数学选择性必修 第三册5.2.1 等差数列练习题

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专题三　等差数列
基本知识点
1．等差数列的递推公式：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)
2．等差中项：如果a，A，b成等差数列．那么A叫做a与b的等差中项．满足的关系式是a＋b＝2A．
3．等差中项的理解：
(1)等差中项的概念变形给出了判断一个数列是否为等差数列的方式，如若an，an＋1，an＋2满足2an＋1＝an＋an＋2，则数列{an}为等差数列，这是因为2an＋1＝an＋an＋2等价于an＋1－an＝an＋2－an＋1，显然满足等差数列的定义．
(2)在等差数列中，除首末两项外，任何一项都是前后两项的等差中项．
4．等差数列中项与序号的关系
(1)两项关系：在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为am＝an＋(m－n)d(m，n∈N*).
(2)多项关系：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)则an＋am＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap.
5．等差数列的判定方法：
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)⇒{an}是等差数列．
(2)通项公式法：an＝kn＋b(k，b为常数)⇒{an}是等差数列．
(3)中项法：2an＋1＝an＋an＋2⇒{an}是等差数列．
(4)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
6．等差数列的单调性：等差数列{an}的公差为d，
(1)当d>0时，数列{an}为递增数列．
(2)当d2可转化为ax2－3x＋2>0，所给条件表明：ax2－3x＋2>0的解集为{x|xb}，
根据不等式解集的性质可知：
方程ax2－3x＋2＝0的两根为x1＝1，x2＝b.
利用根与系数的关系不难得出a＝1，b＝2.
由此知an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
归纳总结：解决数列综合问题的方法策略
(1)结合等差数列的性质或利用等差中项．
(2)利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式．
(3)利用函数或不等式的有关方法解决．
(对应训练一) 在等差数列{an}中，已知a4＝8，a6＝12，则数列{3an＋4}的第2 019项为___________.
解析　设{an}的公差为d，则d＝＝＝2，a4＝a1＋3d，所以a1＝2，由等差数列的性质知{3an＋4}是以3a1＋4为首项，3d为公差的等差数列，所以3an＋4＝(3×2＋4)＋6(n－1)＝6n＋4.所以第2 019项为6×2 019＋4＝12 118.
(对应训练二)首项为a1，公差为d的整数等差数列{an}满足下列两个条件：①a3＋a5＋a7＝93；②满足an>100的n的最小值是15.试求公差d和首项a1的值．
解析 a3＋a5＋a7＝93，则a5＝31，所以an＝a5＋(n－5)d>100，
n>＋5，因为n的最小值是15，故14≤＋50，∴d＝3.
则a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝105.故选B.
答案 B
2．等差数列的首项为，且从第10项开始为比1大的项，则公差d的取值范围是(　　)
A．d> B．d< C.