2020-2021年高中数学新人教A版必修第一册 第5章 二倍角的正弦余弦正切公式 学案

这是一份2020-2021年高中数学新人教A版必修第一册 第5章 二倍角的正弦余弦正切公式 学案，共8页。
在S(α＋β)、C(α＋β)及T(α＋β)中，令β＝α，则上述公式会有什么变化？
对于cs 2α的等式能否可以变成只含有sin α或cs α的式子？
知识点 倍角公式
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式
(2)余弦的二倍角公式的变形
cs 2α＝1－2sin2α＝2cs2α－1.
倍角公式中的“倍角”只指α与2α吗？
[提示] 不是．“倍角”是相对而言的．如4α是2α的二倍．“α＋β”是“eq \f(α＋β,2)”的二倍等等．
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( )
(2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( )
(3)对于任意的角α，cs 2α＝2cs α都不成立．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2.若sin α＝eq \f(3,5)，cs α＝eq \f(4,5)，则sin 2α＝________，cs 2α＝________，tan 2α＝________.
eq \f(24,25) eq \f(7,25) eq \f(24,7) [∵sin α＝eq \f(3,5)，cs α＝eq \f(4,5)，∴sin 2α＝2sin αcs α＝2×eq \f(3,5)×eq \f(4,5)＝eq \f(24,25)，cs 2α＝2cs2α－1＝2×eq \f(16,25)－1＝eq \f(7,25).
tan 2α＝eq \f(sin 2α,cs 2α)＝eq \f(\f(24,25),\f(7,25))＝eq \f(24,7).]
类型1 给角求值问题
【例1】 求下列各式的值：
(1)cs415°－sin415°＝________；
(2)1－2sin275°＝________；
(3)eq \f(1－tan275°,tan 75°)＝________；
(4)eq \f(1,sin 10°)－eq \f(\r(3),cs 10°)＝________；
(5)cs eq \f(π,7)cs eq \f(3π,7)cs eq \f(5π,7)＝________.
(1)eq \f(\r(3),2) (2)－eq \f(\r(3),2) (3)－2eq \r(3) (4)4 (5)－eq \f(1,8) [(1)cs415°－sin415°＝(cs215°－sin215°)·(cs215°＋sin215°)＝cs215°－sin215°＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2).
(2)1－2sin275°＝cs 150°＝－cs 30°＝－eq \f(\r(3),2).
(3)eq \f(1－tan275°,tan 75°)＝2×eq \f(1－tan275°,2tan 75°)
＝2×eq \f(1,tan 150°)＝－2eq \r(3).
(4)eq \f(1,sin 10°)－eq \f(\r(3),cs 10°)＝eq \f(cs 10°－\r(3)sin 10°,sin 10°cs 10°)
＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°－\f(\r(3),2)sin 10°)),sin 10°cs 10°)
＝eq \f(4sin 30°cs 10°－cs 30°sin 10°,2sin 10°cs 10°)
＝eq \f(4sin 20°,sin 20°)＝4.
(5)∵cseq \f(3π,7)＝－cseq \f(4π,7)，cseq \f(5π,7)＝－cseq \f(2π,7)，
∴cseq \f(π,7)cseq \f(3π,7)cseq \f(5π,7)＝cseq \f(π,7)cseq \f(2π,7)cseq \f(4π,7)＝eq \f(8sin\f(π,7)cs\f(π,7)cs\f(2π,7)cs\f(4π,7),8sin\f(π,7))＝eq \f(4sin\f(2π,7)cs\f(2π,7)cs\f(4π,7),8sin\f(π,7))
＝eq \f(2sin\f(4π,7)cs\f(4π,7),8sin\f(π,7))＝eq \f(sin\f(8π,7),8sin\f(π,7))＝－eq \f(1,8).]
对于给角求值问题，一般有2类：
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角的正弦公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．求下列各式的值
(1)cs 72°cs 36°；
(2)eq \f(1,sin 50°)＋eq \f(\r(3),cs 50°).
[解] (1)cs 36°cs 72°＝eq \f(2sin 36°cs 36°cs 72°,2sin 36°)＝eq \f(2sin 72°cs 72°,4sin 36°)＝eq \f(sin 144°,4sin 36°)＝eq \f(1,4).
(2)原式＝eq \f(cs 50°＋\r(3)sin 50°,sin 50°cs 50°)
＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 50°＋\f(\r(3),2)sin 50°)),\f(1,2)×2sin 50°cs 50°)
＝eq \f(2sin 80°,\f(1,2)sin 100°)＝eq \f(2sin 80°,\f(1,2)sin 80°)＝4.
类型2 给值求值问题
【例2】 已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(5,13)，0