数学选择性必修 第三册5.3.1 等比数列随堂练习题

5.3.1 等比数列   -A基础练

一、选择题

1．（2021·全国高二课时练）有下列四个说法：①等比数列中的某一项可以为0；②等比数列中公比的取值范围是；③若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1；④若，则，，成等比数列.其中说法正确的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【详解】对于①，因为等比数列中的各项都不为0，所以①不正确；对于②，因为等比数列的公比不为0，所以②不正确；对于③，若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0，根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以③正确；对于④，只有当，，都不为0时，，，才成等比数列，所以④不正确.因此，正确的说法只有1个，故选：B.

2．（2021·全国高二课时练）与的等比中项是（    ）

A．1 B． C．2 D．或1

【答案】D

【详解】由题意可设与的等比中项是，则，解得或.故选：D.

3．（2021·北京师范大学万宁附属中学高二月考）我国明代著名乐律学家明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个键到下一个键的8个白键与5个黑键（如图，从左至右依次为：，，，，，，，，，，，，的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音的频率正好是中音的2倍．已知标准音的频率为，那么频率为的音名是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】因为的音频是数列的第10项，，所以频率为是该数列的第四项，其音名是，故选：D

4．（2021·山西师大附中高二期末）已知公差的等差数列满足，且，，成等比数列，若正整数，满足，则（    ）

A． B．

C． D．或

【答案】C

【详解】由题知，因为为等差数列，所以，又，则，从而.故选：C．

5．（多选题）（2020·湖南郴州高二期末）关于递增等比数列，下列说法不正确的是（    ）

A． B． C． D．当时，

【答案】ABC

【详解】由题意，设数列的公比为，因为，得，

当时，，此时，当时，，

故不正确的是ABC.故选：ABC.

6．（多选题）（2021·江苏淮安市高二期末）已知等比数列的公比为且成等差数列，则的值可能为（    ）

A． B．1 C．2 D．3

【答案】AC

【详解】因为成等差数列，所以，

因为.又是公比为的等比数列，

所以由，得，即，

解得或.故选：

二、填空题

7．（2021·全国高二课时练习）在等比数列中，，公比，则        .

【答案】

【详解】由题知.

8．（2021·福州屏东中学高二期末）已知数列是等比数列，函数的两个零点是，则        .

【答案】

【详解】由韦达定理可知，，则，，从而，

且.

9．（2021·北京高二期末）已知数列的通项公式为，则数列中能构成等比数列的三项可以为________.(只需写出一组)

【答案】，，（答案不唯一）

【详解】因为数列的通项公式为，

所以数列中的项依次为，，，，，，，，，，，，……，

显然，所以，，能构成等比数列.故答案为：，，

10．（2021·全国高二课时练）已知是1，2的等差中项，是，的等比中项，则等于        ．

【答案】

【详解】由题意，，，∴．

三、解答题

11．（2021·海原县第一中学高二期末）有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为，中间两个数的和为，求这四个数.

【答案】、、、或、、、.

【详解】设前三个数分别为、、，则第四个数为.

由题意得，解得或.

当，时，这四个数为、、、；

当，时，这四个数为、、、.

12．（2021·山西运城市高二期末）已知正项等比数列，首项，且成等差数列，求数列的通项公式.

【详解】解：设等比数列的公比为q，

由题意得：，

即，即，

所以或（舍），

所以．