人教版新课标A选修2-11.2充分条件与必要条件学案

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1．充分条件与必要条件
思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？
(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q．这五种表述形式等价吗？
[提示] (1)相同，都是p⇒q．(2)等价．
2．充要条件
(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
(2)若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．
(3)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．
(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．
(5)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
[提示] (1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q．
(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
1．“x＞0”是“eq \r(3,x2)＞0”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
A [当x＞0时，eq \r(3,x2)＞0成立；但当eq \r(3,x2)＞0时，得x2＞0，则x＞0或x＜0，此时不能得到x＞0．]
2．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是( )
A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“ac0，q：xy>0；
③p：a>b，q：a＋c>b＋c．
①③ [在①③中，p⇔q，所以①③中p是q的充要条件，在②中，qp，所以②中p不是q的充要条件．]
【例1】 指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．
(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；
(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；
(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；
(4)p：a＜b，q：eq \f(a,b)＜1．
思路探究：判断p⇒q与q⇒p是否成立，当p、q是否定形式，可判断q是p的什么条件．
[解] (1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充分必要条件．
(2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即q⇒p，但pq，所以p是q的充分不必要条件．
(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0．因此，p是q的必要不充分条件．
(4)由于a＜b，当b＜0时，eq \f(a,b)＞1；
当b＞0时，eq \f(a,b)＜1，故若a＜b，不一定有eq \f(a,b)＜1；
当a＞0，b＞0，eq \f(a,b)＜1时，可以推出a＜b；
当a＜0，b＜0，eq \f(a,b)＜1时，可以推出a＞b．
因此p是q的既不充分也不必要条件．
充分条件与必要条件的判断方法
(1)定义法
(2)等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题．
(3)逆否法：这是等价法的一种特殊情况．
若p⇒q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；
若p⇒q，且q p，则p是q的必要不充分条件；
若p⇔q，则p与q互为充要条件；
若p q，且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．
eq \O([跟进训练])
1．(1)设x∈R，则“eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))＜eq \f(1,2)”是“x3＜1”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [由eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))＜eq \f(1,2)得－eq \f(1,2)＜x－eq \f(1,2)＜eq \f(1,2)，解得0＜x＜1．
由x3＜1得x＜1．当0＜x＜1时能得到x＜1一定成立；当x＜1时，0＜x＜1不一定成立．所以“eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))＜eq \f(1,2)”是“x3＜1”的充分而不必要条件．]
(2)设函数f(x)＝cs x＋bsin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
C [∵f(x)＝cs x＋bsin x为偶函数，
∴对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，
即cs(－x)＋bsin(－x)＝cs x＋bsin x，
∴2bsin x＝0．由x的任意性，得b＝0．
故f(x)为偶函数⇒b＝0．必要性成立．
反过来，若b＝0，则f(x)＝cs x是偶函数．充分性成立．
∴“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件．故选C．]
【例2】 (1)“x2－4x