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    【新教材精创】7.3.2 正弦型函数的性质与图象(1)教学设计(1)-人教B版高中数学必修第三册
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    2020-2021学年7.3.2 正弦型函数的性质与图像教案设计

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    这是一份2020-2021学年7.3.2 正弦型函数的性质与图像教案设计,共12页。教案主要包含了教学重点,教学难点,变式训练,对点快练,变式练习1,变式练习2,变式练习3等内容,欢迎下载使用。

    本节课是人教B版必修3《三角函数》一章第二大节的第二课时,前一节“正弦函数的性质和图象”主要讲述了正弦函数图象的画法(五点法)、性质及应用。本节课的主要内容是结合实例,了解的实际意义,会用五点法画出函数的图象,观察参数 对函数图象变化的影响,掌握变换法作图。从多角度理解正弦型函数的定义域,值域,周期;能从数和形两个角度理解正弦函数与正弦型函数的本质联系;会用换元法对正弦型函数的性质划归为正弦函数模型求解,体会转化划归的思想。在内容和思想逻辑上这两节是相辅相成、紧密联系的,前一节是后一节的基础,后一节是前一节的延续和深化,这两节内容又是整个三角函数内容的重中之重。通过重点学习正弦函数和正弦型函数,可以是学生进一步熟悉和掌握研究函数的过程和方法。
    【教学重点】
    正弦型函数的定义域、值域、周期性,五点法作图,图象变换
    【教学难点】
    正弦型函数图象变换,换元法对正弦型函数的性质划归为正弦函数模型求解相关问题
    问题1:正弦型函数的定义
    知识点1:正弦型函数的定义
    一般地,形如的函数,在物理,工程等学科的研究中经常遇到,这种类型的函数称为正弦型函数,其中都是常数,且。
    问题2:正弦型函数的图象与性质
    例1.探究函数的定义域、值域和周期性,并作出它在一个周期内的图象。
    解:可以看出,函数的定义域为R。
    又因为时,;时,,所以的值域为.
    函数的周期函数,周期是。
    下面我们用五点法作出在上的图象,取点列表如下。
    描点作图:
    由图象可以看出,的图象可由的图象上的点,横坐标保持不变,纵坐标变为原来的两倍得到。
    知识点2 y=Asin x(A≠0)型函数的性质
    1.函数y=Asin x(A≠0)的定义域为R,值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-|A|,|A|)),周期是2π.
    2.y=Asin x的图像可由y=sin x的图像上的点,横坐标保持不变,纵坐标变为原来的A倍得到.
    【变式训练】
    1.函数y=Asin(ωx+φ)+1(A>0,ω>0)的最大值为5,则A=( )
    A.5 B.-5
    C.4 D.-4
    答案:C 因为A>0,所以当sin(ωx+φ)=1时,ymax=A+1=5,所以A=4.
    2.将y=sin 2x的图像上的所有点的纵坐标都变为原来的eq \f(1,2)倍,得到____________的图像.
    答案:y=eq \f(1,2)sin 2x y=sin 2x的图像上的所有点的纵坐标都变为原来的eq \f(1,2)倍得到y=eq \f(1,2)sin 2x.
    例2.探究函数的定义域、值域和周期性,并作出它在一个周期内的图象。
    解:令,则可以化成,
    由的周期为可知,的周期也为,
    当时,即时,我们有
    ,即,
    所以下面我们用五点法作出在上的图象,取点列表如下,
    描点作图:
    由图可以看出,的图象可由的图象向左平移个单位得到。
    知识点3 y=sin(x+φ)型函数的性质
    1.函数y=sin(x+φ)的定义域为R,值域为[-1,1],周期是2π.
    2.y=sin(x+φ)的图像可由y=sin x的图像向左(或右)平移得到.
    【对点快练】
    1.要得到函数y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,6)))的图像,可以将函数y=sin x的图像( )
    A.向左平移eq \f(π,6)个单位长度 B.向右平移eq \f(π,6)个单位长度
    C.向左平移eq \f(1,6)个单位长度 D.向右平移eq \f(1,6)个单位长度
    答案:B 将函数y=sin x的图像向右平移eq \f(π,6)个单位长度得y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,6)))的图像.
    2.若将某正弦函数的图像向右平移eq \f(π,2)个单位后,所得到的图像的函数表达式是y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,4))),则原来的函数表达式为( )
    A.y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(3π,4))) B.y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,4)))
    C.y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,2))) D.y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,4)))-eq \f(π,4)
    答案:A y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,4)))向左平移eq \f(π,2)个单位后,得到原函数y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(3π,4))).
    例3.探究函数的定义域、值域和周期性,并作出它在一个周期内的图象。
    解:令,则可以化成
    由的周期为可知,对任意,当它增加到且至少要增加到时,对应的函数值才重复出现,因为,
    这说明对任意x,当它增加到且至少要增加到时,的函数值才重复出现,这就说明的周期为。
    当时,即时,我们有:,即,
    所以下面我们用五点法作出在的图象,取点列表如下:
    描点作图,如图所示:
    由图可以看出,的图象可由的图象上的点,纵坐标不变,横坐标变为原来的得到。
    知识点4 y=sin ωx(ω≠0)型函数的性质
    1.函数y=sin ωx(ω≠0)的定义域为R,值域为[-1,1],周期是eq \f(2π,|ω|).
    2.y=sin ωx的图像可由y=sin x图像上的点,纵坐标不变,横坐标变为原来的eq \f(1,|ω|)得到.
    【对点快练】
    1.用五点法作y=2sin 2x的图像时,首先应描出的五点的横坐标可以是( )
    A.0,eq \f(π,2),π,eq \f(3π,2),2π B.0,eq \f(π,4),eq \f(π,2),eq \f(3π,4),π
    C.0,π,2π,3π,4π D.0,eq \f(π,4),eq \f(π,3),eq \f(π,2),eq \f(2π,3)
    答案:B 由2x=0,eq \f(π,2),π,eq \f(3π,2),2π,得x=0,eq \f(π,4),eq \f(π,2),eq \f(3π,4),π.
    2.将函数y=sin 3x的图像上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,3)倍(纵坐标不变)可得到函数____________的图像.
    答案:y=sin 9x 将函数y=sin 3x的图像上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,3)倍(纵坐标不变)可得,函数y=sin(3×3x)=sin 9x的图像.
    例4.探究函数的定义域、值域和周期性,并作出它在一个周期内的图象。
    解:令,则可以化成。
    由的定义域为R,值域为 ,可以看出的定义域为R,值域为。
    由的周期为可知,对任意,当它增加到且至少要增加到时,对应的函数值才会重复出现,因为

    这说明对任意x,当它增加到且至少要增加到时,的函数值才会重复出现,的周期为。
    当时,即时,我们有

    所以下面我们用五点法作出在上的图象,取点列表如下:
    描点作图,如图所示:
    如图所示,我们还作出了的部分图象,把它们与函数 的图象进行比较,就可以看出这些图象之间的关系;把函数图象上的所有点,纵坐标不变,横坐标变为原来的,就可以得到的图象;把 图象上的所有点,横坐标不变,纵坐标变为原来的3倍,就可得到的图象;把图象上所有的点,向左平移个单位,就可得到的图象。
    答案:把函数图象上的所有点,向左平移个单位,就可得到的图象;把的图象上的所有点,纵坐标不变,横坐标变为原来的,就可以得到的图象;把图象上的所有点,横坐标不变,纵坐标变为原来的3倍,就可得到的图象。
    正弦型函数中的常数都具有一定的实际意义。
    事实上,在前述情境与问题的小球运动过程中,如果从时刻开始,每隔一小段时间(比如0.01s)给弹簧和小球拍一章照片,并将这些照片按时间顺序排成一列(顶端对齐),就可得到如图所示的图形,可以认为,图中小球的中心在正弦型函数的图象上,而且:
    (1)表示小球能偏离平衡位置的最大距离,称为振幅;
    (2)在决定时小球的位置(即)中起到关键作用,称为初相;
    (3)周期表示小球完成一次运动所需要的时间。(小球的位置和速度首次都得到重复时完成了一次运动)。
    知识点5 y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)型函数的性质
    1.正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的定义域为R,值域为[-|A|,|A|],周期是eq \f(2π,|ω|).
    2.y=Asin(ωx+φ)的图像可通过对正弦曲线进行平移、伸缩得到.
    3.A,ω,φ的实际意义:(1)|A|表示小球能偏离平衡位置的最大距离,称为振幅;(2)φ在决定t=0时小球的位置中起关键作用,称为初相;(3)周期T=eq \f(2π,|ω|)表示小球完成一次运动所需要的时间,f=eq \f(1,T)=eq \f(|ω|,2π)表示1 s内能完成的运动次数,称为频率.
    【对点快练】
    1.函数y=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)+\f(π,5)))的周期、振幅依次是( )
    A.4π,-2 B.4π,2
    C.π,2 D.π,-2
    答案:B 在y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中,T=eq \f(2π,ω),A叫振幅(A>0),故y=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)+\f(π,5)))的周期T=eq \f(2π,\f(1,2))=4π,振幅为2.
    2.函数y=3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x-\f(π,6)))的频率为____________,相位为____________,初相为____________.
    答案:eq \f(1,4π) eq \f(1,2)x-eq \f(π,6) -eq \f(π,6) 函数y=3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x-\f(π,6)))的周期为T=eq \f(2π,\f(1,2))=4π,所以频率为f=eq \f(1,T)=eq \f(1,4π),相位是ωx+φ=eq \f(1,2)x-eq \f(π,6),初相是-eq \f(π,6).
    【变式练习1】
    已知函数f(x)=3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)+\f(π,6)))+3(x∈R),用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图像.
    解 列表:
    描点作图:
    【变式练习2】
    已知函数y=eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,6))),该函数的图像如何由y=sin x(x∈R)的图像经过变换得到?
    解 法一 (1)将函数y=sin x的图像向左平移eq \f(π,6)个单位长度,可以得到函数y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,6)))的图像;
    (2)把y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,6)))的图像上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2),而纵坐标不变,可以得到函数y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,6)))的图像;
    (3)将函数y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,6)))的图像上的各点的纵坐标缩短到原来的eq \f(1,2),而横坐标不变,可以得到函数y=eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,6)))的图像.
    法二 (1)将函数y=sin x的图像上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2),而纵坐标不变,得到函数y=sin 2x的图像;
    (2)将y=sin 2x的图像向左平移eq \f(π,12)个单位长度,可以得到函数y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,6)))的图像;
    (3)将y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,6)))的图像上的各点的纵坐标缩短到原来的eq \f(1,2),而横坐标不变,可以得到函数y=eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,6)))的图像.
    【变式练习3】
    (1)说出y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x+\f(π,6)))的图像怎样由y=sin eq \f(1,2)x的图像得到?
    (2)把函数f(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-3x+\f(π,6)))的周期扩大为原来的2倍,再将其图像向右平移eq \f(π,3)个单位长度,则所得图像的解析式为____________.
    (1)解 ∵y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x+\f(π,6)))=sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,3))))),
    ∴y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x+\f(π,6)))的图像可由y=sin eq \f(1,2)x的图像向左平移eq \f(π,3)个单位得到.
    (2)y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)-\f(3,2)x)) [y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-3x+\f(π,6)))eq \(――→,\s\up7(横坐标变为原来的2倍),\s\d5(纵坐标不变))y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,2)x+\f(π,6)))eq \(――→,\s\up7(向右平移),\s\d5(\f(π,3)个单位长度))
    y=sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(3,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,3)))+\f(π,6)))=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,2)x+\f(2π,3))).
    小结:
    1.“五点法”确定y=Asin(ωx+φ)的图像
    2.函数y=Asin(ωx+φ)的定义域、值域、周期性,以及A,ω,φ的实际意义
    3.由y=sin x的图像,通过变换可得到函数y=Asin(ωx+φ)的图像,变换途径主要有两种,两种途径的变换顺序不同,其中变换的量也有所不同:
    (1)先相位变换后周期变换,平移|φ|个单位.(2)先周期变换后相位变换,平移eq \f(|φ|,ω)个单位,这是很易出错的地方,应特别注意.
    考点
    教学目标
    核心素养
    y=Asin(ωx+φ)的图像与性质
    掌握“五点法”画y=Asin(ωx+φ)的图像与求函数图像对应的函数解析式、会求正弦型函数的定义域,值域、周期
    逻辑推理、数学运算、直观想象
    正弦曲线与y=Asin(ωx+φ)的图像的关系
    从数和形两个角度理解正弦函数与正弦型函数的本质联系;掌握正弦型函数图象变换;会用换元法对正弦型函数的性质划归为正弦函数模型求解相关问题
    逻辑推理、数学运算、直观想象
    X
    -eq \f(π,3)
    eq \f(2π,3)
    eq \f(5π,3)
    eq \f(8π,3)
    eq \f(11π,3)
    eq \f(x,2)+eq \f(π,6)
    0
    eq \f(π,2)
    π
    eq \f(3π,2)

    f(x)
    3
    6
    3
    0
    3
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