2020-2021学年7.3.2 正弦型函数的性质与图像教案设计

这是一份2020-2021学年7.3.2 正弦型函数的性质与图像教案设计，共12页。教案主要包含了教学重点，教学难点，变式训练，对点快练，变式练习1，变式练习2，变式练习3等内容，欢迎下载使用。

本节课是人教B版必修3《三角函数》一章第二大节的第二课时，前一节“正弦函数的性质和图象”主要讲述了正弦函数图象的画法（五点法）、性质及应用。本节课的主要内容是结合实例，了解的实际意义，会用五点法画出函数的图象，观察参数 对函数图象变化的影响，掌握变换法作图。从多角度理解正弦型函数的定义域，值域，周期；能从数和形两个角度理解正弦函数与正弦型函数的本质联系；会用换元法对正弦型函数的性质划归为正弦函数模型求解，体会转化划归的思想。在内容和思想逻辑上这两节是相辅相成、紧密联系的，前一节是后一节的基础，后一节是前一节的延续和深化，这两节内容又是整个三角函数内容的重中之重。通过重点学习正弦函数和正弦型函数，可以是学生进一步熟悉和掌握研究函数的过程和方法。
【教学重点】
正弦型函数的定义域、值域、周期性，五点法作图，图象变换
【教学难点】
正弦型函数图象变换，换元法对正弦型函数的性质划归为正弦函数模型求解相关问题
问题1：正弦型函数的定义
知识点1：正弦型函数的定义
一般地，形如的函数，在物理，工程等学科的研究中经常遇到，这种类型的函数称为正弦型函数，其中都是常数，且。
问题2：正弦型函数的图象与性质
例1.探究函数的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象。
解：可以看出，函数的定义域为R。
又因为时，；时，，所以的值域为.
函数的周期函数，周期是。
下面我们用五点法作出在上的图象，取点列表如下。
描点作图：
由图象可以看出，的图象可由的图象上的点，横坐标保持不变，纵坐标变为原来的两倍得到。
知识点2 y＝Asin x(A≠0)型函数的性质
1．函数y＝Asin x(A≠0)的定义域为R，值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－|A|，|A|))，周期是2π.
2．y＝Asin x的图像可由y＝sin x的图像上的点，横坐标保持不变，纵坐标变为原来的A倍得到．
【变式训练】
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A>0，ω>0)的最大值为5，则A＝( )
A．5 B．－5
C．4 D．－4
答案：C 因为A>0，所以当sin(ωx＋φ)＝1时，ymax＝A＋1＝5，所以A＝4.
2．将y＝sin 2x的图像上的所有点的纵坐标都变为原来的eq \f(1,2)倍，得到____________的图像．
答案：y＝eq \f(1,2)sin 2x y＝sin 2x的图像上的所有点的纵坐标都变为原来的eq \f(1,2)倍得到y＝eq \f(1,2)sin 2x.
例2.探究函数的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象。
解：令，则可以化成，
由的周期为可知，的周期也为，
当时，即时，我们有
，即，
所以下面我们用五点法作出在上的图象，取点列表如下，
描点作图：
由图可以看出，的图象可由的图象向左平移个单位得到。
知识点3 y＝sin(x＋φ)型函数的性质
1．函数y＝sin(x＋φ)的定义域为R，值域为[－1,1]，周期是2π.
2．y＝sin(x＋φ)的图像可由y＝sin x的图像向左(或右)平移得到．
【对点快练】
1．要得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的图像，可以将函数y＝sin x的图像( )
A．向左平移eq \f(π,6)个单位长度 B．向右平移eq \f(π,6)个单位长度
C．向左平移eq \f(1,6)个单位长度 D．向右平移eq \f(1,6)个单位长度
答案:B 将函数y＝sin x的图像向右平移eq \f(π,6)个单位长度得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的图像．
2．若将某正弦函数的图像向右平移eq \f(π,2)个单位后，所得到的图像的函数表达式是y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，则原来的函数表达式为( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3π,4))) B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2))) D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))－eq \f(π,4)
答案：A y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))向左平移eq \f(π,2)个单位后，得到原函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3π,4))).
例3.探究函数的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象。
解：令，则可以化成
由的周期为可知，对任意，当它增加到且至少要增加到时，对应的函数值才重复出现，因为，
这说明对任意x,当它增加到且至少要增加到时，的函数值才重复出现，这就说明的周期为。
当时，即时，我们有：，即，
所以下面我们用五点法作出在的图象，取点列表如下：
描点作图，如图所示：
由图可以看出，的图象可由的图象上的点，纵坐标不变，横坐标变为原来的得到。
知识点4 y＝sin ωx(ω≠0)型函数的性质
1．函数y＝sin ωx(ω≠0)的定义域为R，值域为[－1,1]，周期是eq \f(2π,|ω|).
2．y＝sin ωx的图像可由y＝sin x图像上的点，纵坐标不变，横坐标变为原来的eq \f(1,|ω|)得到．
【对点快练】
1．用五点法作y＝2sin 2x的图像时，首先应描出的五点的横坐标可以是( )
A．0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π B．0，eq \f(π,4)，eq \f(π,2)，eq \f(3π,4)，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，eq \f(π,4)，eq \f(π,3)，eq \f(π,2)，eq \f(2π,3)
答案：B 由2x＝0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π，得x＝0，eq \f(π,4)，eq \f(π,2)，eq \f(3π,4)，π.
2．将函数y＝sin 3x的图像上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,3)倍(纵坐标不变)可得到函数____________的图像．
答案：y＝sin 9x 将函数y＝sin 3x的图像上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,3)倍(纵坐标不变)可得，函数y＝sin(3×3x)＝sin 9x的图像．
例4.探究函数的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象。
解：令，则可以化成。
由的定义域为R，值域为 ，可以看出的定义域为R，值域为。
由的周期为可知，对任意，当它增加到且至少要增加到时，对应的函数值才会重复出现，因为

这说明对任意x,当它增加到且至少要增加到时，的函数值才会重复出现，的周期为。
当时，即时，我们有
即
所以下面我们用五点法作出在上的图象，取点列表如下：
描点作图，如图所示：
如图所示，我们还作出了的部分图象，把它们与函数 的图象进行比较，就可以看出这些图象之间的关系；把函数图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，就可以得到的图象；把 图象上的所有点，横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，就可得到的图象；把图象上所有的点，向左平移个单位，就可得到的图象。
答案：把函数图象上的所有点，向左平移个单位，就可得到的图象；把的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，就可以得到的图象；把图象上的所有点，横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，就可得到的图象。
正弦型函数中的常数都具有一定的实际意义。
事实上，在前述情境与问题的小球运动过程中，如果从时刻开始，每隔一小段时间（比如0.01s）给弹簧和小球拍一章照片，并将这些照片按时间顺序排成一列（顶端对齐），就可得到如图所示的图形，可以认为，图中小球的中心在正弦型函数的图象上，而且：
（1）表示小球能偏离平衡位置的最大距离，称为振幅；
（2）在决定时小球的位置（即）中起到关键作用，称为初相；
（3）周期表示小球完成一次运动所需要的时间。（小球的位置和速度首次都得到重复时完成了一次运动）。
知识点5 y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)型函数的性质
1．正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的定义域为R，值域为[－|A|，|A|]，周期是eq \f(2π,|ω|).
2．y＝Asin(ωx＋φ)的图像可通过对正弦曲线进行平移、伸缩得到．
3．A，ω，φ的实际意义：(1)|A|表示小球能偏离平衡位置的最大距离，称为振幅；(2)φ在决定t＝0时小球的位置中起关键作用，称为初相；(3)周期T＝eq \f(2π,|ω|)表示小球完成一次运动所需要的时间，f＝eq \f(1,T)＝eq \f(|ω|,2π)表示1 s内能完成的运动次数，称为频率.
【对点快练】
1．函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,5)))的周期、振幅依次是( )
A．4π，－2 B．4π，2
C．π，2 D．π，－2
答案：B 在y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，T＝eq \f(2π,ω)，A叫振幅(A>0)，故y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,5)))的周期T＝eq \f(2π,\f(1,2))＝4π，振幅为2.
2．函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,6)))的频率为____________，相位为____________，初相为____________．
答案：eq \f(1,4π) eq \f(1,2)x－eq \f(π,6) －eq \f(π,6) 函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,6)))的周期为T＝eq \f(2π,\f(1,2))＝4π，所以频率为f＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,4π)，相位是ωx＋φ＝eq \f(1,2)x－eq \f(π,6)，初相是－eq \f(π,6).
【变式练习1】
已知函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＋3(x∈R)，用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图像．
解 列表：
描点作图：
【变式练习2】
已知函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，该函数的图像如何由y＝sin x(x∈R)的图像经过变换得到？
解 法一 (1)将函数y＝sin x的图像向左平移eq \f(π,6)个单位长度，可以得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的图像；
(2)把y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的图像上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，而纵坐标不变，可以得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图像；
(3)将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图像上的各点的纵坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，而横坐标不变，可以得到函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图像．
法二 (1)将函数y＝sin x的图像上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，而纵坐标不变，得到函数y＝sin 2x的图像；
(2)将y＝sin 2x的图像向左平移eq \f(π,12)个单位长度，可以得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图像；
(3)将y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图像上的各点的纵坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，而横坐标不变，可以得到函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图像．
【变式练习3】
(1)说出y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的图像怎样由y＝sin eq \f(1,2)x的图像得到？
(2)把函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3x＋\f(π,6)))的周期扩大为原来的2倍，再将其图像向右平移eq \f(π,3)个单位长度，则所得图像的解析式为____________．
(1)解 ∵y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))))，
∴y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的图像可由y＝sin eq \f(1,2)x的图像向左平移eq \f(π,3)个单位得到．
(2)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－\f(3,2)x)) [y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3x＋\f(π,6)))eq \(――→,\s\up7(横坐标变为原来的2倍),\s\d5(纵坐标不变))y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)x＋\f(π,6)))eq \(――→,\s\up7(向右平移),\s\d5(\f(π,3)个单位长度))
y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＋\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)x＋\f(2π,3))).
小结：
1.“五点法”确定y＝Asin(ωx＋φ)的图像
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的定义域、值域、周期性，以及A，ω，φ的实际意义
3．由y＝sin x的图像，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，变换途径主要有两种，两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：
(1)先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)先周期变换后相位变换，平移eq \f(|φ|,ω)个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．
考点
教学目标
核心素养
y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质
掌握“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)的图像与求函数图像对应的函数解析式、会求正弦型函数的定义域，值域、周期
逻辑推理、数学运算、直观想象
正弦曲线与y＝Asin(ωx＋φ)的图像的关系
从数和形两个角度理解正弦函数与正弦型函数的本质联系；掌握正弦型函数图象变换；会用换元法对正弦型函数的性质划归为正弦函数模型求解相关问题
逻辑推理、数学运算、直观想象
X
－eq \f(π,3)
eq \f(2π,3)
eq \f(5π,3)
eq \f(8π,3)
eq \f(11π,3)
eq \f(x,2)＋eq \f(π,6)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
f(x)
3
6
3
0
3