人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.3.2 等比数列的前 n项和课后作业题

专题十一  并项求和法、含绝对值数列求数列的前n项和

基本公式

并项求和法：一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.总之，在求数列的前n项和时，应先考查其通项公式，根据通项公式的特点，再来确定选用何种求和方法．数列求和的实质就是一个代数式(或超越式)的化简问题．

例题分析

一、并项求和

例1  已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝2Sn－1(n∈N*)．

(1)求证：数列{an}为等比数列；

(2)若bn＝(2n＋1)an，求{bn}的前n项和Tn.

解析　(1)证明：当n＝1时，a1＝2S1－1＝2a1－1，得a1＝1；

当n≥2时，an＝2Sn－1，

an－1＝2Sn－1－1，两式相减可得an－an－1＝2an，

化简得an＝－an－1，

所以{an}是首项为1，公比为－1的等比数列．

(2)由(1)可得an＝1×(－1)n－1，

所以bn＝(2n＋1)×(－1)n－1，

当n为偶数时，bn－1＋bn＝－2.

∴Tn＝×(－2)＝－n.

当n为奇数时，n－1为偶数，Tn＝Tn－1＋bn＝－(n－1)＋2n＋1＝n＋2.

综上，数列{bn}的前n项和为Tn＝

答案  (1) 首项为1，公比为－1的等比数列      (2) Tn＝

归纳总结：数列的通项中出现(－1)n或(－1)n＋1时，常常要对n取值的奇偶性进行分类讨论，应首先求出当n为偶数时的Sn，再考虑当n为奇数时，n－1为偶数，所以Sn＝Sn－1＋an.

(对应训练一)求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)．

解析　当n为偶数时，

Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n＋3)＋(2n－1)]＝n.

当n为奇数时，n－1为偶数，

∴Sn＝Sn－1＋(－1)n(2n－1)＝n－1＋(－1)(2n－1)＝－n.

∴Sn＝(－1)n·n，(n∈N*)．

答案  (－1)n·n

(对应训练二)已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________.

解析  因为f (n)＝n2cos(nπ)，所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝[f (1)＋f (2)＋…＋f (100)]＋[f (2)＋…＋f (101)]，f (1)＋f(2)＋…＋f (100)＝－12＋22－32＋42－…－992＋1002＝(22－12)＋(42－32)＋…(1002－992)＝3＋7＋…＋199＝＝5 050，f(2)＋…＋f (101)＝22－32＋42－…－992＋1002－1012＝(22－32)＋(42－52)＋…＋(1002－1012)＝－5－9－…－201＝＝－5 150，所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝[f(1)＋f(2)＋…＋f(100)]＋[f(2)＋…＋f(101)]＝－5 150＋5 050＝－100.

答案  －100

二、含绝对值数列求前n项和

例2  已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.

(1)求等差数列{an}的通项公式；

(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．

解析　(1)设等差数列{an}的公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，

由题意得，解得或.

所以由等差数列通项公式可得an＝2－3(n－1)＝－3n＋5，或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.

故an＝－3n＋5，或an＝3n－7.

(2)当an＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4,2，不成等比数列，不满足条件；

当an＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．

故|an|＝|3n－7|＝.记数列{|an|}的前n项和为Sn.

当n＝1时，S1＝|a1|＝4；当n＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5；

当n≥3时，

Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an|＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7)

＝5＋＝n2－n＋10.

当n＝2时，满足此式．综上，Sn＝.

答案  (1) an＝－3n＋5，或an＝3n－7      (2) Sn＝

(对应训练)数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设Hn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Hn.

解析　(1)因为an＋2－2an＋1＋an＝0.

所以an＋2－an＋1＝an＋1－an＝…＝a2－a1.

所以{an}是等差数列且a1＝8，a4＝2，所以d＝－2，an＝a1＋(n－1)d＝10－2n.

故an＝10－2n.

(2)因为an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.

当n>5时，an<0；当n＝5时，an＝0；

当n<5时，an>0.

设Sn＝a1＋a2＋…＋an.

所以当n>5时，Hn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝n2－9n＋40，

当n≤5时，Hn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2.

所以Hn＝

答案  (1) an＝10－2n      (2) Hn＝

专题训练

1．已知等差数列{an}中，a3＋a5＝a4＋7，a10＝19，则数列{ancos nπ}的前2 018项和为(　　)

A．1 008        B．1 009       C．2 017        D．2 018

解析　由题意得，解得∴an＝2n－1，

设bn＝cos nπ，则b1＋b2＝a1cos π＋a2cos 2π＝2，b3＋b4＝a3cos 3π＋a4cos 4π＝2，…

∴数列{ancos nπ}的前2 018项和为Sn＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b2 017＋b2 018)

＝2×＝2 018.故选D.

答案  D

2．数列{(－1)nn}的前n项和为Sn，则S2020＝ (　　)

A．1010  B．－1010   C．2020  D．－2020

解析　S2020＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2019＋2020)＝1010.

答案　A

3．已知数列{an}为等差数列，且a1＝5，a2＝9，数列{bn}的前n项和Sn＝bn＋.

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)设cn＝an|bn|，求数列{cn}的前n项的和Tn.

解析　(1)公差d＝a2－a1＝9－5＝4，

∴an＝a1＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1.

(2)∵Sn＝bn＋，∴Sn－1＝bn－1＋(n≥2)，

两式相减，得bn＝bn－bn－1，∴bn＝－bn－1，

∴＝－2(n≥2)．又b1＝S1＝b1＋，∴b1＝1，

∴数列{bn}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴bn＝(－2)n－1.

∴cn＝an|bn|＝(4n＋1)|(－2)n－1|＝(4n＋1)·2n－1.

∴Tn＝5×1＋9×2＋13×22＋…＋(4n＋1)·2n－1①

2Tn＝5×2＋9×22＋…＋(4n－3)·2n－1＋(4n＋1)·2n②

①－②得－Tn＝5＋4(2＋22＋…＋2n－1)－(4n＋1)·2n

＝5＋4×－(4n＋1)·2n＝5＋8(2n－1－1)－(4n＋1)·2n

＝5＋2n＋2－8－(4n＋1)·2n＝2n＋2－(4n＋1)·2n－3

＝2n(4－4n－1)－3＝2n(3－4n)－3，

∴Tn＝(4n－3)2n＋3.

答案  (1) 4n＋1      (2) (4n－3)2n＋3