人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.5 数学归纳法同步练习题

专题十二  数学归纳法

基本知识点

1．验证是基础：数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点．

2．递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．

3．利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．

例题分析

一、用数学归纳法证明等式

例1  用数学归纳法证明：

＋＋…＋＝(n∈N*)．

证明　(1)当n＝1时，＝成立．

(2)假设当n＝k(n∈N*)时等式成立，即有

＋＋…＋＝，

则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋

＝＋

＝，

即当n＝k＋1时等式也成立．

由(1)(2)可得对于任意的n∈N*等式都成立．

归纳总结：

(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n＞k(k为正整数)，则n0＝k＋1.

(2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．

(对应训练一)用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝.

证明：(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝，等式成立．

(2)假设当n＝k时，等式成立，

即＋＋＋…＋＝成立．

当n＝k＋1时，

＋＋＋…＋＋

＝＋＝

＝＝＝.

所以n＝k＋1时，等式也成立．

由(1)(2)可得，对一切n∈N*，等式成立．

(对应训练二)求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)．

证明  (1)当n＝1时，左边＝1－＝，

右边＝＝，左边＝右边．

(2)假设n＝k(k∈N*)时等式成立，

即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，

则当n＝k＋1时，

＋

＝＋

＝＋＋…＋＋.

即当n＝k＋1时，等式也成立．

综合(1)，(2)可知，对一切n∈N*，等式成立．

二、用数学归纳法证明不等式

例2  已知n∈N*，n＞2，求证：1＋＋＋…＋ ＞.

证明　(1)当n＝3时，左边＝1＋＋，右边＝＝2，左边＞右边，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥3)时，不等式成立，

即1＋＋＋…＋＞.

当n＝k＋1时，

1＋＋＋…＋＋ ＞＋

＝＝ .

因为 ＞＝＝，

所以1＋＋＋…＋＋ ＞.

所以当n＝k＋1时，不等式也成立．

由(1)，(2)知对一切n∈N*，n＞2，不等式恒成立．

归纳总结：(1)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前n个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．

(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立得n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．

 (对应训练一)求证：＋＋＋…＋＞(n≥2，n∈N*)。

证明  (1)当n＝2时，＋＋＋＞，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，命题成立．

即＋＋…＋＞.

则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＋

＝＋＋…＋＋＋＋－

＞＋＋＋－＞＋3×－＝.

所以当n＝k＋1时，不等式也成立．

由(1)，(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*都成立．

(对应训练二)求证：…＞(n≥2，n∈N*)。

证明  (1)当n＝2时，左边＝1＋＝，右边＝.

左边＞右边，所以原不等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时不等式成立，

即…＞.

则当n＝k＋1时，

左边＝…

＞·

＝＝＞

＝＝.

所以，当n＝k＋1时不等式也成立．

由(1)和(2)可知，对一切n≥2，n∈N*不等式都成立．

专题训练

1．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜n(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了(　　)

A．1项         B．k项     C．2k－1项        D．2k项

解析　当n＝k时，不等式左边的最后一项为，而当n＝k＋1时，最后一项为＝，并且不等式左边和式的分母的变化规律是每一项比前一项加1，故增加了2k项．

答案  D

2．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N＋)，从n＝k推导到n＝k＋1时，左边需要增乘的代数式为(　　)

A．2(2k＋1)       B．2k＋1      C．       D．

解析　当n＝k时，等式左端为(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)，

当n＝k＋1时，等式左端为(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋k)(k＋k＋1)(2k＋2)，

∴从n＝k推导到n＝k＋1时，左边需增乘的式子为2(2k＋1)．

答案　A

3．k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为(k≥3，k∈N*)(　　)

A．f(k)＋k－1    B．f(k)＋k＋1     C．f(k)＋k        D．f(k)＋k－2

解析　三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面(0＋2＝0＋(3－1))；五棱柱有5个对角面(2＋3＝2＋(4－1))；六棱柱有9个对角面(5＋4＝5＋(5－1))．

猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，

则(k＋1)棱柱有f(k)＋k－1个对角面．

答案　A

4．对于不等式 ＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：

(1)当n＝1时， ＜1＋1，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即 ＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，

∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　)

A．过程全部正确

B．n＝1验得不正确

C．归纳假设不正确

D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

解析　在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，故选D.

答案  D

5．用数学归纳法证明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N*)．

证明：　(1)当n＝1时，左式＝1＋，右式＝＋1，

∴≤1＋≤，命题成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k，

则当n＝k＋1时，

1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞1＋＋2k·＝1＋.

又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜＋k＋2k·＝＋(k＋1)，

即n＝k＋1时，命题成立．

由(1)和(2)可知，命题对所有n∈N*都成立．