人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式学案设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式学案设计，共7页。


授课提示：对应学生用书第90页
[教材提炼]
知识点 诱导公式(五)、(六)
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
如图，作P1关于直线y＝x的对称点P5，以OP5为终边的角γ与角α有什么关系？角γ与角α的三角函数值之间有什么关系？

知识梳理 公式五
(1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝cs_α，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sin_α.
公式六
(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cs_α，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin_α.
(3)公式五～六归纳：eq \f(π,2)±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．
[自主检测]
1．若cs(π＋α)＝－eq \f(1,3)，那么sin(eq \f(3π,2)－α)等于( )
A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3) C.eq \f(2\r(2),3) D．－eq \f(2\r(2),3)
答案：A
2．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))的值为( )
A.eq \f(2\r(2),3) B．－eq \f(2\r(2),3)
C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
答案：C
3．若α＋β＝eq \f(π,2)且sin α＝eq \f(1,5)，则cs β＝________.
答案：eq \f(1,5)
4．已知α是第四象限角，且cs α＝eq \f(1,2)，则cs(α＋90°)＝________.
答案：eq \f(\r(3),2)
授课提示：对应学生用书第90页
探究一 利用诱导公式求值
[例1] (1)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α))＝eq \f(1,5)，那么cs α＝( )
A．－eq \f(2,5) B．－eq \f(1,5)
C.eq \f(1,5) D.eq \f(2,5)
(2)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(2,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝________.
(3)已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(3,5)))，求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＋2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)))的值．
[解析] (1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,2)＋α))＝
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cs α＝eq \f(1,5).
(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(2,3).
(3)因为角α的终边在第二象限且与单位圆相交于点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(3,5)))，所以a2＋eq \f(9,25)＝1(a<0)，所以a＝－eq \f(4,5)，
所以sin α＝eq \f(3,5)，cs α＝－eq \f(4,5)，
所以原式＝eq \f(cs α＋2cs α,－2sin α)＝－eq \f(3,2)·eq \f(cs α,sin α)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))×eq \f(－\f(4,5),\f(3,5))＝2.
[答案] (1)C (2)eq \f(2,3) (3)见解析
已知三角函数值求其他三角函数值的解题思路
(1)观察：①观察已知的角和所求角的差异，寻求角之间的关系；
②观察已知的三角函数名与所求的三角函数名的差异．
(2)转化：运用诱导公式将不同的角转化为相同的角；将不同名的三角函数化为同名的三角函数．
计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.
解析：因为1°＋89°＝90°，所以sin21°＋sin289°＝sin21°＋cs21°＝1，同理sin22°＋sin288°＝1，sin23°＋sin287°＝1，所以原式＝44×1＋eq \f(1,2)＝eq \f(89,2).
答案：eq \f(89,2)
探究二 化简三角函数式
[例2] 化简：
eq \f(sin4π－αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,2)＋α)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,2)＋α))cs2π－α)－eq \f(tan5π－α,sin3π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))).
[解析] ∵sin(4π－α)＝sin(－α)＝－sin α，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,2)＋α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))))＝
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin α，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,2)＋α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))
＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－cs α，
tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α，
sin(3π－α)＝sin(π－α)＝sin α，
∴原式＝eq \f(sin αsin α,－cs αcs α)－eq \f(－tan α,sin αcs α)＝－eq \f(sin2α,cs2α)＋eq \f(1,cs2α)＝eq \f(1－sin2α,cs2α)＝eq \f(cs2α,cs2α)＝1.
将同角三角函数基本关系式和诱导公式联系起来化简三角函数式是常见的题型，利用诱导公式解题时，要注意灵活运用公式．在解法二中利用诱导公式的规律对解题过程进行简化时，容易误认为是π的奇、偶倍而犯错，要牢记“奇变偶不变”中奇、偶指的是eq \f(π,2)的奇、偶倍．
eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))·cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),csπ＋α)＋eq \f(sinπ－α·cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),sinπ＋α)＝________.
解析：原式＝eq \f(cs α·sin α,－cs α)＋eq \f(sin α·－sin α,－sin α)＝－sin α＋sin α＝0.
答案：0
探究三 证明三角恒等式
[例3] 求证：eq \f(tan2π－αsin－2π－αcs6π－α,sinα＋\f(3π,2)csα＋\f(3π,2))＝－tan α.
[证明] 左边＝eq \f(tan－α·sin－α·cs－α,sin[2π－\f(π,2)－α]·cs[2π－\f(π,2)－α])
＝eq \f(－tan α·－sin α·cs α,sin[－\f(π,2)－α]cs[－\f(π,2)－α])
＝eq \f(sin2α,－sin\f(π,2)－αcs\f(π,2)－α)
＝eq \f(sin2α,－cs α·sin α)
＝－eq \f(sin α,cs α)＝－tan α＝右边．
∴原等式成立．
对于利用诱导公式证明三角恒等式的问题，解题的关键在于公式的灵活运用，思路在于如何配角，如何分配角之间的关系，其中要特别注意函数名称与正负号的正确判断．
求证：eq \f(tan3π－αsin－5π＋αcs4π－α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2))))＝tan α.
证明：左边＝eq \f(－tan αsin－π＋αcs－α,－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2))))
＝eq \f(－tan α－sin αcs α,－cs α－sin α)＝tan α＝右边，
所以等式成立．
授课提示：对应学生用书第91页
一、诱导公式(一)～(六)的拓展与应用
这六组诱导公式可归纳为k·eq \f(π,2)±α(k∈Z)的三角函数值与α的三角函数值之间的关系．当k为偶数时，得角α的同名三角函数值，当k为奇数时，得角α的余名三角函数值，然后前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号．可简记为“奇变偶不变，符号看象限．”
即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,2)π＋α))＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(±sin α，当k为偶数，,±cs α，当k为奇数.,))
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,2)π＋α))＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(±cs α，当k为偶数，,±sin α，当k为奇数.))
[典例] 化简：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,2)π＋α))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,2)π－α))(n∈Z)．
[解析] 当n＝4k(k∈Z)时，
原式＝sin(2kπ＋α)＋cs(2kπ－α)＝sin α＋cs α.
当n＝4k＋1(k∈Z)时，
原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)＋α))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)－α))
＝cs α＋sin α.
当n＝4k＋2(k∈Z)时，
原式＝sin(2kπ＋π＋α)＋cs(2kπ＋π－α)
＝－sin α－cs α.
当n＝4k＋3k∈Z时，
原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(3,2)π＋α))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(3,2)π－α))
＝－cs α－sin α.
综上，当n＝4k或n＝4k＋1(k∈Z)时，原式＝sin α＋cs α.
当n＝4k＋2或4k＋3(k∈Z)时，原式＝－sin α－cs α.
二、三角形中的诱导公式
由A＋B＋C＝π，得A＋B＝π－C，
所以eq \f(A＋B,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(C,2)，
所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
cs(A＋B)＝cs(π－C)＝－cs C，
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A＋B,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(C,2)))＝cseq \f(C,2)，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A＋B,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(C,2)))＝sineq \f(C,2).
[典例] 在△ABC中，若sin(2π－A)＝－eq \r(2)sin(A＋C)，－eq \r(3)cs(B＋C)＝－eq \r(2)cs(π－B)，求△ABC的三个内角．
[解析] 由已知条件得，
sin A＝eq \r(2)sin B，①
eq \r(3)cs A＝eq \r(2)cs B，②
①2＋②2得，
sin2A＋3cs2A＝2，
∴2cs2 A＝1，
∴cs A＝±eq \f(\r(2),2).
当cs A＝eq \f(\r(2),2)时，cs B＝eq \f(\r(3),2).
又A、B为三角形内角
∴A＝eq \f(π,4)，B＝eq \f(π,6)，C＝π－(A＋B)＝eq \f(7,12)π.
当cs A＝－eq \f(\r(2),2)时，cs B＝－eq \f(\r(3),2)，A、B都为钝角，舍去．
综上，A＝eq \f(π,4)，B＝eq \f(π,6)，C＝eq \f(7,12)π.
内 容 标 准
学 科 素 养
1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题．
逻辑推理
数学抽象
2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力．
3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.