人教B版 (2019)5.3.1 等比数列习题

5.3.1 等比数列  -B提高练  

一、选择题

1．（2021·天津南开中学高二月考）“，，成等比数列”是“，，成等比数列”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】解：若，，成等比数列，则，此时，则，，成等比数列，即充分性成立，反之当，，时满足，，成等比数列，但，，不成等比数列，即必要性不成立，即“，，成等比数列”是“，，成等比数列”的充分不必要条件，故选：A.

2．（2021·山东泰安实验中学高二期末）已知是一个等比数列的前项，那么第项为（    ）.

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】因为成等比数列，则，解得：或，

当时，不符合，舍去；当时，前项为：，所以公比，则第项为：，故选：B.

3．（2021·全国高二课时练）已知等比数列中，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】∵等比数列中，，，

∴ ，解得，∴．故选：A.

4．（2021·全国高一课时练习）已知数列为等比数列，，且依次成等差数列，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】设数列的公比为，因为，依次成等差数列，所以，所以，则，故，所以.

5．（多选题）（2021·扬州大学附属中学高二期末）已知数列是公比为q的等比数列，，若数列有连续4项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【详解】，

数列有连续四项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中

数列有连续四项在集合，，18，36，中

又数列是公比为的等比数列，

在集合，，18，36，中，数列的连续四项只能是：，36，，81或81，，36，.或.故选：BD

6. （多选题）（2021·重庆西南大学附中高二期末）古希腊时期，人们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，把这个比值称为黄金分割比例．下图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，若M与K间的距离超过1.5m，C与F间的距离小于11m，则该古建筑中A与B间的距离可能是（    ）（参考数据：，，，，，）

A．26.8m B．30.1m C．27m D．29.2m

【答案】AC

【详解】设，，∵矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，∴有，，，，，，

由题设得：，解得．故选：AC．

二、填空题

7．（2021·山东济宁市高二期末）在等比数列中，，则        .

【答案】4

【详解】为等比数列，设公比为，由，

则，

所以.

8．（2021·全国高二课时练）已知某等比数列的前三项依次为，，，那么是此数列的第       项.

【答案】4

【详解】解：由题意得，，解得或.当时，，不符合题意，舍去，∴.此时，，∴该等比数列的首项为，公比为.设为此数列的第项，则，解得.

9．（2021·湖南师大附中高二期末）等比数列为递减数列，若，，则        .

【答案】

【详解】∵等比数列为递减数列，，，∴与为方程的两个根，解得，或，，∵，∴，，∴，则.

10．（2021·全国高二课时练）在等比数列中，，当时，恒成立，则公比q的取值范围是______．

【答案】

【详解】解：在等比数列中，，所以，，

当时，，数列递增，所以当时，恒成立.

故答案为：

三、解答题

11．（2021·云南省大姚县第一中学高二期末）在等比数列{an}中，

（1）已知an=128，a1=4，q=2，求n；

（2）已知an=625，n=4，q=5，求a1；

（3）已知a1=2，a3=8，求公比q和通项公式.

【答案】（1）6；（2）5；（3）公比q为2或-2，对应的通项公式为an=2n或an=(-1)n-12n.

【详解】（1）∵an=a1·qn-1=128，a1=4，q=2，

∴4·2n-1=128，

∴2n-1=32，

∴n-1=5，n=6.

（2）∵an=a1·qn-1=625，n=4，q=5，

∴a1==5.

（3）a3=a1·q2，即8=2q2，

∴q2=4，∴q=±2.

当q=2时，an=a1qn-1=2·2n-1=2n，

当q=-2时，an=a1qn-1=2·(-2)n-1=(-1)n-12n，

∴数列{an}的公比q为2或-2，

对应的通项公式为an=2n或an=(-1)n-12n.

12．（2021·四川省都江堰中学高二期末）在等差数列中，，.

（1）求数列的通项公式

（2）若，数列是公比为4的等比数列，求数列的通项公式.

【详解】（1）∵数列是等差数列，

∴，

∴，.

（2），

∴.