专题10选择性必修三综合测试（三）-2020-2021学年高二数学下学期期中专项复习（人教A版选择性必修第三册）

这是一份专题10选择性必修三综合测试（三）-2020-2021学年高二数学下学期期中专项复习（人教A版选择性必修第三册），文件包含专题10选择性必修三综合测试三原卷版-2020-2021学年高二数学下学期期中专项复习人教A版选择性必修第三册doc、专题10选择性必修三综合测试三解析版-2020-2021学年高二数学下学期期中专项复习人教A版选择性必修第三册doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。

专题10选择性必修三综合测试（三）

一、单选题
1．（2020·全国高三月考（文））某中学举行“感恩、责任、信仰、奋斗”的十八岁成人礼仪式，其中有一项学生发言，准备从3名男生、2名女生中随机选2人发言，则既有男生发言又有女生发言的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
某中学举行“感恩、责任、信仰、奋斗”的十八岁成人礼仪式，
其中有一项学生发言，准备从名男生、名女生中随机选人发言，
基本事件总数，
既有男生发言又有女生发言包含的基本事件个数，
∴ 既有男生发言又有女生发言的概率．
故选：C
2．（2021·辽宁高一期末）某商场开通三种平台销售商品，五一期间这三种平台的数据如图1所示．该商场为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，用分层抽样的方法抽取了6%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2所示．下列说法正确的是（ ）

A．总体中对平台一满意的消费人数约为36
B．样本中对平台二满意的消费人数为300
C．若样本中对平台三满意的消费人数为120，则
D．样本中对平台一和平台二满意的消费总人数为54
【答案】D
【详解】
样本中对平台一满意的人数为，故A错误；
总体中对平台二满意的人数约为，故B错误；
对平台三的满意率为，所以，故C错误；
样本中对平台一和平台二满意的总人数为，故D正确．
故选：D
3．（2020·天津市南开中学滨海生态城学校高二期中）已知X的分布列为
X
﹣1
0
1
P




且Y＝aX+3，E（Y），则a为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】
先求出（﹣1）01．
再由Y＝aX+3得．
∴a（）+3，解得a＝2．
故选：B．
4．（2019·黄梅国际育才高级中学高二月考）下面是2015年至2018年我国人口出生率、人口死亡率和人口自然增长率的柱状图：

注：人口出生率=×100%人口死亡率=×100%
人口自然增长率=人口出生率-人口死亡率
下面说法正确的是（ ）
A．2016年我国二孩政策的全面实施后，人口出生率不断提升
B．2015年以来，随着医疗水平不断提升，我国人口死亡率显著下降
C．2016年以来，我国人口增速逐渐放缓
D．2018年人口较2017年减少
【答案】C
【详解】
解：对于，2016年以来，人口出生率并不是不断提升的，错误；
对于，2015年以来，我国人口死亡率并没有显著下降，错误；
对于，由图形知，2016年以来，我国人口增速逐渐放缓，正确；
对于，由图形不能得出2018年人口较2017年减少，错误．
故选：．
5．（2020·福建高二期末）红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险.为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间内的概率为（ ）
（附：若随机变量服从正态分布，则，）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题意可知
则，
即
故选：C
6．（2020·四川高二期末（理））的展开式中，二项式系数最大的项的系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
二项式系数分别为，其中最大，
所以第三项的系数是.
故选:A
7．（2021·全国高三专题练习）陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相生关系的概率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由金、木、水、火、土之间相生相克的关系可以看出，
现从五种不同属性的物质中任取两种，
基本事件总数，
取出的两种物质恰好是相生关系包含的基本事件个数，
则取出的两种物质恰好是相生关系的概率为.
故选：.
8．（2021·全国高三专题练习）在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲､乙､丙､丁､戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙､丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有（ ）
A．8种 B．12种 C．20种 D．24种
【答案】C
【详解】
当甲排在第一位时，共有种发言顺序，
当甲排在第二位时，共有种发言顺序，
所以一共有种不同的发言顺序.
故选：C.
二、多选题
9．（2021·全国高三专题练习）如图，在某城市中，、两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的个交汇处.今在道路网、处的甲、乙两人分别要到、处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达、处为止.则下列说法正确的是（ ）

A．甲从到达处的方法有种
B．甲从必须经过到达处的方法有种
C．甲、乙两人在处相遇的概率为
D．甲、乙两人相遇的概率为
【答案】BCD
【详解】
A选项，甲从到达处，需要走步，其中有步向上走，步向右走，
则甲从到达处的方法有种，A选项错误；
B选项，甲经过到达处，可分为两步：
第一步，甲从经过需要走步，其中步向右走，步向上走，方法数为种；
第二步，甲从到需要走步，其中步向上走，步向右走，方法数为种.
甲经过到达的方法数为种，B选项正确；
C选项，甲经过的方法数为种，乙经过的方法数也为种，
甲、乙两人在处相遇的方法数为，
甲、乙两人在处相遇的概率为，C选项正确；
D选项，甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇，
若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向上走，乙经过处，则乙的前三步必须向左走，两人在处相遇的走法种数为种；
若甲、乙两人在处相遇，由C选项可知，走法种数为种；
若甲、乙两人在处相遇，甲到处，前三步有步向右走，后三步只有步向右走，
乙到处，前三步有步向下走，后三步只有步向下走，
所以，两人在处相遇的走法种数为种；
若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向右走，乙经过处，则乙的前三步必须向下走，两人在处相遇的走法种数为种；
故甲、乙两人相遇的概率，D选项正确.
故选：BCD.
10．（2021·全国高二课时练习）5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数可以是（ ）
A． B．60
C．72 D．
【答案】AC
【详解】
先除去甲、乙两人，将剩下的3人全排，共=3×2×1=6种不同的排法，
再将甲、乙两人从产生的4个空中选2个插入共=12种不同的排法，
所以5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数是=6×12=72，故选：AC．
11．（2021·福建高二期末）某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（ ）
A．甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是
B．乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是
C．丙同学随机选择选项，能得分的概率是
D．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是
【答案】ABC
【详解】
甲同学仅随机选一个选项，共有4个基本事件，分别为，
随机事件“若能得3分”中有基本事件，故“能得3分”的概率为，故A正确.
乙同学仅随机选两个选项，共有6个基本事件，
分别为：，
随机事件“能得5分”中有基本事件，故“能得5分”的概率为，故B正确.
丙同学随机选择选项（丙至少选择一项），
由A、B中的分析可知共有基本事件种，分别为：
选择一项：；
选择两项：；
选择三项或全选：，，
随机事件“能得分”中有基本事件，
故“能得分”的概率为，故C正确.
丁同学随机至少选择两个选项，有C的分析可知：共有基本事件11个，
随机事件“能得分”中有基本事件，故“能得分”的概率为，
故D错.
故选：ABC.
12．（2021·山东烟台市·高三一模）骰子通常作为桌上游戏的小道具.最常见的骰子是六面骰，它是一个质地均匀的正方体，六个面上分别写有数字.现有一款闯关游戏，共有关，规则如下：在第关要抛掷六面骰次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第关，假定每次闯关互不影响，则（ ）
A．直接挑战第关并过关的概率为
B．连续挑战前两关并过关的概率为
C．若直接挑战第关，设“三个点数之和等于”，“至少出现一个点”，则
D．若直接挑战第关，则过关的概率是
【答案】ACD
【详解】
对于A项，，所以两次点数之和应大于，
即直接挑战第关并过关的概率为，
故A正确；
对于B项，，所以挑战第一关通过的概率，
则连续挑战前两关并过关的概率为，故B错误；
对于C项，由题意可知，抛掷3次的基本事件有，
抛掷3次至少出现一个点的共有种，
故,而事件AB包括：含5,5,5的1种，
含4,5,6的有6种，共7种，故,
所以,故C正确；
对于D项，当n=4时，，基本事件有个，
而“4次点数之和大于20”包含以下35种情况：
含5,5,5,6的有4种，含5,5,6,6的有6种，
含6,6,6,6的有1种，含4,6,6,6的有4种，
含5,6,6,6的有4种，含4,5,6,6的有12种，
含3,6,6,6的有4种，所以，
故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．（2020·全国高三专题练习）若n是正整数，则除以9的余数是____________.
【答案】0或7
【详解】
根据二项式定理可知，，
又
所以当n为偶数时，除以9的余数为0；当n为奇数时，除以9的余数为7.
故答案为：0或7
14．（2020·全国高三专题练习）用、、、、、、、组成没有重复数字的八位数，要求与相邻，与相邻，而与不相邻，则这样的八位数共有_______个．
【答案】
【详解】
与相邻，则捆绑成一个元素，注意内部排列有种可能，
与相邻，则捆绑成一个元素，注意内部排列有种可能，
与不相邻，则用、、、当隔板，有五个空，
注意隔板的排列，共有种可能，
利用分步乘法原理，共有
．
故答案为：1920.
15．（2020·云南昆明一中高三（理））某班6名同学去A，B，C，D四个城市参加社会调查，要求将这6名同学分成四组，每组去一个城市，其中两组各有两名同学，另外两组各有1名同学，则不同的分配方案的种数是__________．（用数字填写答案）
【答案】1080
【详解】
根据题意，这6人分成四组共有种不同的分组方案，
所以总共有种分配方案．
故答案为：1080．
12．（2021·浙江高三期末）袋子里装有编号分别为“2，3，3，4，4，5”的6个大小、质量相同的小球，小明从袋子中一次任取2个球，若每个球被取到的机会均等，记取出的2个小球编号之和为，编号之差的绝对值为，记，则______；_____.
【答案】
【详解】
的可能取值为:，的可能取值为:
的可能取值为:5,6,7,8,9,10,11,12.
的组合为或，即取的两个球编号为：2和3，或3和3.
,
的组合为，取不到符合条件的两个球，不成立；
的组合为或，或，取不到符合条件的两个球，不成立；
的组合为或，或，或即取的两个球编号为：2和4，或3和4，或4和4，三种组合，所以；
的组合为或，或或，取不到符合条件的两个球，不成立；
的组合为或，或即取的两个球编号为：2和5，或3和5，或5和4，三种组合，所以.
的组合为或，取不到符合条件的两个球，不成立；
的组合为，取不到符合条件的两个球，不成立；
故分布列如图所示：

6
8
10
p



.
故答案为：；.
五、解答题
17．（2021·全国高三专题练习（理））为了推进分级诊疗，实现“基层首诊，双向转诊，急慢分治､上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务.已知该地区居民约为2000万.从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图甲所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁以上的居民，各年龄段被访者签约率如图乙所示.

（1）估计该地区年龄在71~80岁且已签约家庭医生的居民人数；
（2）若以图中年龄在71~80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取三人，以已签约家庭医生的居民为变量X，求这三人中恰有二人已签约家庭医生的概率；并求变量X的数学期望和方差.
【答案】（1）万；（2）这三人中恰有二人已签约庭医生的概率为，数学期望，方差.
【详解】
（1）由题知该地区居民约为2000万，由图1知，该地区年龄在71~80岁的居民人数为万.由图2知.年龄在71~80岁的居民签概率为0.7.所以该地区年龄在71~80岁且已签约家庭医生的居民人数为万.
（2）由题知此地区年龄段在71~80的每个居民签约家庭医生的概率为，且每个居民之间是否签约是独立的，所以设“从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取三人”为事件B，随机变量为X，这三人中恰有二人已签约庭医生的概率为.
数学期，方差.
18．（2021·安徽高二期末（理））我国北方广大农村地区、一些城镇以及部分大中城市的周边区域，还在大量采用分散燃煤和散烧煤取暖，既影响了居民基本生活的改善,也加重了北方地区冬季的雾霾天气.推进北方地区冬季清洁取暖，是重大民生工程、民心工程，关系北方地区广大群众温暖过冬，关系雾霾天能不能减少，是能源生产和消费革命、农村生活方式革命的重要内容.2017年9月国家发改委制定了煤改气、煤改电价格扶植新政策，从而使得煤改气、煤改电用户大幅度增加，下面条形图反映了某省2018年1～7月份煤改气、煤改电的用户数量.

（1）在给定坐标系中作出煤改气、煤改电用户数量y随月份t变化的散点图，并用散点图和相关系数说明y与t之间具有线性相关性；
（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测11月份该省煤改气、煤改电的用户数量.
参考数据：.
参考公式：相关系数.
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.
【答案】（1）散点图见解析，y与t的线性相关性相当高，理由见解析；（2），2.02万户.
【详解】
（1）作出散点图如图所示：

由条形图数据和参考数据得
，
，
.
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关性相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.
（2）由及（1）得，
，所以，y关于t的回归方程为：.
将代入回归方程得：，
所以预测11月份该省煤改气、煤改电的用户数量达到2.02万户.
19．（2021·山东高三专题练习）为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基础．在产业扶贫政策的大力支持下，某玩具厂对原有的生产线进行技术升级，为了更好地对比升级前和升级后的效果，其中甲生产线继续使用旧的生产模式，乙生产线采用新的生产模式．质检部门随机抽检了甲、乙两条生产线的各100件玩具，在抽取的200件玩具中，根据检测结果将它们分为“A”、“B”、“C”三个等级，等级都是合格品，C等级是次品，统计结果如表所示：
等级
A
B
C
频数
100
75
25
（表二）

合格品
次品
合计
甲
80


乙

5

合计



在相关政策扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，但从安全起见，所有的次品必须由厂家自行销毁．
（1）请根据所提供的数据，完成上面的列联表（表二），并判断是否有的把握认为产品的合格率与技术升级有关？
（2）每件玩具的生产成本为20元，等级产品的出厂单价分别为m元、40元．若甲生产线抽检的玩具中有35件为A等级，用样本的频率估计概率，若进行技术升级后，平均生产一件玩具比技术升级前多盈利12元，则A等级产品的出产单价为多少元？
附：，其中．

0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

【答案】（1）列联表见解析；有的把握认为产品的合格率与技术升级有关；（2）60元.
【详解】
解：（1）根据所提供的数据，可得列联表：

合格品
次品
合计
甲
80
20
100
乙
95
5
100
合计
175
25
200
设产品的合格率与技术升级无关．
由，
可得．
，故有的把握认为产品的合格率与技术升级有关．
（2）法一：甲生产线抽检的产品中有35件等级，45件等级，20件等级，
对于甲生产线，单件产品利润的取值可能为，
的分布列如下：


20





则，
乙生产线抽检的产品中有65件等级，30件等级，5件等级；
对于乙生产线，单位产品利润的取值可能为，
的分布列如下：


20





则，
依题意．，
，所以，等级产品的出产单价为60元．
法二：甲生产线抽检的产品中有35件等级，45件等级，20件等级，
乙生产线抽检的产品中有65件等级，30件等级，5件等级；
因为用样本的频率估计概率
所以对于甲生产线，单件产品的利润
对于乙生产线，单件产品的利润
依题意．，
，所以，等级产品的出产单价为60元．
20．（2020·江苏高二期中）已知函数，其中．
（1）若，求的值；
（2）若，求的最大值；
（3）若，求证：．
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.
【详解】
（1），时，
，
令，得，
令，得，
两式相加可得．
（2），，
不妨设为中的最大值，则
，，解得：，或6，
中最大值为．
（3）若，，
，
因为
所以．

．
21．（2021·甘肃高三（理））2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（ 也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划上要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立.若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，其中.
（1）若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求的范围.
【答案】（1），；（2）.
【详解】
（1）设该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目为事件，则，
该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目为事件，则；
（2）设该考生报考甲大学通过的科目数为，根据题意可知，，则，
报将乙大学通过的科目数为，随机变量满足概率为：
，
，
，
，
随机变量的分布列：










，
因为该考生更希望通过乙大学的笔试，，则，
所以的范围为：.
22．（2021·全国高三专题练习（理））甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．假设各局比赛结果相互独立．
（1）分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率．
（2）若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X的分布列．
【答案】（1） ；（2）答案见解析．
【详解】
（1）设“甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利”分别为事件A，B，C，
则P(A)＝，
P(B)＝，
P(C)＝.
（2）X的可能的取值为0，1，2，3．
则P(X＝0)＝P(A)＋P(B)＝，
P(X＝1)＝P(C)＝，
P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P