高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.3.3 余弦函数的性质与图修教学设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.3.3 余弦函数的性质与图修教学设计，共10页。教案主要包含了教学重点，教学难点，对点快练，变式练习，变式练习1，变式练习2等内容，欢迎下载使用。

本节课是人教B版必修3《三角函数》第二大节的第4课时，在整个课程教材体系中，三角函数是基本初等函数之一，它是中学数学的重要内容之一，也是学习高等数学的基础。主要的学习内容是三角函数的概念，图象与性质，以及三角函数模型的简单应用，研究的方法只要是代数变形和图象分析。本节余弦函数图象可根据诱导公式，通过对正弦函数图象的平移得到，因此，余弦函数的图象和性质既是正弦函数图象和性质的转化与巩固，又是余弦型函数的基础。因此，学好这节课不仅可以位我们今后学习正切函数的图象和性质打下基础，还可以进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，它对知识起到了承上启下的作用，
【教学重点】
正弦函数余弦函数的区别和联系、余弦函数的图象和性质及应用
【教学难点】
余弦函数的图象和性质及应用
问题1：余弦函数的定义
知识点1：余弦函数的定义
对于任意一个角x，都有唯一确定的余弦cs x与之对应，因此y＝cs x是一个函数，一般称
为余弦函数．
问题2:余弦函数的性质
由可知，的性质和图象和正弦型函数的相同。
知识点2：余弦函数的性质
1．定义域与值域：余弦函数y＝cs x的定义域是R，值域是[－1,1]，当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，函数值的最大值是1，当且仅当x＝π＋2kπ，k∈Z时，函数值的最小值是－1.
2．余弦函数y＝cs x是偶函数，其图像关于y轴对称．
3．余弦函数y＝cs x是周期函数，2kπ(k∈Z，k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
4．余弦函数y＝cs x在区间[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ，π＋2kπ))(k∈Z)上递减．
5．余弦函数y＝cs x的零点为kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z).
【对点快练】
1．下列函数中，最小正周期为π的是( )
A．y＝sin x B．y＝cs x
C．y＝sineq \f(x,2) D．y＝cs 2x
答案：D 由T＝eq \f(2π,|ω|)知D中函数的最小正周期为π.
2．已知函数y＝3cs(π－x)，则当x＝____________时函数取得最大值．
答案：2kπ＋π，k∈Z 因为函数y＝3cs(π－x)＝－3cs x，所以当cs x＝－1，即x＝2kπ＋π，k∈Z时，ymax＝3.
问题3.余弦函数的图象
1．一般地，函数y＝cs x的图像称为余弦曲线．根据cs x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))，只需把y＝sin x，x∈R的图像向左平移eq \f(π,2)个单位长度，即可得到y＝cs x，x∈R的图像．
2．余弦函数y＝cs x的图像对称轴为x＝kπ，对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋kπ，0))，其中k∈Z.
【对点快练】
对于余弦函数y＝cs x的图像，有以下三项描述：
①向左向右无限延伸；
②与x轴有无数多个交点；
③与y＝sin x的图像形状一样，只是位置不同．
其中正确的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
答案：D 如图所示为y＝cs x的图像．
可知三项描述均正确．
例1.求下列函数的值域
（1）； （2）
解：（1）因为 所以，且
，即，
当时，当时，，因此的值域为。
（2）令 则

因为时，。所以，因此

当时， 当时，因此的值域为.
【变式练习】
已知函数y1＝a－bcs x的最大值是eq \f(3,2)，最小值是－eq \f(1,2)，求函数y＝－4asin 3bx的最大值．
解 ∵函数y1的最大值是eq \f(3,2)，最小值是－eq \f(1,2).
当b>0时，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝\f(3,2),a－b＝－\f(1,2)))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2),b＝1)).
当b<0时，由题意得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝－\f(1,2),a－b＝\f(3,2)))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2),b＝－1)).
因此y＝－2sin 3x或y＝2sin 3x，函数的最大值均为2.
例2.求函数的最大值和最小值。
解：（方法一）由余弦函数的性质可知，在 递增，在递减，又因为

所以函数的最大值为1，最小值为。
（方法二）如图所示，作出示意图，其中OP为角的终边，为角的终边，区间内的角的终边只能在直线的右上方，因此当角的余弦线为时，取得最大值 。
当角的余弦线为时，取得最小值。
【变式练习】
函数y＝3cs2x－4cs x＋1，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3)))的最小值是( )
A．－eq \f(1,3) B．eq \f(15,4)
C．0 D．－eq \f(1,4)
答案：D y＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs x－\f(2,3)))2－eq \f(1,3)，因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3)))，所以cs x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2))).当cs x＝eq \f(1,2)时，y取到最小值为ymin＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(2,3)))2－eq \f(1,3)＝－eq \f(1,4).
例3.判断下列函数的奇偶性
（1） （2）
解：（1）把函数记作，因为定义域为R，且
所以是偶函数。
（2）把函数记作，因为定义域为R，且
所以是奇函数。
【变式练习1】
(1)f(x)＝sin x·cs x是____________．(填“奇”或“偶”)函数
(2)比较cs 0，cs eq \f(1,2)，cs 30°，cs 1，cs π的大小为____________．
答案：(1)奇 由题意知，f(x)定义域为R，关于原点对称．f(－x)＝sin(－x)·cs(－x)＝－sin x·cs x＝－f(x)．所以f(x)＝sin x·cs x是奇函数．
(2)cs 0>cs eq \f(1,2)>cs 30°>cs 1>cs π 因为0cs eq \f(1,2)>cs 30°>cs 1>cs π.
【变式练习2】
设函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))，则f(x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为eq \f(π,2)的奇函数 D．最小正周期为eq \f(π,2)的偶函数
答案：A 因为f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝sin 2x，所以该函数的最小正周期为π，且为奇函数．
例4. 用五点法作出函数y＝1－cs x(0≤x≤2π)的简图．
解
列表：
描点连线，如图．
【变式练习】
作出函数y＝eq \f(1,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))在一个周期内的简图．
解 列表：
描点，连线得函数y＝eq \f(1,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))在一个周期内的图像，如图：
例5.求函数的周期和其图象的对称轴方程
解：因为

所以。
令，解得。
所以函数的周期为，其图象的对称轴方程为。
【变式练习】
已知函数f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，x∈R.
(1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间；
(2)该函数图像怎样由y＝cs x变化得到？
解 (1)由2x－eq \f(π,6)＝kπ，k∈Z，解得f(x)的对称轴方程是x＝eq \f(π,12)＋eq \f(k,2)π，k∈Z；
由2x－eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z解得对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋\f(kπ,2)，0))，k∈Z；
由2kπ－π≤2x－eq \f(π,6)≤2kπ，k∈Z解得kπ－eq \f(5π,12)≤x≤kπ＋eq \f(π,12)，
所以函数的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(5π,12)，kπ＋\f(π,12)))，k∈Z；
由2kπ≤2x－eq \f(π,6)≤2kπ＋π，k∈Z，解得kπ＋eq \f(π,12)≤x≤kπ＋eq \f(7π,12)
所以函数的单调递减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,12)，kπ＋\f(7π,12)))，k∈Z.
(2)y＝cs xeq \(――→,\s\up7(纵坐标不变),\s\d5(横坐标变为原来的\f(1,2)))y＝cs 2xeq \(――→,\s\up7(向右平移eq \f(π,12)个单位))y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))eq \(――→,\s\up7(横坐标不变),\s\d5(纵坐标变为原来的2倍))y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))).
小结：
余弦函数的性质：
1．在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增函数；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上减函数．
2．y＝cs x的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))(k∈Z)，对称轴为x＝kπ(k∈Z)．
3．y＝Acs(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，且ω≠0)的周期T＝eq \f(2π,|ω|).
4．根据诱导公式sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝cs x，知平移后的图像就是余弦函数f(x)＝cs x的图像，由此可见，在同一坐标系中正弦函数、余弦函数的图像的形状相同，只是位置不同．
考点
教学目标
核心素养
正弦函数余弦函数的区别和联系
掌握正弦函数余弦函数的区别和联系，借助诱导公式和图象的平移变换得到余弦函数的图象
直观想象、逻辑推理，数学运算
余弦函数的图象和性质
借助余弦函数的图象和余弦函数与正弦函数的关系，了解并掌握余弦函数的定义域、值域、周期性、对称轴、对称中心、零点等性质
直观想象、逻辑推理，数学运算
余弦函数性质的应用
掌握余弦函数性质的应用，解决一些简单的三角函数问题
逻辑推理，数学运算
x
0
eq \f(π,2)
Π
eq \f(3,2)π
2π
cs x
1
0
－1
0
1
1－cs x
0
1
2
1
0
eq \f(1,2)x＋eq \f(π,3)
0
eq \f(π,2)
Π
eq \f(3π,2)
2π
x
－eq \f(2π,3)
eq \f(π,3)
eq \f(4π,3)
eq \f(7π,3)
eq \f(10π,3)
Y
eq \f(1,2)
0
－eq \f(1,2)
0
eq \f(1,2)