高中数学第七章 三角函数7.3 三角函数的性质与图像7.3.3 余弦函数的性质与图修综合训练题

这是一份高中数学第七章 三角函数7.3 三角函数的性质与图像7.3.3 余弦函数的性质与图修综合训练题，共17页。试卷主要包含了 选择题， 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。

一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 5 分 ，共计50分 ， ）

1. 函数f(x)＝cs2x是（ ）
A.最小正周期为π的偶函数
B.最小正周期为π的奇函数
C.最小正周期为2π的奇函数
D.最小正周期为22π的偶函数

2. 函数fx=2cs12x+π3的最小正周期是( )
A.π2B.πC.2πD.4π

3. 函数y＝cs(−x)，x∈[0, 2π]的简图是（ ）
A.B.
C.D.

4. 函数y=cs2(x+π2)的单调增区间是（ ）
A.[kπ,π2+kπ]k∈ZB.[π2+kπ，kπ+π] k∈Z
C.(2kπ, π+2kπ)k∈ZD.(2kπ+π, 2kπ+2π)k∈Z

5. 函数y＝tan(2x−）的周期为（ ）
A.2πB.πC.D.

6. 设x∈z，则f(x)=csπ3x的值域是（ ）
A.{−1, 12}B.{−1, −12, 12, 1}
C.{−1, −12, 0, 12, 1}D.{12, 1}

7. 图甲中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律、对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述错误的是（ ）

A.捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期
B.由图可知，当捕食者数量增多的过程中，被捕食者数量先增多后减少
C.捕食者和被捕食者数量之间的关系可以用图1乙描述
D.捕食者的数量在第25年和30年之间数量在急速减少

8. 将函数f(x)＝sin2x−1的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间是（ ）
A.[-+kπ，+kπ](k∈Z)
B.[+kπ，+kπ](k∈Z)
C.[-+kπ，+kπ](k∈Z)
D.[-+kπ，+kπ](k∈Z)

9. 函数Y=1−2csπ2x的最小值、最大值分别是（ ）
A.0，3B.−1，1C.−1，3D.0，1

10. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, |φ|<π2)的图象，如图所示，f(0)=−32，则A的值是（ ）
A.1B.2C.3D.2
二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ， ）

11. 设a=cs2π7，b=sin5π7，c=tan2π7，则a，b，c的大小关系为________（按由小至大顺序排列）．

12. 已知函数y＝3cs(2x+φ)的图象关于点中心对称，则|φ|的最小值为________．

13. 函数y＝sinx+csx在x＝θ处取得最大值，则sinθ＝________．

14. 给出下列五个命题：
①已知随机变量ξ服从正态分布N(μ, 2)，若P(ξ<0)＝P(ξ>2)，则随机变量ξ的期望为1，标准差为2；
②两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内；
③已知lg2a+lg2b≥1，则2a+4b的最小值为8；
④已知f(n)＝n2+pn+q(p, q∈R, n∈N*)，则“f(n+1)>f(n)”的充要条件是“p≥−2”；
⑤已知定义在R上的偶函数f(x)在(−∞, 0]单调递减，若f(−2)＝1，则满足f(1−x)<1的x的取值范围是(−1, 3)．
其中所有真命题的序号为________．

15. 函数f(x)＝Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<）在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式f(x)＝________-） ．


16. 给出下列结论：
①若cs α=cs β，则α=2kπ+β，k∈Z；
②|cs 3−sin 3|=cs 3−sin3；
③|sin xcs x|的对称轴为x=kπ4，k∈Z；
④|cs2 x−sin2 x|的最小正周期为π2；
⑤|sin x|+|cs x|的值域为[1,2]；
其中正确的序号是________．
三、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）

17. 设函数f(x)=cs(2x−4π3)+2cs2x．
（1）求f(x)的最大值，并写出使f(x)取最大值时x的集合；

（2）已知△ABC中，角A，B，C的边分别为a，b，c，若f(B+C)=32，b+c=2，求a的最小值．

18. 设函数f(x)=sin(2x+π4)．在给出的直角坐标系中画出函数y=f(x)在区间[0, π]上的图象．

19. 已知函数 f(x)=x2−ax+2a+2，g(x)=|x|+a，h(x)=f(x)−g(x).
(1)求函数y=f(x)在[−1,1]上的最大值S1(a)，写出S1(a)的表示式；

(2)求函数 h(x)在[−1,1]上的最小值 S2(a)，写出S2(a)的表示式；

20. 函数f(x)＝Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, |φ|<π2)的图象如图所示．

（1）求函数f(x)的解析式和单调增区间；

（2）将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度，得到g(x)的图象，求函数g(x)在[0, π2]上的最值并求出相应x的值．
参考答案与试题解析
人教B版（2019）必修第三册《7.3.3 余弦函数的性质与图像》同步练习卷
一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 5 分 ，共计50分 ）
1.
【答案】
A
【考点】
余弦函数的图象
【解析】
根据余弦函数的图象及性质判断即可．
【解答】
函数f(x)＝cs2x．
函数的最小正周期T=2π2=π，余弦函数的图象关于y轴对称，∴ f(x)是偶函数．
2.
【答案】
D
【考点】
三角函数的周期性及其求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由周期的定义可知T=2π12=4π.
故选D.
3.
【答案】
B
【考点】
余弦函数的图象
五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
A
【考点】
余弦函数的单调性
【解析】
利用诱导公式、二倍角公式化简函数的表达式，然后求出函数的单调增区间，即可得到选项．
【解答】
解：函数y=cs2(x+π2)=12−12cs2x，因为y=csx的单调减区间为：[2kπ, π+2kπ]k∈Z，函数y=cs2(x+π2)的单调增区间是[kπ,π2+kπ] k∈Z．
故选A
5.
【答案】
C
【考点】
三角函数的周期性
【解析】
直接利用正切函数的周期公式T＝，求出它的周期即可．
【解答】
函数y＝tan(2x−），
所以T＝＝．
6.
【答案】
B
【考点】
余弦函数的定义域和值域
【解析】
由于x∈z，先求出f(x)=csπ3x的周期为 6，求出f(0)、f(1)、f(2)、f(2)、f(3)、f(4)、
f(5)的值，即可得到f(x)=csπ3x的值域．
【解答】
解：∵ x∈z，f(x)=csπ3x的周期为2ππ3=6，
f(0)=cs0=1，f(1)=csπ3=12，f(2)=cs 2π3=−12，
f(3)=csπ=−1，f(4)=cs 4π3=−12，f(5)=cs5π3=cs(−π3)=12，
则f(x)=csπ3x的值域是 {−1, −12, 12, 1}．
故选：B．
7.
【答案】
C
【考点】
函数的图象与图象的变换
【解析】
由已知可得：捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期呈周期性变化，故捕食者和被捕食者数量之间的关系应为环状，进而得到答案．
【解答】
由已知中某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．
可得捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期呈周期性变化，
捕食者的数量在第25年和30年之间数量在急速减少，正确；
由图可知，当捕食者数量增多的过程中，被捕食者数量先增多后减少，
故捕食者和被捕食者数量之间的关系应为环状，
捕食者和被捕食者数量之间的关系可以用图1乙描述，显然不正确；
8.
【答案】
D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
由题意利用函数y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的单调性性，得出结论．
【解答】
将函数f(x)＝sin2x−1的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝sin2(x−）−1的图象，
令2kπ−≤2x−≤2kπ+，求得kπ−≤x≤kπ+，
可得函数g(x)的单调递增区间为[-+kπ，+kπ](k∈Z)，
9.
【答案】
C
【考点】
余弦函数的定义域和值域
【解析】
由−1≤csπ2x≤1，知−1≤1−2csπ2x≤3，由此能求出函数y=1−2csπ2x的最小值和最大值．
【解答】
解：∵ −1≤csπ2x≤1，
∴ −2≤2csπ2x≤2，
∴ −1≤1−2csπ2x≤3．
∴ 函数y=1−2csπ2x的最小值是−1，最大值是3．
故选C．
10.
【答案】
C
【考点】
y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义
【解析】
根据三角函数的图象，确定A，ω和φ的值即可得到结论．
【解答】
解：由图象知函数的周期T=2(2π3−π6)=π，即2πω=π，
解得ω=2，
由五点对应法则2×π6+φ=0，
解得φ=−π3，
则函数f(x)=Asin(2x−π3)，
∵ f(0)=−32，
∴ f(0)=Asin(−π3)=−32A=−32，
即A=3，
故选：C
二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）
11.
【答案】
a【考点】
三角函数线
【解析】
首先将b化为2π7的正弦，然后结合三角函数线，比较大小．
【解答】
解：由已知，a=cs2π7，b=sin5π7=sin2π7，c=tan2π7，则2π7的各三角函数线即正弦线、余弦线、正切线如图，分别是AB，OA，CD，易知OA故答案为：a12.
【答案】
．
【考点】
余弦函数的对称性
三角函数的最值
【解析】
由条件利用余弦函数的图象的对称性，求得|φ|的最小值．
【解答】
∵ 函数y＝3cs(2x+φ)的图象关于点中心对称，
∴ 2⋅φ＝kπ，k∈Z，∴ φ＝kπ，k∈Z，
则|φ|的最小值为，
13.
【答案】
【考点】
三角函数的最值
【解析】
将函数化简，由正弦函数的最大值可得θ的值，进而求出其正弦值．
【解答】
y＝sinx+csx＝sin(x+），所以当x+＝+2kπ，k∈Z，即x＝+2kπ，k∈Z时函数值最大，
所以sinθ＝sinx＝sin（+2kπ)＝，k∈Z，
14.
【答案】
①②③⑤
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
①根据正态分布性质判断；②根据共面的基本公理判断；③用不等式法求最小值判断；④根据充分必要条件概念判断；⑤根据函数单调性质判断．
【解答】
对于①，因为ξ∼N(μ, 2)，P(ξ<0)＝P(ξ>2)，所以μ＝＝1，σ＝2，所以①对；
对于②，因为两两相交且不过同一点的二条直线必在同一平面内，满足条件的第四条直线必在该平面内，所以②对；
对于③，因为lg2a+lg2b≥1，所以ab≥2，于是a⋅2b≥4，所以2a+4b的＝≥＝8，当a＝2，b＝1时等号成立，
所以2a+4b的最小值为8，所以③对；
对于④，因为当p≥−2时，f(n+1)−f(n)＝2n+1+p>0，反之不成立，所以④错；
对于⑤，因为f(x)是偶函数，且在(−∞, 0]上单调递减，所以在[0, +∞)上单调递增，
又因为f(−2)＝1，f(1−x)<1⇔−2<1−x<2，解之得−115.
【答案】
sin(2x
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
16.
【答案】
【考点】
三角函数的周期性及其求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
17.
【答案】
由三角函数公式化简可得
f(x)=cs(2x−4π3)+2cs2x
=cs2xcs4π3+sin2xsin4π3+2cs2x
=−12cs2x−32sin2x+1+cs2x
=12cs2x−32sin2x+1
=cs(2x+π3)+1，
当2x+π3=2kπ即x=kπ−π6(k∈Z)时，f(x)取得最大值2，
此时x的集合为{x|x=kπ−π6, k∈Z}；
由2kπ+π≤2x+π3≤2kπ+2π，
可解得kπ+π3≤x≤kπ+5π6，
f(B+C)=cs(2B+2C+π3)+1=32，
∴ cs(2B+2C+π3)=12，由角的范围可得2B+2C+π3=5π3，
变形可得B+C=2π3，A=π3，
由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2−bc
=(b+c)2−3bc=4−3bc≥4−3(b+c2)2=1，
当且仅当b=c=1时取等号，故a的最小值为1．
【考点】
三角函数的最值
【解析】
（1）由三角函数公式化简可得f(x)=cs(2x+π3)+1，由三角函数的最值可得；
（2）由f(B+C)=32，可得角A=π3，由余弦定理和基本不等式可得．
【解答】
由三角函数公式化简可得
f(x)=cs(2x−4π3)+2cs2x
=cs2xcs4π3+sin2xsin4π3+2cs2x
=−12cs2x−32sin2x+1+cs2x
=12cs2x−32sin2x+1
=cs(2x+π3)+1，
当2x+π3=2kπ即x=kπ−π6(k∈Z)时，f(x)取得最大值2，
此时x的集合为{x|x=kπ−π6, k∈Z}；
由2kπ+π≤2x+π3≤2kπ+2π，
可解得kπ+π3≤x≤kπ+5π6，
f(B+C)=cs(2B+2C+π3)+1=32，
∴ cs(2B+2C+π3)=12，由角的范围可得2B+2C+π3=5π3，
变形可得B+C=2π3，A=π3，
由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2−bc
=(b+c)2−3bc=4−3bc≥4−3(b+c2)2=1，
当且仅当b=c=1时取等号，故a的最小值为1．
18.
【答案】
解：f(x)=sin(2x+π4)，列表：
描点得图象：
【考点】
五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象
【解析】
根据五点法，求出对应的五点，即可得到结论．
【解答】
解：f(x)=sin(2x+π4)，列表：
描点得图象：
19.
【答案】
解：(1)y=f(x)的对称轴x=a2，
当a2≥0时，即a≥0时，S1(a)=f(−1)=3a+3.
当a2<0时，即a<0时，S1(a)=f(1)=3+a，
∴S1(a)=3a+3,a≥0，a+3,a<0.
(2)h(x)=x2+(1−a)x+a+2,−1≤x<0，对称轴x=a2−12，x2−(a+1)x+a+2,0≤x≤1,对称轴,x=a2+12，
当a≤−1时，则a2−12≤−1，a2+12≤0，
∴ h(x)在[−1, 0)上单调递增，在[0, 1]上单调递增，
∴ h(x)在[−1, 1]上单调递增，
∴ h(x)min=h(−1)=2a+2；
当a≥1时，则a2−12≥0，a2+12≥1，
∴ h(x)在[−1, 0)上单调递减，在[0, 1]上单调递减，
∴ h(x)在[−1, 1]上单调递减，
∴ h(x)min=h(1)=2；
当−1∴ h(x)在[−1, a2−12]上单调递减，在[a2−12, 0]上单调递增，
在[0, a2+12]上单调递减，在[a2+12, 1]上单调递增，
∴h(x)min=min{h(a2−12),h(a2+12)}
=min{−a2+6a+74,−a2+2a+74}.
当−a2+6a+74≥−a2+2a+74时，即0≤a<1时，h(x)min=−a2+2a+74.
当−a2+6a+74<−a2+2a+74时，即−1综上：S2(a)=2a+2,a≤−1，−14a2+32a+74,−1【考点】
二次函数的性质
分段函数的应用
函数的单调性及单调区间
函数的最值及其几何意义
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)y=f(x)的对称轴x=a2，
当a2≥0时，即a≥0时，S1(a)=f(−1)=3a+3.
当a2<0时，即a<0时，S1(a)=f(1)=3+a，
∴S1(a)=3a+3,a≥0，a+3,a<0.
(2)h(x)=x2+(1−a)x+a+2,−1≤x<0，对称轴x=a2−12，x2−(a+1)x+a+2,0≤x≤1,对称轴,x=a2+12，
当a≤−1时，则a2−12≤−1，a2+12≤0，
∴ h(x)在[−1, 0)上单调递增，在[0, 1]上单调递增，
∴ h(x)在[−1, 1]上单调递增，
∴ h(x)min=h(−1)=2a+2；
当a≥1时，则a2−12≥0，a2+12≥1，
∴ h(x)在[−1, 0)上单调递减，在[0, 1]上单调递减，
∴ h(x)在[−1, 1]上单调递减，
∴ h(x)min=h(1)=2；
当−1∴ h(x)在[−1, a2−12]上单调递减，在[a2−12, 0]上单调递增，
在[0, a2+12]上单调递减，在[a2+12, 1]上单调递增，
∴h(x)min=min{h(a2−12),h(a2+12)}
=min{−a2+6a+74,−a2+2a+74}.
当−a2+6a+74≥−a2+2a+74时，即0≤a<1时，h(x)min=−a2+2a+74.
当−a2+6a+74<−a2+2a+74时，即−1综上：S2(a)=2a+2,a≤−1，−14a2+32a+74,−120.
【答案】
①由图知，A＝2；
34T=11π12−π6=9π12=3π4，
解得T＝π，
所以|ω|=2πT=2，
又ω>0，所以ω＝2；
所以f(x)＝2sin(2x+φ)；
由图象知f(x)过点(π6, 2)，
所以f(π6)＝2sin(2×π6+φ)＝2，
所以sin(π3+φ)＝1，即π3+φ=π2+2kπ，k∈Z；
解得φ=π6+2kπ，k∈Z；
又|φ|<π2，所以φ=π6；
所以f(x)=2sin(2x+π6)；
②令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z，
解得kπ−π3≤x≤kπ+π6,k∈Z；
所以f(x)的单调增区间为[kπ−π3, kπ+π6]，k∈Z；
由题意，g(x)＝f(x+π3)＝2sin[2(x+π3)+π6]＝2sin(2x+5π6)；
x∈[0, π2]时，2x+5π6∈[5π6, 11π6]，
所以当2x+5π6=3π2，即x=π3时，f(x)取得最小值为−2；
当2x+5π6=5π6，即x＝0时，f(x)取得最大值为1．
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
（1）①由图求得A、Tω和φ的值，写出函数f(x)的解析式；
②根据正弦函数的单调性，列出不等式求出f(x)的单调增区间；
（2）由题意写出函数g(x)的解析式，利用三角函数的性质求出x∈[0, π2]时f(x)的最值以及对应的x值．
【解答】
①由图知，A＝2；
34T=11π12−π6=9π12=3π4，
解得T＝π，
所以|ω|=2πT=2，
又ω>0，所以ω＝2；
所以f(x)＝2sin(2x+φ)；
由图象知f(x)过点(π6, 2)，
所以f(π6)＝2sin(2×π6+φ)＝2，
所以sin(π3+φ)＝1，即π3+φ=π2+2kπ，k∈Z；
解得φ=π6+2kπ，k∈Z；
又|φ|<π2，所以φ=π6；
所以f(x)=2sin(2x+π6)；
②令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z，
解得kπ−π3≤x≤kπ+π6,k∈Z；
所以f(x)的单调增区间为[kπ−π3, kπ+π6]，k∈Z；
由题意，g(x)＝f(x+π3)＝2sin[2(x+π3)+π6]＝2sin(2x+5π6)；
x∈[0, π2]时，2x+5π6∈[5π6, 11π6]，
所以当2x+5π6=3π2，即x=π3时，f(x)取得最小值为−2；
当2x+5π6=5π6，即x＝0时，f(x)取得最大值为1．x
0
π8
3π8
5π8
7π8
π
2x+π4
π4
π2
π
3π2
2π
9π4
sin(2x+π4)
22
1
0
−1
0
22
x
0
π8
3π8
5π8
7π8
π
2x+π4
π4
π2
π
3π2
2π
9π4
sin(2x+π4)
22
1
0
−1
0
22