高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.3 利用导数解决实际问题达标测试

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.3 利用导数解决实际问题达标测试，文件包含专题六利用导数求恒成立问题-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练2019人教B版选择性必修第三册原卷版doc、专题六利用导数求恒成立问题-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练2019人教B版选择性必修第三册解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共12页， 欢迎下载使用。
专题六 利用导数求恒成立问题
基本公式
不等式恒成立问题的转化技巧
(1)a≥f(x)(或≤f(x))恒成立⇔a≥f(x)max(或≤f(x)min);
(2)a≥f(x)(或≤f(x))恒有解⇔a≥f(x)min(或≤f(x))max)；
(3)f(x)≥g(x)恒成立⇔F(x)min≥0(其中F(x)＝f(x)－g(x));
(4)f(x)≥g(x)恒有解⇔F(x)max≥0(其中F(x)＝f(x)－g(x))．
例题分析
一、a≥f(x)(或≤f(x))恒成立问题
例1 已知函数f(x)＝xln x.
(1)若函数g(x)＝f(x)＋ax在区间[e2，＋∞)上为增函数，求a的取值范围；
(2)若对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥恒成立，求实数m的最大值．
解析 (1)由题意得g′(x)＝f′(x)＋a＝ln x＋a＋1.
∵函数g(x)在区间[e2，＋∞)上为增函数，
∴当x∈[e2，＋∞)时，g′(x)≥0，
即ln x＋a＋1≥0在[e2，＋∞)上恒成立．
∴a≥－1－ln x.
又当x∈[e2，＋∞)时，ln x∈[2，＋∞)．
∴－1－ln x∈(－∞，－3]，
∴a≥－3，即a的取值范围为[－3，＋∞)．
(2)由题知，2f(x)≥－x2＋mx－3，
即mx≤2x·ln x＋x2＋3.
又x>0，∴m≤.
令h(x)＝，
h′(x)＝
＝＝，
令h′(x)＝0.解得x＝1，或x＝－3(舍)．
当x∈(0,1)时，h′(x)0，函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增．
∴h(x)min＝h(1)＝4，即m的最大值为4.
归纳总结：恒成立问题向最值转化的方法
(1)要使不等式f(x)f(x)max，则上面的不等式恒成立．
(2)要使不等式f(x)>h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数f(x)的最小值f(x)min，只要f(x)min>h，则不等式f(x)>h恒成立．
(对应训练一)设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若对于任意的x∈[0，3]，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围．
解析　(1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b，
因为函数f(x)在x＝1及x＝2时取得极值，
所以f′(1)＝0，f′(2)＝0，即解得
(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，
f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．
当x∈(0，1)时，f′(x)＞0；
当x∈(1，2)时，f′(x)＜0；
当x∈(2，3)时，f′(x)＞0.
所以，当x＝1时，
f(x)取极大值f(1)＝5＋8c，
又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c.
所以当x∈[0，3]时，
f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.
因为对于任意的x∈[0，3]，
有f(x)＜c2恒成立，
所以9＋8c＜c2，
解得c＜－1或c＞9.
因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．
(对应训练二)设函数f(x)＝xex－x＋2.
(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；
(2)当x≥0时，f(x)≥x2－x＋2恒成立，求a的取值范围．
解析 (1)∵a＝1，∴f(x)＝xex－x＋2＝xex－x2－x＋2，
∴f′(x)＝(ex－1)(x＋1)，∴当－10，解得x>0或x