数学选择性必修 第三册6.1.3 基本初等函数的导数精练

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专题五 导数与函数的最值
基本知识点
1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值：假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]一定能够取得最大值与最小值，若函数在[a，b]内是可导的，则该函数的最值必在极值点或区间端点取得．
2．求可导函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
(1)求f(x)在开区间(a，b)内所有极值点．
(2)计算函数f(x)在极值点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
例题分析
一、求函数的最值
例1 (1)函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为(　　)
A．72　　　　 B．36 C．12 D．0
(2)函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　　)
A．1－e B．－1 C．－e D．0
(3)求函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]的最值．
解析　(1)因为y＝x4－4x＋3，所以y′＝4x3－4，令y′＝0，解得x＝1．当x0，函数单调递增，所以函数y＝x4－4x＋3在x＝1处取得极小值0.而当x＝－2时，y＝27，当x＝3时，y＝72，所以当x＝1时，函数y＝x4－4x＋3取得最小值0，故选D.
(2)f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，得x＝1．
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)f(2)，
所以当x＝2时，f(x)取最小值，则－16a＋3＝－29，
所以a＝2，所以a＝2，b＝3.
(对应训练二)已知h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围．
解析 h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，h′(x)＝3x2＋6x－9.
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，
当x变化时h′(x)及h(x)的变化情况如下表．
x
(－∞，－3)
－3
(－3，1)
1
(1，＋∞)
h′(x)
＋
0
－
0
＋
h(x)
↗
28
↘
－4
↗
当x＝－3时，取极大值28；
当x＝1时，取极小值－4.
而h(2)＝30时，记函数g(x)＝f′(x)，求函数g(x)在区间(0,2]上的最小值．
解析　(1)当k＝－2时，f(x)＝(x＋1)2－4lnx，f′(x)＝2x＋2－(x>0)．
由f′(x)