高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.3 等比数列5.3.2 等比数列的前 n项和课时练习

专题七  倒序相加法求数列的前n项和

基本知识点

倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．即两式相加求出Sn

例题分析

一、倒序相加法在数列中的应用

例1  在中插入个数，使它们和组成等差数列，则（　　）

A．      B．      C． D．

解析  令，倒过来写，两式相加得，故，所以，故选B.

答案  B

(对应训练)已知函数对任意的都有，数列满足….求数列的通项公式；

解析  因为，.

故….

….

①+②，得，

答案 

二、倒序相加法在函数中的应用

例2  设f(x)＝，求f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(5)＋f(6)的值．

解析　∵f(x)＝，

∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝＋

＝＋＝＝.

设S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(5)＋f(6)，

则S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(1)＋f(0)＋…＋f(－4)＋f(－5)．

∴2S＝[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(6)＋f(－5)]．

∴原式＝{[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(0)＋f(1)]＋…＋[f(6)＋f(－5)]}

＝×12×＝3.

答案  3

(对应训练)函数f(x)＝(x∈R)，若x1＋x2＝1，则f(x1)＋f(x2)＝______，若n∈N*，则f()＋f()＋…＋f()＋f()＝__________.

解析　f(x1)＋f(x2)＝＋＝＝＝.

又n∈N*时，①当n＝2k＋1(k∈N*)时，

f()＋f()＋…＋f()＋f()＝＋f(1)＝＋＝＋＝－；

②当n＝2k(k∈N*)时，f()＋f()＋…＋f()＋f()＝＋f＋f(1)＝－；

③当n＝1时，f()＝f(1)＝，也符合－.

综合①，②，③得f()＋f()＋…＋f()＋f()＝－.

答案          －

专题训练

1．设，为数列的前n项和，求的值是(    )

A． B．0 C．59 D．

解析  令               ①

则                   ②

①+②可得：

，，故选A。

答案  A

2．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则（    ）

A．2018 B．4036 C．2019 D．4038

解析  ∵正数数列是公比不等于1的等比数列，且

∴，即.∵函数

∴

令，则

∴

∴，故选C.

答案  C

3．已知函数，，正项等比数列满足，则等于______．

解析  因为，所以．

因为数列是等比数列，所以，即．

设①，

又＋…＋②，

①+②，得，所以．

答案 

4．已知函数，满足

（，均为正实数），则的最小值为_____________

解析  ，

，

，

两式相加得：，，

，

故答案为：.

答案 

5．设函数，计算.

解析  由已知

，

，

设

，，即

答案  2011

6．已知函数，，为数列的前n项和，求的值.

解析  因为.

所以设=…………（1）

=. ………（2）

(1)+(2)得:

, 所以=.

答案