数学人教B版 (2019)4.5 增长速度的比较教学设计

这是一份数学人教B版 (2019)4.5 增长速度的比较教学设计，共3页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程，教师总结等内容，欢迎下载使用。

【教学目标】
1．了解平均变化率描述增长速度的概念.
2．了解在实际生活中不同增长规律的函数模型.
【教学重难点】
1．平均变化率.
2．模型增长差异.
【教学过程】
一、问题导入
一家世界500强公司曾经出过类似这样的一道面试题：
有一套房子，价格为200万元，假设房价每年上涨10%，某人每年固定能攒下40万元，如果他想买这套房子，在不贷款、收入不增加的前提下，这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子？
（A）5年（B）7年（C）8年（D）9年（E）永远也买不起
你能给出这道题的答案吗？
二、新知探究
1．平均变化率的比较
【例】（1）在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2．③y＝x3．④y＝eq \f(1,x)中，平均变化率最大的是( )
A．④ B．③ C．② D．①
（2）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速率分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为________．
【解析】（1）Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2．3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3．99；④y＝eq \f(1,x)在x＝1附近的平均变化率k4＝－eq \f(1,1＋Δx)＝－eq \f(10,13).所以k3＞k2＞k1＞k4，故应选B．
（2）v1＝eq \f(s（t1）－s（t0）,t1－t0)＝kOA，
v2＝eq \f(s（t2）－s（t1）,t2－t1)＝kAB，
v3＝eq \f(s（t3）－s（t2）,t3－t2)＝kBC，
又因为kBC＞kAB＞kOA，
所以v3＞v2＞v1．
【教师总结】函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1x2时)上的平均变化率为
eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(f（x2）－f（x1）,x2－x1).也就是说，平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比，这也可以理解为：自变量每增加1个单位，函数值平均将增加eq \f(Δf,Δx)个单位．因此，可用平均变化率来比较函数值变化的快慢．
2．函数模型增长差异的比较
【例】甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝lg2(x＋1)，有以下结论：
①当x＞1时，甲走在最前面；
②当x＞1时，乙走在最前面；
③当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面；
④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；
⑤如果它们一直运动下去，那么最终走在最前面的是甲．
其中，正确结论的序号为________．
【答案】③④⑤
【教师总结】几类不同增长的函数模型
（1）一次函数模型
一次函数模型y＝kx(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
（2）指数函数模型
指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“爆炸式增长”．
（3）对数函数模型
对数函数模型y＝lgax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．
（4）幂函数模型
当x>0，n>1时，幂函数y＝xn是增函数，且当x>1时，n越大其函数值的增长速度就越快．
3．不同增长函数模型的图像特征
【例】函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．
（1）指出图中C1，C2分别对应哪一个函数；
（2）比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
【解】（1）由函数图像特征及变化趋势，知曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，曲线C2对应的函数为f(x)＝lg x.
（2）当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．
g(x)呈直线增长，函数值变化是均匀的，f(x)随着x的增大而逐渐增大，其函数值变化得越来越慢．
三、课堂检测
1．函数y＝2x在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为( )
A．x0＋Δx B．1＋Δx
C．2＋Δx D．2
解析：选D．由题意，可得平均变化率eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq \f(2（x0＋Δx）－2x0,Δx)＝2，故选D．
2．下列函数中，在(0，＋∞)上增长速度最快的是( )
A．y＝x2 B．y＝lg2x
C．y＝2x D．y＝2x
答案：D
3．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10．2)，则应选用________作为函数模型．
答案：甲