数学选择性必修 第三册第五章 数列5.3 等比数列5.3.2 等比数列的前 n项和课后练习题

5.3.2 等比数列的前n项和   -A基础练

一、选择题

1．（2021·浙江嘉兴市高二期末）已知数列满足，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由可得数列为等比数列，所以，故选：A

2．（2021·重庆巴蜀中学高二月考）在《庄子一天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，蕴含了无限分割、等比数列的思想，体现了古人的智慧.如图，正方形ABCD的边长为，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第二个正方形EFGH，然后再取正方形EFCH的各边的中点I，J，K，L，作第三个正方形IJKL，依此方法一直继续下去，记第一个正方形ABCD的面积为，第二个正方形EFGH的面积为，第k个正方形的面积为，则前6个正方形的面积之和为（    ）

A．31 B． C．32 D．

【答案】B

【详解】，,所以.

设前6个正方形的面积之和为，.

3．（2020·全国高二课时练习）等比数列1，，，，…的前项和（    ）

A． B． 

C． D．

【答案】C

【详解】当时，；当且时，.

∴，故选：C

4．（2021·山西师大附中高二期末）已知数列、满足，，，则数列的前项和为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】解：因为，∴数列是等差数列，且公差是，是等比数列，且公比是，又∵，∴，，∴，

设，∴，数列是等比数列，且公比为，首项为，

由等比数列的前项和的公式得：其前项的和为.故选：C.

5．（多选题）（2021·辽宁葫芦岛市高二期末）已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，，成等差数列，其前项和为，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【详解】由，，成等差数列，得.

设的公比为，则，解得或（舍去），

所以，解得.所以数列的通项公式为，

，故选：AC.

6．（多选题）（2021·河北张家口市高二期末）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（    ）

A．若，则是等差数列

B．若，则是等比数列

C．若是等差数列，则

D．若是等比数列，且，，则

【答案】BC

【详解】若，当时，，不满足，故A错误.

若，则，满足，所以是等比数列，故B正确.

若是等差数列，则，故C正确.

，故D错误.故选：BC

二、填空题

7．（2021·北京丰台区高二期末）对于数列，若点都在函数的图象上，则数列的前4项和___________.

【答案】30

【详解】由题设可得，故，故为等比数列，其首项为2，公比为2，

故.

8．（2021·广东深圳市·明德学校高二期末）在等比数列中，是数列的前n项和．若，则__________.

【答案】6

【详解】设的公比为q，则．

9．（2021·海口市海南中高二期末）已知等比数列的前项和为，设，那么数列的前15项和为_________.

【答案】120

【详解】因为若，则 ，不成立，

所以，则，解得，

所以，所以，

所以数列的前15项和为.

10．（2021·天津河东区高二期末）设等比数列的前n项和为．若，，，则_________．

【答案】155

【详解】由等比数列的性质可知，，，，是等比数列，

由条件可知，，则此等比数列的公比，又，

所以，，

所以.

三、解答题

11．（2021·福建泉州市高二期末）已知等差数列中，，.

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和.

【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，

所以，解得，所以；

（2）由（1）可得，，即数列为等比数列，

所以数列的前n项和.

12．（2021·天津河东区·高二期末）数列的前n项和为，，．

（1）求数列的通项；

（2）求数列的前n项和．

【详解】（1）因为，所以，

两式相减得：，

所以，即，

又，，则不满足上式，

所以数列是从第2项开始，以3为公比的等比数列，

所以；

（2）由（Ⅰ）可得，

所以当时，，

当时，，

综上：