高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.1 函数的平均变化率同步测试题

6.1.1 函数的平均变化率     -B提高练  

一、选择题

2．（2021·全国高二课时练）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段上的平均速度分别为，则三者的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

C【详解】由题意得，，由题图易知，

∴.

2．（2021·全国高二课时练习）某质点的运动规律为，则在时间内，质点的位移增量等于（    ）

A． B． C． D．

A【详解】位移增量.

3．（2021·江苏苏州市·高二期中）函数在区间上的平均变化率为（    ）

A．1 B．2 C．π D．π2

【答案】C

【详解】根据题意，，在区间上，有，，

则其平均变化率，故选：C.

4．（2021·山东泰安一中高二月考）两个学校、开展节能活动，活动开始后两学校的用电量、与时间（天）的关系如图所示，则一定有（      ）

A．比节能效果好

B．的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率大

C．两学校节能效果一样好

D．与自节能以来用电量总是一样大

A【详解】由图象可知，对任意的，曲线在处的切线比曲线在处的切线要“陡”，所以，比节能效果好，A正确，C错误；

由图象可知，，则的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率要小，B选项错误；由于曲线和曲线不重合，D选项错误.

5．（2021·浙江高二期末）2020年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面处开始实施动力下降，7500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约降为零．14分钟后，探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为v，相对月球纵向速度的平均变化率为a，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】解：探测器与月球表面距离逐渐减小，所以；

探测器的速度逐渐减小，所以,故选：D

6. （多选题）（2021·重庆高二月考）某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，如图所示．假设其关系为指数函数，并给出下列说法，其中正确的说法有（    ）

A．野生水葫芦的每月增长率为1

B．野生水葫芦从4蔓延到12只需1．5个月

C．设野生水葫芦蔓延到10，20，30所需的时间分别为，，，则有

D．野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度

【答案】AC

【详解】设指数函数的解析式为，

由函数的图象可知图象过点，代入可得，解得，即，

则，所以野生水葫芦的每月增长率为1，所以A正确；

由当时，，又由时，可得，解得，所以B不正确；

令，可得，解得，同理可得，

则，，

所以，所以C正确；由平均变化率的定义，可得1月到3月的平均变化率为，

2月到4月的平均变化率为，所以D不正确.故选：AC.

二、填空题

7．（2021·陕西宝鸡市高二期末）函数在区间上的平均变化率为_________.

【答案】

【详解】函数在区间上的平均变化率为：.

8．（2020·全国高一课时练习）已知曲线上两点，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________.

【答案】

【解析】由函数的解析式有：，

则，

当Δx＝1时，割线AB的斜率为.

9．（2020·浙江高二专题练）生活经验告诉我们，当水注进容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图像，

A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．

【答案】(4)    (1)    (3)    (2)   

【详解】容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，根据导数的几何意义可知，

函数图象切线斜率变化故先慢后快，与(4)对应；

容器为球形，水高度变化为快—慢—快，根据导数的几何意义可知，

应与(1)对应；容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线形，

但容器细，容器粗，故水高度的变化为：

容器快，与(3)对应，容器慢，与(2)对应.

故答案为(4)；(1)；(3)；(2)．

10．（2021·全国高课二时练）函数与在区间上增长较快的是________．

【答案】

【详解】在上取，，

，因为，所以，，

所以，所以函数在区间上的增长速度慢于函数的增长速度，故增长较快的为．

三、解答题

11．（2020·全国高二课时练）（1）计算函数从到的平均变化率，其中的值为：①2；②1；0.1；④0.01

（2）思考：当越来越小时，函数在区间上的平均变化率有怎样的变化趋势？

【详解】（1）因为

所以.

①当时，；

②当时，；

③当时，；

④当时，.

（2）当越来越小时，

由（1）得，

函数在区间上的平均变化率逐渐变小，并接近于2．

12．（2021·全国高二专题练）巍巍泰山为我国的五岳之首,有“天下第一山”之美誉,登泰山在当地有用“紧十八,慢十八,不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受,下面是一段登山路线图.同样是登山,但是从A处到B处会感觉比较轻松,而从B处到C处会感觉比较吃力.试用数学语言给出解释.

【详解】从A处到B处高度的平均变化率为,

从B处到C处高度的平均变化率为,

由,知山路从B处到C处比从A处到B处陡峭.

故从A处到B处会感觉比较轻松,而从B处到C处会感觉比较吃力.