高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.2.1 等差数列学案及答案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.2.1 等差数列学案及答案，共9页。学案主要包含了典例解析等内容，欢迎下载使用。
1.理解等差数列的概念,并能利用等差数列的定义判断或证明一个数列是否为等差数列.
2.掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念.
3.掌握等差数列的性质,并能在具体问题中正确应用.
4.了解等差数列与一次函数的关系.
重点： 等差数列概念的理解、通项公式的应用
难点：等差数列通项公式的推导及等差数列的函数特征
1．等差数列的概念
2 ；前一项 ；同一个常数 ；常数 ；d
2.等差数列的通项公式
一般地,若等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则通项公式为：an=a1+(n-1)d.
点睛： 等差数列的通项公式an中共含有四个变量,即a1,d,n,an,如果知道了其中任意三个量,就可由通项公式求出第四个量.
3.从函数角度认识等差数列{an}
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，
则an＝f (n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d
4.等差数列的性质：一般地，如果{an}是等差数列， 而且正整数s,t,p,q满足s+t=p+q
则as+at=ap+aq.
特别地，如果2s=p+q，则2as=ap+aq.
问题探究
问题：观察下列现实生活中的数列，回答后面的问题。
我国有用12生肖纪年的习惯，例如.2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2017 ，2029， 2041，2053，2065 ，2077，…；①
我国确定鞋号的脚长使用毫米来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为275，270，265，260，255，250。…；②
2019年1月中，每个星期日的日期为
6，13 ，20， 27.③
（1）数列①②③在数学中都称为等差数列，它们有什么共同点？你能给等差数列下一个定义吗？
（2）你能总结出数列①②③的通项公式并得出一般等差数列的通项公式吗？

探究1.你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
探究2.在等差数列的通项公式中， an与n的关系与以前学过的什么函数有关?
探究3.如果A为x与y的等差中项，那么A能用x与y表示出来吗
探究4.设数列{an}的通项公式为an=3n-1，求出a2+a7,a3+a6, 并比较它们的大小。你能由此总结出一个一般的结论并给出证明吗？
二、典例解析
例1.判断以下数列是否是等差数列？如果是，指出公差；如果不是，说明理由.
（1）7,13,19,25,31；
（2）2,4,7,11；
（3）-1,-3,-5,-7.
例2.已知等差数列10,7,4，…
（1）求这个数列的第10项；
（2） -56是不是这个数列中的项？-40呢？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由.
1.等差数列通项公式的求法
(1)等差数列的通项公式有两个基本量:首项a1和公差d,故求通项公式主要是利用方程思想解a1,d.
(2)等差数列通项公式的另两种形式:
①an=am+(n-m)d;
②an=kn+b(k,b是常数).
2.方程思想的应用
等差数列的通项公式是一个等式,且含有a1,an,n,d四个字母,当把任何一个字母看作未知数时,就构成一个方程,从而可以通过解方程的方法求出这四个字母中的任何一个.
跟踪训练2.已知数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
例3.已知数列{an}的通项公式为an=3n-5，判断这个数列是否是等差数列，如果是求出公差，如果不是说明理由.
例4.已知等差数列{an}的公差为d,求证:对于任意的正整数m,n ，有
an=am+n-md
例5.已知等差数列{an}中，a5=3, a7=9, 求a10.
例6.已知数列{an}中，
an-1=an+an-22
在n≥3时恒成立，求证： {an}是等差数列.
例7.如图所示，已知某梯子共有5级，从上往下数，第1级的宽为35cm，第5级的宽为43cm，且各级的宽度从小到大构成等差数列，求其余三级的宽度.
等差数列的常用性质
等差数列有很多条性质,但常用的主要有两条:若{an}为等差数列,则
(1)当m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)时,总有am+an=ap+aq.
(2)当m+n=2k(m,n,k∈N+)时,总有am+an=2ak.
跟踪训练4. (1)在等差数列{an}中,已知a1,a2 021为方程x2-10x+21=0的两根,则a2+a2 020等于( )
A.10 B.15 C.20 D.40
(2)在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7= .
1．数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列( )
A．是公差为－3的等差数列
B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列
D．是公差为n的等差数列
2．等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝( )
A．8 B．12 C．16 D．24
3.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是( )
A.2 B.3 C.6 D.9
4.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6= .
5.若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为 .
6．若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程
x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式．
参考答案：
知识梳理
学习过程
问题探究
问题： 不难看出，上述数列①②③的共同特点是 ：从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数.具体地，
数列① 从第2项起每一项与它前一项之差都等于12；
数列 ②从第2项起每一项与它前一项之差都等于-5；
数列 ②从第2项起每一项与它前一项之差都等于7.
探究1.设一个等差数列an的首项为a1,公差为d,根据等差数列的定义，
可得an+1-an= d
所以a2-a1= d, a3-a2= d, a4-a3= d,…
于是 a2=a1+ d,
a3=a2+ d=(a1+ d) + d=a1+ 2d,
a4=a3+ d=(a1+ 2d) + d=a1+ 3d,……
归纳可得an=a1+(n-1) d (n≥2)
当n=1时，上式为a1=a1+(1-1) d=a1，这就是说,上式当时也成立。
因此，首项为a1,公差为d的等差数列an的通项公式为an=a1+(n-1) d
另外根据等差数列的定义可得：
∵a2－a1＝d，
a3－a2＝d，
a4－a3＝d，
…
an－an－1＝d(n≥2)，
将上述(n－1)个式子相加得
an－a1＝(n－1)d(n≥2)，
∴an＝a1＋(n－1)d(n≥2)，
当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式，
∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)．
探究2.因为
an=a1+(n-1) d=nd+a1-d
所以如果记
fx=xd+a1-d
则可以看出an=fn，而且;
（1）当公差d=0时， fx是常数函数，此时数列{an}是常数列（因此，公差为0的等差数列是常数列）；
（2）公差d≠0时，fx是一次函数，而且fx的增减性依赖于公差的符号，因此，当d>0时， {an}是递增数列，当d