数学必修 第三册8.2.4 三角恒等变换的应用教案

这是一份数学必修 第三册8.2.4 三角恒等变换的应用教案，共11页。教案主要包含了教学重点，教学难点，对点快练，变式练习，变式练习1，变式练习2等内容，欢迎下载使用。
8.2.4 三角恒等变换的应用本课时是人教B版必修3《三角恒等变换》的第4课时，在学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式的基础上，进一步运用二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切，并能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式，能应用公式进行三角函数求值、化简、证明，体会划归、方程等数学思想，提高学生的推理能力。通过公式的推导，了解半角公式和倍角公式之间的内在联系，从而培养逻辑推理和辩证唯物注意观点，努力培养学生的学习兴趣。学习三角变换的内容，思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理与运算能力，运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高整体上把握变换过程。考点教学目标核心素养半角公式及其运用运用三角恒等变换公式进行简单的三角恒等变换，理解半角公式的推导过程及简单应用逻辑推理、数学运算积化和差和和差化积及其运用理解积化和差和和差化积的推导过程及其运用逻辑推理、数学运孙【教学重点】半角公式、积化和差和和差化积公式的推导及其应用【教学难点】半角公式、积化和差和和差化积公式的应用问题1：半角公式及其应用 事实上，由可得 ，因此，即                （1）类似的，因为所以有，即                       （2）（1），（2）两个等式左边、右边分别相除，即可得                        （3）例1.求证：（1） ；    （2）证明：（1） （2） 知识点1　半角公式sin＝± ，cos＝± ，tan＝±，根号前的正负号，由角所在象限确定．推广公式：tan ＝＝.练习.求的值。解：由（3）可知， 又因为 所以 又因为 所以 【对点快练】1．若cos α＝，α∈(0，π)，则cos的值为(　　)A．　　　 B．－　　C．±　　 D．±答案：A　由题意知∈，∴cos>0，cos＝＝.2．已知cos α＝，α∈，则sin等于(　　)A．－　　 B．　　C．　　 D．－答案：B　由题意知∈，∴sin>0，sin＝＝.例2. 已知sin θ＝，且<θ <3π，求cos和tan.解　∵sin θ＝，<θ<3π，∴cos θ＝－＝－.由cos θ＝2cos2－1得cos2＝＝.∵＜<π.∴cos＝－＝－.tan＝＝＝＝2.【变式练习】本例中将条件改为“π<θ<π，且sin θ＝－”，如何求解？解　∵sin θ＝－，π<θ<π，∴cos θ＝－＝－.由cos θ＝2cos2－1得cos2＝＝，∵π<θ <π，∴<<π.∴cos＝－＝－.∴tan＝＝＝＝－2.问题2：积化和差和和差化积公式因为 所以两式分别相加、相减之后整理可得       （4）        （5）类似地，由 可得：        （6）         （7）（4）（5）（6）（7）地左边是积地形式，右边是和或者差地形式，因此被称为积化和差公式。根据（4）式可知， 因此可知的最大值为1.一般地，如果，则，从而（4），（5）,（6），（7）可分别改写为： 这四个公式左边是和或差的形式，右边是积的形式，因此被称为和差化积公式。 知识点2　积化和差与和差化积公式(1)积化和差公式：sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]，cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)].(2)和差化积公式：sin α＋sin β＝2sincos，sin α－sin β＝2cossin，cos α＋cos β＝2coscos，cos α－cos β＝－2sinsin.【对点快练】1．sin 15°cos 165°的值是(　　)A．　　 B．　　C．－　　 D．－答案：C　sin 15°cos 165°＝sin 15°cos(180°－15°)＝－sin 15°cos 15°＝－sin 30°＝－.2．把cos 3a＋cos 5a化为积的形式，其结果为____________．答案：2cos 4acos a　∵cos 3a＋cos 5a＝2coscos＝2cos 4acos a．例2.求函数的周期与最大值。解：由积化和差公式可知 所以函数的周期为，最大值为.【变式练习1】求函数f(x)＝sin xcos的值域．解　由积化和差公式得y＝＝sin＋sin＝sin－所以函数的最大值是，最小值是－.【变式练习2】函数f(x)＝sin 2xcos的单调递减区间是____________．答案：，k∈Z　由积化和差公式得：y＝＝＝sin－由2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，得－≤x≤＋，k∈Z所以函数的递减区间是，k∈Z.例3.求函数的周期和最大值。解：由和差化积公式可知 所以函数的周期为，最大值为。【变式练习1】函数y＝cos2＋sin2－1的最小正周期为____________．答案：π　y＝cos2＋sin2－1＝＋－1＝＝＝－sin 2xsin＝sin 2x，[来源:学科网∴T＝＝π.【变式练习2】函数y＝cos x＋cos，x∈(0，π)的最小值为(　　)A．－　　 B．　　　C．－　　 D．答案：C　由和差化积公式得：y＝2coscos＝2coscos＝cos，因为x∈(0，π)，所以x－∈，故ymin＝×＝－.例4.已知，求证： 证明：因为，所以 因此： 小结：1．已知cos α的值及所在的象限，就可以通过半角公式求得sin ，cos ，tan 的值．2．在进行三角恒等变换时，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算．和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值．正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段．