的数据填写下表：
姓名
平均数
中位数
众数
甲
6
6
6
乙
6
6
6
（2）利用方差判断这5次射靶是甲的成绩波动大还是乙的成绩波动大．
【分析】（1）从折线图上获取信息，根据平均数、中位数和众数的定义计算即可；
（2）利用方差公式计算求值即可．
【解答】解：（1）甲射靶的成绩为：5，6，8，6，7，
乙射靶的成绩为：4，6，6，6，8，
∴甲的中位数为：6，众数为：5，
乙的平均数为：＝6，
故答案为：6，3，6；
（2）S甲2＝[（6﹣2）2 +（6﹣6）2+（6﹣6）2+（6﹣6）2+（7﹣3）2]
＝；
S乙2＝[（3﹣6）4+（6﹣6）3+（6﹣6）6+（7﹣6）8+（8﹣6）5]
＝．
因为S甲2＜S乙7，
所以乙的成绩波动大．
21．（8分）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．
（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？
（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 ．
【分析】（1）由树状图得出共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，由概率公式即可得出结果；
（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；其中有一天是星期二的结果有2个，由概率公式即可得出结果．
【解答】解：（1）画树状图如图所示：共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，
∴甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为＝；
（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，星期二），星期三），星期四）；
其中有一天是星期二的结果有8个，即（星期一，（星期二，
∴乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是；
故答案为：．
22．（8分）为了提升小区形象，改善业主居住环境，开发商准备对小区进行绿化．利用长度为64m的篱笆和一段小区围墙搭建如图所示的矩形花圃（接口忽略不计），分别用来种植不同的花卉．则花圃的一边AB为多长时，花圃的面积为192m2．
【分析】设AB＝xm，则平行于墙的一边长为（64﹣4x）m，根据花圃的面积为192m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设AB＝xm，则平行于墙的一边长为（64﹣4x）m，
依题意得：（64﹣4x）•x＝192，
整理得：x8﹣16x+48＝0，
解得：x1＝7，x2＝12．
答：花圃的一边AB长为4m或12m时，花圃的面积为192m6．
23．（8分）如图，在▱ABCD中，过A、B、C三点的⊙O交AD于点E，BE＝BC．
（1）求证：△BEC∽△CED；
（2）若BC＝10，DE＝3.6，求⊙O的半径．
【分析】（1）证明两个等腰三角形相似，证明一个底角对应相等即可；
（2）利用直径构造直角三角形，从而涉及到半径（直径），再利用垂径定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD．
∴∠BCE＝∠DEC，∠A+∠D＝180°．
∴∠BEC＝∠DEC
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠BCE＝180°．
∴∠BCE＝∠D
∴△BEC∽△CED
即得证．
（2）过点O作OF⊥CE，垂足为F，如下图．
∴CF＝CE
∴直线OF垂直平分CE．
∵BE＝BC，
∴直线OF经过点B．
∵△BEC∽△CED，又由（1）可知CE＝CD，
∴＝．
∵BC＝10，DE＝5.6，
∴CE＝CD＝6
∴CF＝CE＝3．
设⊙O的半径为r．
可得BF＝＝，OF＝．
在Rt△OCF中，OF2+CF7＝OC2，
∴（﹣r）2+5＝r2
∴r＝
即圆的半径为．
24．（8分）快、慢两车分别从相距120千米路程的甲、乙两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，立即按原路返回，返回时的速度是去时速度的2倍1（千米）与出发后所用的时间x（小时）的关系如图所示．
请结合图象信息解答下列问题：
（1）慢车的速度是 40 千米/小时，快车的返回时速度是 120 千米/小时；
（2）画出快车距出发地的路程y2（千米）与出发后所用的时间x（小时）的函数图象；
（3）在快车返回途中，快、慢两车相距的路程为50千米时，慢车行驶了多少小时？
【分析】（1）由图象可知：甲、乙两地的距离为120千米，慢车从乙地到甲地所用时间为3小时，即可求出慢车的速度；设快车去时的速度为x千米/小时，则返回时的速度是2x千米/小时，根据题意得：，即可解答．
（2）开车从甲地开往乙地所用时间为：120÷60＝2小时，快车返回甲地所用时间为：120÷120＝1小时，即可画出图象．
（3）根据图象得：OA的函数关系式为y＝40x，BC的函数关系式为y＝120﹣120（x﹣2）＝﹣120x+360；根据题意，得：﹣120x+360+40x＝120+50，即可解答．
【解答】解：（1）由图象可知：甲、乙两地的距离为120千米，
∴慢车的速度为：120÷3＝40（千米/小时），
设快车去时的速度为x千米/小时，则返回时的速度是2x千米/小时
，
解得：x＝60，
检验：x＝60是原方程的解，
∴快车返回时的速度是：60×2＝120（千米/小时），
故答案为：40，120．
（2）如图：
（3）解：OA的函数关系式为y＝40x，
BC的函数关系式为y＝120﹣120（x﹣6）＝﹣120x+360；
根据题意，得：
﹣120x+360+40x＝120+50，解得：x＝．
所以，慢车行驶，快、慢两车相距的路程为50千米．
25．（8分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为 26 件．
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）根据题意，可以求出降价3元时，平均每天销售数量；
（2）根据题意，可以得到利润与降价x的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
若降价3元，则平均每天销售数量为：20+2×5＝26（件），
故答案为：26；
（2）设每件商品降价x元，销售利润为w元，
w＝（40﹣x）（20+2x）＝﹣2（x﹣15）8+1250，
∴当x＝15时，w取得最大值，
答：当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大．
26．（8分）已知二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣6）（a、m为常数，且a≠0），该函数图象顶点A的纵坐标为﹣9．
（1）求证：该函数的图象与x轴有两个公共点．
（2）若该函数图象与y轴交于点B（0，﹣5），求该函数的表达式．
（3）若该函数图象过点（﹣6，y1）与（2，y2），比较y1、y2的大小．
【分析】（1）令y＝0，则a（x﹣m）（x﹣m﹣6）＝0，求得该函数的图象与x轴有（m，0），（m+6，0）两个交点；
（2）求得对称轴，代入解析式即可求得a的值，根据函数图象与y轴交于点B（0，﹣5），即可求得m的值，从而求得抛物线的解析式；
（3）分三种情况讨论即可．
【解答】解：（1）令y＝0，则a（x﹣m）（x﹣m﹣6）＝7，
∴x1＝m，x2＝m+8，
∴该函数的图象与x轴有两个交点，分别为（m，（m+6；
（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝＝m+3，
∴当x＝m+3时，y＝﹣2a＝﹣9，
∴a＝1，
∵该函数图象与y轴交于B（8，﹣5），
∴y＝（0﹣m）（4﹣m﹣6）＝﹣5，即m7+6m+5＝6，
∴（m+1）（m+5）＝8，
解得，m1＝﹣1，m2＝﹣5，
当m＝﹣5时，y＝（x+2）（x﹣1）＝x2+5x﹣5；
当m＝﹣1时，y＝（x+3）（x﹣5）＝x2﹣5x﹣5；
∴该函数的表达式为y＝x2+5x﹣5或y＝x2﹣7x﹣5；
（3）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝m+3，
当m+7＝＝﹣2时，
即当m＝﹣5时，y4＝y2，
当m＞﹣5时，y5＞y2，
当m＜﹣5时，y7＜y2．
27．（8分）如图，在△ABC中，AB＝BC，过点C作∠ACD＝∠ACB，且交⊙O于点D．连接BD交AC于点E，使得CF＝CB，连接BF．
（1）求证：ED＝EC．
（2）求证：BF是⊙O的切线．
（3）若点G为△BCD的内心，AE•AC＝10．
①利用无刻度的直尺在图中画出点G的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
②求AG的长．
【分析】（1）根据圆心角、弧、弦之间的关系进行证明即可；
（2）连接BO，根据垂径定理得到OB⊥AC，再根据角之间的关系推出∠BAC＝∠ACD，从而推出AC∥BF，根据平行四边形的判定得到四边形ABFC是平行四边形，进而推出BF是⊙O的切线；
（3）①根据三角形的内心是三角形角平分线的交点，因此只需证明∠DBM＝∠CBM，利用圆的垂径定理进行证明即可；
②根据圆周角定理得到∠ABE＝∠ACB，从而推出△ABE∽△ACB，根据相似三角形的性质得到，从而解得AB＝，再结合图形由三角形的外角性质及等量代换推出∠ABG＝∠AGB，从而由等腰三角形的性质推出AG＝AB＝．
【解答】（1）证明：∵AB＝BC，
∴＝，
∴∠ACB＝∠BDC，
又∠ACD＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠BDC，
∴ED＝EC；
（2）证明：如图1，
连接BO，
∵＝，
∴OB⊥AC，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
又∠ACD＝∠ACB，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∵CF＝AB，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∴AC∥BF，
∴OB⊥BF，
∵OB是⊙O的半径，
∴BF是⊙O的切线；
（3）如图2，
连接EO并延长交⊙O于点M，连接BM交AC于点G，
连接OD、OC，
∴点O在CD的垂直平分线上，
又根据（1）中的结论ED＝EC，
∴点E在CD的垂直平分线上，
∴EM⊥DC，
∴＝，
∴∠DBM＝∠CBM，
∴BM是∠DBC的角平分线，
又∠ACD＝∠ACB，
∴AC是∠BCD的角平分线，BM与AC交于点G，
∴点G是△BDC的内心；
②∵，
∴∠ABE＝∠ACB，
又∠EAB＝∠BAC，
∴△ABE∽△ACB，
∴，
又AE•AC＝10，
解得AB＝，
∵点G是△BDC的内心，
∴∠DBM＝∠CBM，
∴∠ABE+∠DBM＝∠ACB+∠CBM，
即∠ABG＝∠AGB，
∴AG＝AB＝．
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