专题08选择性必修三综合测试（一）-2020-2021学年高二数学下学期期中专项复习（人教A版选择性必修第三册）

专题08选择性必修三综合测试（一）

一、单选题

1．为了加强新型冠状病毒疫情防控，某社区派遣甲､乙､丙､丁､戊五名志愿者参加，，三个小区的防疫工作，每人只去1个小区，每个小区至少去1人，且甲､乙两人约定去同一个小区，则不同的派遗方案共有（    ）

A．24种 B．36种 C．48种 D．64种

【答案】B

【详解】

若按照3：1：1进行分配，则有种不同的方案，

若按照2：2：1进行分配，则有种不同的方案，故共有36种派遣方案.

故选：B

2．已知二项式的展开式中含的项的系数为，则实数（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

解：二项式的通项公式，

当含的项时：，此时，则系数为，解得：.

故选：D.

3．如图，在中，D，E是AB边上两点，，且，，，的面积成等差数列.若在内随机取一点，则该点取自的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

因为，所以，，

因为，，，的面积成等差数列.

设面积依次为，则，则，

所以，，，的面积依次为，

所求概率为．

故选：A．

4．琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”.为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为.从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有种情况，再从排好的五种乐器形成的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有种情况，故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为.

所以所求的概率，

故选：B.

5．中国古代几何中的勾股容圆，是阐述直角三角形中内切圆问题.此类问题最早见于《九章算术》“勾股”章，该章第题为：“今有勾八步，股十五步，间勾中容圆，径几何？”意思是“直角三角形的两条直角边分别为和，则其内切圆直径是多少？”若向上述直角三角形内随机抛掷颗米粒（大小忽略不计，取），落在三角形内切圆内的米粒数大约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

直角三角形的斜边长为，设三角形内切圆的半径为，面积为，

利用等面积法可知，解得：，

向该直角三角形内随机抛掷颗米粒，设落在三角形内切圆内的米粒数大约为x,

则利用几何概型可知：，解得：颗.

所以落在三角形内切圆内的米粒数大约为45.

故选：C

6．为准备年北京-张家口冬奥会，某冰上项目组织计划招收一批岁的青少年参加集训，以选拔运动员，共有名运动员报名参加测试，其测试成绩(满分分)服从正态分布，成绩为分及以上者可以进入集训队.已知分及以上的人数为人，请你通过以上信息，推断进入集训队的人数为（    ）

附：，，.

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

正态分布，分及以上的人数为人，则，

由正态分布曲线的对称性可得：

，

故，∴，

则分及以上的人数为人.

故选C.

7．《易系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这个数中任取个数，则这个数中至少有个阳数的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由题意可知，个数中，、、、、是阳数，、、、、是阴数，

若任取个数中有个阳数，则，

若任取个数中有个阳数，则，

故这个数中至少有个阳数的概率，

故选：C.

8．2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID-19）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大，武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，则（）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

解：设事件A：检测5个人确定为“感染高危户”，

事件B：检测6个人确定为“感染高危户”.

∴，.

即.

设，则

，

∴

，

当且仅当即时取等号，

即.

故选：A.

二、多选题

9．的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．展开式中常数项为3

C．展开式中的系数为30 D．展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64

【答案】ABD

【详解】

设，

令，则，……①

令，则，……②

由①②得，所以，解得，

即，

令，可得，即展开式中常数项为3，

由①②得，所以，

即展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64，

又由展开式中的系数为.

故选：ABD.

10．如图，在某城市中，、两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的个交汇处.今在道路网、处的甲、乙两人分别要到、处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达、处为止.则下列说法正确的是（    ）

A．甲从到达处的方法有种

B．甲从必须经过到达处的方法有种

C．甲、乙两人在处相遇的概率为

D．甲、乙两人相遇的概率为

【答案】BCD

【详解】

A选项，甲从到达处，需要走步，其中有步向上走，步向右走，

则甲从到达处的方法有种，A选项错误；

B选项，甲经过到达处，可分为两步：

第一步，甲从经过需要走步，其中步向右走，步向上走，方法数为种；

第二步，甲从到需要走步，其中步向上走，步向右走，方法数为种.

甲经过到达的方法数为种，B选项正确；

C选项，甲经过的方法数为种，乙经过的方法数也为种，

甲、乙两人在处相遇的方法数为，

甲、乙两人在处相遇的概率为，C选项正确；

D选项，甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇，

若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向上走，乙经过处，则乙的前三步必须向左走，两人在处相遇的走法种数为种；

若甲、乙两人在处相遇，由C选项可知，走法种数为种；

若甲、乙两人在处相遇，甲到处，前三步有步向右走，后三步只有步向右走，

乙到处，前三步有步向下走，后三步只有步向下走，

所以，两人在处相遇的走法种数为种；

若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向右走，乙经过处，则乙的前三步必须向下走，两人在处相遇的走法种数为种；

故甲、乙两人相遇的概率，D选项正确.

故选：BCD.

11．甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为（    ）

A． B．

C．事件与事件不相互独立 D．，，是两两互斥的事件

【答案】BCD

【详解】

解：甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．

先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以、和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；

再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，

对A，，故A错误；

对B，，故B正确；

对C，当发生时，，当不发生时，，事件与事件不相互独立，故C正确；

对D，，，不可能同时发生，故是两两互斥的事件，故D正确；

故选：BCD．

12．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日，A、B、C、D四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是（    ）

A．A地：中位数为2，极差为5

B．B地：总体平均数为2，众数为2

C．C地：总体平均数为1，总体方差大于0

D．D地：总体平均数为2，总体方差为3

【答案】AD

【详解】

对A,因为甲地中位数为2,极差为5,故最大值不会大于.故A正确.

对B,若乙地过去10日分别为则满足总体平均数为2,众数为2,但不满足每天新增疑似病例不超过7人,故B错误.

对C,若丙地过去10日分别为,则满足总体平均数为1,总体方差大于0, 但不满足每天新增疑似病例不超过7人,故C错误.

对D,利用反证法,若至少有一天疑似病例超过7人,则方差大于.与题设矛盾,故连续10天,每天新增疑似病例不超过7人.故D正确.

故选：AD

三、填空题

13．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：

为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，计算得到K2＝________(保留三位小数)，所以判定________(填“能”或“不能”)在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为主修统计专业与性别有关系．

【答案】4.844    能   

【解析】

根据提供的表格得.

∴所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为主修统计专业与性别有关系．

故答案为（1）；（2）能.

14．如图，根据已知的散点图得到关于的线性回归方程为，则___________.

【答案】1.6

【详解】

由图可知，，，

则样本点的中心为，代入线性回归方程为，

解得，

故答案为：1.6.

15．的展开式中的系数是______．

【答案】

【详解】

，所以，的展开通项为，

的展开式通项为，

所以，的展开式通项可以为，其中且、，

令，解得，

因此，的展开式中的系数是.

故答案为：.

16．新冠疫情期间，甲､乙､丙三个家庭在某医院等候区等待核酸检测结果.等候区是6（列）×2（行）的座位.甲､乙家庭各有三人，且乙家庭有一个小孩，丙家庭有两人.现有相关规定：同一家庭的人需坐在同一行上，不同家庭的人之间不能太接近（左右不相邻），小孩至少坐在其一位家长身边(左右相邻).则共有______种坐法.

【答案】9216

【详解】

由题甲、丙在一行, 乙在另一行和乙、丙在一行, 甲在另一行两类：

（1）甲、丙在一行, 乙在另一行, 分4步处理如下：

①先甲、丙选行，有种；

②再甲、丙选左右两边，有种；

③两边分别排甲、丙，甲、丙间隔一个位置，有种；

④排乙，乙在甲、丙另一行，又分3人相邻和只2人相邻两类，

3人相邻有，只2人相邻有种

故共有种；

（2）乙、丙在一行, 甲在另一行, 分4步处理如下

①先乙、丙选行，有种；

②再乙、丙选左右两边，有种；

③两边分别排乙、丙，乙、丙间隔一个位置，有种；

④排甲，甲在乙、丙另一行，有种，

故共有种坐法

由（1）（2）共有 种.

故答案为：9216.

四、解答题

17．西安市某街道办为了绿植街道两边的绿化带，购进了1000株树苗，这批树苗最矮2米，最高2.5米，桉树苗高度绘制成如图频率分布直方图(如图)．

（1）试估计这批树苗高度的中位数；

（2）现按分层抽样方法，从高度在[2.30，2.50]的树苗中任取6株树苗，从这6株树苗中任选3株，求3株树苗中至少有一株树苗高度在[2.40，2.50]的概率．

【答案】（1）2.12；（2）．

【详解】

（1）由频率分布直方图得：

[2.0，2.2)的频率为：(1+3.5)×0.1=0.45，

[2.2，2.3)的频率为：2.5×0.1=0.25，

估计这批树苗高度的中位数为：

2.1+=2.12．

（2）按分层抽样方法，从高度在[2.30，2.50]的树苗中任取6株树苗，

则[2.30，2.40)中抽取：6×=4株，

[2.40，2.50)中抽取：6×=2株，

从这6株树苗中任选3株，

基本事件总数n=，

3株树苗中至少有一株树苗高度在[2.40，2.50]包含的基本事件个数：

m==16，

∴3株树苗中至少有一株树苗高度在[2.40，2.50]的概率．

18．某机构为了解某大学中男生的体重单位：)与身高x(单位：)是否存在较好的线性关系，该机构搜集了7位该校男生的数据，得到如下表格：

根据表中数据计算得到关于的线性同归方程为

（1）求

（2）已知且当时，回归方程的拟合效果非常好；当时，回归方程的拟合效果良好.试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由.参考数据：

【答案】（1）；（2）该线性回归方程的拟合效果是良好，理由见解析.

【详解】

解析：（1）∵

将（172,62）代入回归方程得：

∴

（2）

y关于x的线性同归方程为

∴

∴

故该线性回归方程的拟合效果是良好.

19．某公司为研究某种图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值.

表中，

（1）根据散点图判断：与哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y与印刷数量x的回归方程？(只要求给出判断，不必说明理由)

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(结果精确到0.01)；

（3）若该图书每册的定价为9.22元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于80000元？(假设能够全部售出，结果精确到1)

附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.

【答案】（1）更适合；（2）；（3）至少印刷11120册才能使销售利润不低于80000元.

【详解】

（1）由散点图判断，更适合作为该图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量(单位：千册)的回归方程.

（2）令，先建立y关于u的线性回归方程，

由于，

所以，

所以y关于u的线性回归方程为，

所以y关于x的回归方程为

（3）假设印刷千册，依题意得，

解得，

所以至少印刷11120册才能使销售利润不低于80000元.

20．某社区计划开展一项“猜灯谜，获积分，换礼品”的活动，该活动的规则是①每人至多参加三次；②参与者前两次每猜对一次，则获得积分，猜错没有积分；③如果前两次没有都猜对，则参与者不能参加第三次，如果前两次都猜对，则参与者可以自愿选择是否猜第三个灯谜，第三个灯谜猜对获得积分，猜错扣积分．（每人每次猜一个灯谜）

（1）为了了解喜欢猜灯谜活动是否与性别有关，社区工作人员从该社区的居民中随机抽取人，得到的数据如下表．请完善表格，并判断是否有的把握认为喜欢猜灯谜活动与性别有关．

（2）小明准备参加猜灯谜活动，若小明猜对前两个灯谜的概率均为，猜对第三个灯谜的概率为，小明在前两次猜灯谜中共获得积分的概率为，其中，．

①求的值；

②小明准备从以下两种方案中选择一种，其中方案一是无论前两次猜灯谜结果如何，均不参与猜第三个灯谜；方案二是前两次若没有全部猜对，则不参与猜第三个灯谜，前两次若全部猜对，则选择猜第三个灯谜．若选择方案二所获得的积分的期望值大于选择方案一所获得的积分的期望值的倍，则应该满足什么条件？

参考公式：，，

临界值表：

【答案】（1）列联表见解析；没有的把握认为喜欢猜灯谜活动与性别有关；（2）①；②．

【详解】

（1）由已知数据可补全列联表如下：

，

，没有的把握认为喜欢猜灯谜活动与性别有关；

（2）①由题意得：，解得：或，

又，；

②记选择方案一所获得的积分为，选择方案二所获得的积分为，

则可取、、，

，，；

的分布列为：

；

可取、、，

，，，

的分布列为：

，

，解得：或，

，应该满足的条件是．

21．下围棋既锻炼思维又愉悦身心，有益培养人的耐心和细心，舒缓大脑并让其得到充分休息.现某学校象棋社团为丰富学生的课余生活，举行象棋大赛，要求每班选派一名象棋爱好者参赛.现某班有位象棋爱好者，经商议决定采取单循环方式进行比赛，(规则采用“中国数目法”，没有和棋.)即每人进行轮比赛，最后靠积分选出第一名去参加校级比赛.积分规则如下(每轮比赛采取局胜制，比赛结束时，取胜者可能会出现.三种赛式).

轮过后，积分榜上的前两名分别为甲和乙，甲累计积分分，乙累计积分分.第轮甲和丙比赛，设每局比赛甲取胜的概率均为，丙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.

（1）①在第轮比赛中，甲所得积分为，求的分布列;

②求第轮结束后，甲的累计积分的期望;

（2）已知第轮乙得分，判断甲能否提前一轮获得累计积分第一，结束比赛.(“提前一轮”即比赛进行轮就结束，最后一轮即第轮无论乙得分结果如何，甲累计积分最多)?若能，求出相应的概率;若不能，请说明理由.

【答案】（1）①分布列见解析，②；（2）.

【详解】

（1）①由题意，随机变量的可能取值为，

则，

，

，

，

所以的分布列为

②随机变量的可能取值为，

则

若，则甲轮后的总积分为分，乙即便第轮和第轮都得分，

则轮过后的总积分是分，，

所以甲如果第轮积分，则可提前一轮结束比赛，其概率为.

22．某医药公司研发生产一种新的保健产品，从一批产品中随机抽取盒作为样本，测量产品的一项质量指标值，该指标值越高越好．由测量结果得到如下频率分布直方图：

（1）求a，并试估计这盒产品的该项指标值的平均值．

（2）①由样本估计总体，结合频率分布直方图认为该产品的该项质量指标值服从正态分布，计算该批产品该项指标值落在上的概率；

②国家有关部门规定每盒产品该项指标值不低于均为合格，且按该项指标值从低到高依次分为：合格、优良、优秀三个等级，其中为优良，不高于为合格，高于为优秀，在①的条件下，设该公司生产该产品万盒的成本为万元，市场上各等级每盒该产品的售价(单位：元)如表，求该公司每万盒的平均利润.

附：若，则，.

【答案】（1），；（2）①；② (万元)．

【详解】

（1）由，解得，

则平均值，

即这200盒产品的该项指标值的平均值约为200.

（2）①由题意可得，，则，则该批产品指标值落在上的概率为.

②设每盒该产品的售价为X元，由①可得X的分布列为

则每盒该产品的平均售价为，故每万盒的平均利润为 (万元)．