高中人教版新课标A3.1空间向量及其运算学案设计

这是一份高中人教版新课标A3.1空间向量及其运算学案设计，共11页。


1．空间向量运算的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
2．空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
思考：若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
a∥b一定有eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)＝eq \f(a3,b3)成立吗？
[提示] 当b1，b2，b3均不为0时，eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)＝eq \f(a3,b3)成立．
3．向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则
(1)eq \(AB,\s\up7(→))＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；
(2)dAB＝|eq \(AB,\s\up7(→))|＝eq \r(a2－a12＋b2－b12＋c2－c12)．
1．已知向量a＝(－3,2,5)，b＝(1,5，－1)，则4a＋2b等于( )
A．(10，－18，－18) B．(－10,18,18)
C．(－14，－2,22) D．(－14,2，－22)
B [∵4a＝(－12,8,20)，2b＝(2,10，－2)，
∴4a＋2b＝(－10,18,18)．]
2．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝( )
A．1 B．eq \f(1,5) C．eq \f(3,5) D．eq \f(7,5)
D [ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，且(ka＋b)·
(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝eq \f(7,5)．]
3．若A(－1,2,3)，B(2,1,4)，C(m，n,1)三点共线，则m＋n＝________．
－3 [eq \(AB,\s\up7(→))＝(3，－1,1)，eq \(AC,\s\up7(→))＝(m＋1，n－2，－2)．
∵A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得eq \(AC,\s\up7(→))＝λeq \(AB,\s\up7(→))．
即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1,1)＝(3λ，－λ，λ)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1＝3λ，,n－2＝－λ，,－2＝λ，))解得λ＝－2，m＝－7，n＝4．
∴m＋n＝－3．]
4．已知a＝(－eq \r(2)，2，eq \r(3))，b＝(3eq \r(2)，6,0)，则|a|＝________，
a与b夹角的余弦值等于________．
3 eq \f(\r(6),9) [|a|＝eq \r(－\r(2)2＋22＋\r(3)2)＝eq \r(9)＝3，
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－6＋12,3×\r(3\r(2)2＋62))＝eq \f(\r(6),9)．]
【例1】 (1)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)满足条件(c－a)·2b＝－2，则x＝________．
(2)已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求适合下列条件的点P的坐标；
①eq \(OP,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→)))；②eq \(AP,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→)))．
(1)2 [c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，由(c－a)·2b＝－2得2(1－x)＝－2，解得x＝2．]
(2)解：eq \(AB,\s\up7(→))＝(2,6，－3)，eq \(AC,\s\up7(→))＝(－4,3,1)．
①eq \(OP,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→)))＝eq \f(1,2)(6,3，－4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(3,2)，－2))，则点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(3,2)，－2))．
②设P(x，y，z)，则eq \(AP,\s\up7(→))＝(x－2，y＋1，z－2)．
∵eq \(AP,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(3,2)，－2))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2＝3，,y＋1＝\f(3,2)，,z－2＝－2，))
解得x＝5，y＝eq \f(1,2)，z＝0，则点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(1,2)，0))．
1．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
2．在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
eq \O([跟进训练])
1．已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)．
求：(1)a＋b；(2)a－b；(3)a·b；
(4)2a·(－b)；(5)(a＋b)·(a－b)．
[解] (1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)
＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)．
(2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)
＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)．
(3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)
＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7．
(4)∵2a＝(4，－2，－4)，
∴2a·(－b)＝(4，－2，－4)·(0,1，－4)
＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14．
(5)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8．
【例2】 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝eq \r(2)，AF＝1，M是线段EF的中点．
求证：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF．
[证明] (1)如图，建立空间直角坐标系，
设AC∩BD＝N，连接NE，
则点N，E的坐标分别为
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0))，(0,0,1)．
∴eq \(NE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，1))．
又点A，M的坐标分别是(eq \r(2)，eq \r(2)，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1))，
∴eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，1))．
∴eq \(NE,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))．
又NE与AM不共线，∴NE∥AM．
又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，
∴AM∥平面BDE．
(2)由(1)知eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，1))．
∵D(eq \r(2)，0,0)，F(eq \r(2)，eq \r(2)，1)，
∴eq \(DF,\s\up6(→))＝(0，eq \r(2)，1)，
∴eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(DF,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(AM,\s\up6(→))⊥eq \(DF,\s\up6(→))．
同理，eq \(AM,\s\up6(→))⊥eq \(BF,\s\up6(→))．
又DF∩BF＝F，且DF⊂平面BDF，BF⊂平面BDF，
∴AM⊥平面BDF．
解决本题的关键是建立正确、恰当的空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题.通过向量的运算，来实现平行与垂直的判定.
eq \O([跟进训练])
2．已知空间向量a＝(－1,2，－3)，b＝(2，－4，x)，c＝(4，y,6)．
(1)若m∥a，且|m|＝2eq \r(7)，求向量m；
(2)若a⊥c，求实数y的值；
(3)若(2a－b)∥(a＋3b)，求实数x的值．
[解] (1)由于m∥a，可设m＝λa＝λ(－1,2，－3)＝(－λ，2λ，－3λ)．
因为|m|＝2eq \r(7)，
所以eq \r(－λ2＋2λ2＋－3λ2)＝2eq \r(7)，
即λ2＝2，解得λ＝±eq \r(2)．
故m＝(－eq \r(2)，2eq \r(2)，－3eq \r(2))或m＝(eq \r(2)，－2eq \r(2)，3eq \r(2))．
(2)因为a⊥c，所以a·c＝0，
即－4＋2y－18＝0，解得y＝11．
(3)由已知得2a－b＝(－4,8，－6－x)，a＋3b＝(5，－10,3x－3)，而(2a－b)∥(a＋3b)，
所以eq \f(－4,5)＝eq \f(8,－10)＝eq \f(－6－x,3x－3)，解得x＝6．
[探究问题]
1．已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点P的坐标是多少？
[提示] Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)，\f(z1＋z2,2)))．
2．设异面直线AB，CD所成的角为θ，则cs θ＝cs〈eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))〉一定成立吗？
[提示] 当cs〈eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))〉≥0时，cs θ＝cs〈eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))〉，
当cs〈eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))〉<0时，cs θ＝－cs〈eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))〉．
【例3】 棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．
(1)求证：EF⊥CF；
(2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值；
(3)求CE的长．
思路探究：
eq \x(建立适当的坐标系)―→eq \x(得各点的坐标)―→eq \x(数量积运算)―→
eq \x(长度、夹角公式)―→eq \x(几何结论)
[解] (1)证明：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，则D(0,0,0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,2)))，C(0,1,0)，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2)))．
所以eq \(EF,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，－\f(1,2)))．
eq \(CF,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,2)，0))，eq \(CG,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，\f(1,2)))，eq \(CE,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－1，\f(1,2)))．
因为eq \(EF,\s\up7(→))·eq \(CF,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×0＝0，
所以eq \(EF,\s\up7(→))⊥eq \(CF,\s\up7(→))，即EF⊥CF．
(2)因为eq \(EF,\s\up7(→))·eq \(CG,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)×1＋eq \f(1,2)×0＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，
|eq \(EF,\s\up7(→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(2))＝eq \f(\r(3),2)，
|eq \(CG,\s\up7(→))|＝eq \r(12＋02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2))＝eq \f(\r(5),2)，
所以cs〈eq \(EF,\s\up7(→))，eq \(CG,\s\up7(→))〉＝eq \f(\(EF,\s\up7(→))·\(CG,\s\up7(→)),|\(EF,\s\up7(→))||\(CG,\s\up7(→))|)
＝eq \f(\f(1,4),\f(\r(3),2)×\f(\r(5),2))＝eq \f(\r(15),15)．
又因为异面直线所成角的范围是(0°，90°]，所以异面直线EF与CG所成角的余弦值为eq \f(\r(15),15)．
(3)|CE|＝|eq \(CE,\s\up7(→))|＝eq \r(02＋－12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2))＝eq \f(\r(5),2)．
通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.
eq \O([跟进训练])
3．如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．
(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；
(2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．
[解] (1)证明：设eq \(AB,\s\up7(→))＝p，eq \(AC,\s\up7(→))＝q，eq \(AD,\s\up7(→))＝r．
由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三个向量两两夹角均为60°．
eq \(MN,\s\up7(→))＝eq \(AN,\s\up7(→))－eq \(AM,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→)))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→))
＝eq \f(1,2)(q＋r－p)，
∴eq \(MN,\s\up7(→))·eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(q＋r－p)·p
＝eq \f(1,2)(q·p＋r·p－p2)
＝eq \f(1,2)(a2cs 60°＋a2cs 60°－a2)＝0．
∴eq \(MN,\s\up7(→))⊥eq \(AB,\s\up7(→))，即MN⊥AB．同理可证MN⊥CD．
(2)设向量eq \(AN,\s\up7(→))与eq \(MC,\s\up7(→))的夹角为θ．
∵eq \(AN,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→)))＝eq \f(1,2)(q＋r)，
eq \(MC,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))－eq \(AM,\s\up7(→))＝q－eq \f(1,2)p，
∴eq \(AN,\s\up7(→))·eq \(MC,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(q＋r)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(q－\f(1,2)p))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(q2－\f(1,2)q·p＋r·q－\f(1,2)r·p))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2－\f(1,2)a2cs 60°＋a2cs 60°－\f(1,2)a2cs 60°))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2－\f(a2,4)＋\f(a2,2)－\f(a2,4)))＝eq \f(a2,2)．
又∵|eq \(AN,\s\up7(→))|＝|eq \(MC,\s\up7(→))|＝eq \f(\r(3),2)a，
∴eq \(AN,\s\up7(→))·eq \(MC,\s\up7(→))＝|eq \(AN,\s\up7(→))||eq \(MC,\s\up7(→))|cs θ＝eq \f(\r(3),2)a×eq \f(\r(3),2)a×cs θ＝eq \f(a2,2)．
∴cs θ＝eq \f(2,3)．
∴向量eq \(AN,\s\up7(→))与eq \(MC,\s\up7(→))的夹角的余弦值为eq \f(2,3)，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为eq \f(2,3)．
1．在空间直角坐标系中，已知点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则eq \(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．
2．两点间的距离公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
则|AB|＝|eq \(AB,\s\up7(→))|＝eq \r(\(|\(AB,\s\up7(→))|2))
＝eq \r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12)．
3．空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围．
1．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝eq \r(29)，且λ>0，则λ＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
B [λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，由已知得|λa＋b|＝eq \r(42＋1－λ2＋λ2)＝eq \r(29)，且λ>0，解得λ＝3．]
2．已知点A(－1,3,1)，B(－1,3,4)，若eq \(AP,\s\up7(→))＝2eq \(PB,\s\up7(→))，则点P的坐标是________．
(－1,3,3) [设点P(x，y，z)，则由eq \(AP,\s\up7(→))＝2eq \(PB,\s\up7(→))，得(x＋1，y－3，z－1)＝2(－1－x,3－y,4－z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＝－2－2x，,y－3＝6－2y，,z－1＝8－2z，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝3，,z＝3，))即P(－1,3,3)．]
3．若a＝(2,3，－1)，b＝(－2,1,3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为________．
6eq \r(5) [a·b＝2×(－2)＋3×1＋(－1)×3＝－4，|a|＝eq \r(14)，|b|＝eq \r(14)，
∴cs〈a，b〉＝eq \f(－4,\r(14)×\r(14))＝－eq \f(2,7)．
∴sin〈a，b〉＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,7)))eq \s\up12(2))＝eq \f(3\r(5),7)．
因此以a，b为邻边的平行四边形的面积为|a||b|sin〈a，b〉＝eq \r(14)×eq \r(14)×eq \f(3\r(5),7)＝6eq \r(5)．]
4．已知向量a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)，c＝(2，x，－4)．
(1)判断a，b的位置关系；
(2)若a∥c，求|c|；
(3)若b⊥c，求c在a方向上的投影的长．
[解] (1)因为a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)，所以b＝－2a，所以a∥b．
(2)因为a∥c，所以eq \f(2,1)＝eq \f(x,2)＝eq \f(－4,－2)，解得x＝4．
所以c＝(2,4，－4)，从而|c|＝eq \r(22＋42＋－42)＝6．
(3)因为b⊥c，所以b·c＝0，即(－2，－4,4)·(2，x，－4)＝－4－4x－16＝0，解得x＝－5，
所以c＝(2，－5，－4)．
所以c在a方向上的投影的长为
|c|cs〈a，c〉＝|c|×eq \f(a·c,|a||c|)＝eq \f(1×2－2×5＋2×4,\r(12＋22＋－22))＝eq \f(2－10＋8,3)＝0．
学 习 目 标
核 心 素 养
1．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(重点)
2．掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(重点、难点)
1．通过空间向量的坐标运算及空间向量夹角及长度的学习，培养学生的数学运算核心素养．
2．借助利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养．
运算
坐标表示
加法
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
平行(a∥b)
a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝λb1，,a2＝λb2，λ∈R,a3＝λb3))
垂直(a⊥b)
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)
模
|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))
夹角公式
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))\r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3)))
空间向量的坐标运算
利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题
空间向量夹角与长度的计算