人教B版 (2019)必修 第三册7.3.2 正弦型函数的性质与图像学案设计

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册7.3.2 正弦型函数的性质与图像学案设计，共8页。学案主要包含了学习重点，学习难点，课前自测，解题方法，变式练习，变式练习1，变式练习2，变式练习3等内容，欢迎下载使用。


【学习重点】
正弦型函数的解析式、单调性，对称轴，对称中心，和值域求解
【学习难点】
正弦型函数图象变换，换元法对正弦型函数的性质划归为正弦函数模型求解相关问题
复习回顾：
1.正弦型函数的定义
一般地，形如 的函数，在物理，工程等学科的研究中经常遇到，这种类型的函数称为正弦型函数，其中都是常数，且。
2.y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)型函数的性质
（1）正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的定义域为 ，值域为 ，周期是 .
（2）y＝Asin(ωx＋φ)的图像可通过对正弦曲线进行 得到．
（3）A，ω，φ的实际意义：(1)|A|表示小球能偏离平衡位置的最大距离，称为 ；(2)φ在决定t＝0时小球的位置中起关键作用，称为 ；(3) 表示小球完成一次运动所需要的时间， 表示1 s内能完成的运动次数，称为
3. A、ω、φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的影响
（1）φ对函数y＝sin(x＋φ)图像的影响
（2）ω对函数y＝sin(ωx＋φ)图像的影响
（3）A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的影响
【课前自测】
1．函数y＝eq \f(1,3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x＋\f(π,6)))的周期、振幅、初相分别是( )
A．3π，eq \f(1,3)，eq \f(π,6) B．6π，eq \f(1,3)，eq \f(π,6) C．3π，3，－eq \f(π,6) D．6π，3，eq \f(π,6)
2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的最大值是3，最小正周期是eq \f(2π,7)，初相是eq \f(π,6)，则这个函数的表达式是( )
A．y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7x－\f(π,6))) B．y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7x＋\f(π,6))) C．y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7x＋\f(π,42))) D．y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7x－\f(π,42)))
3. 要得到y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图像，只需将y＝3sin 2x的图像( )
A．向左平移eq \f(π,4)个单位长度 B．向右平移eq \f(π,4)个单位长度
C．向左平移eq \f(π,8)个单位长度 D．向右平移eq \f(π,8)个单位长度
4．要得到函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图像，只需将函数y＝sin x的图像( )
A．向左平移eq \f(π,6)个长度单位 B．向右平移eq \f(π,6)个长度单位
C．向左平移eq \f(5π,6)个长度单位 D．向右平移eq \f(5π,6)个长度单位
问题1：求三角函数的解析式
例1.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)中A>0，ω>0，|φ|【解题方法】
确定函数y＝Asin(ωx＋φ)解析式的策略与步骤
若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图像的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.
(1)一般可由函数图像上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)因为T＝eq \f(2π,|ω|)，所以往往通过求周期T来确定ω，可以通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为eq \f(T,2)；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.
(3)确定φ时常用以下方法：①代入法；②五点法．
【变式练习】
函数y＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的图像如图，求函数的表达式．
问题2：y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)型函数的性质
例2.求函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(x,2)))的单调递增区间、对称轴与对称中心．
【解题方法】
1．求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数的单调区间，通过解不等式求得．
2．具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入正弦函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时同样方法可以求得与正弦函数单调性相反的单调区间．
【变式练习1】
函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))图像的一条对称轴是__________．(填序号)
①x＝－eq \f(π,2)；②x＝0；③x＝eq \f(π,6)；④x＝－eq \f(π,6).
【变式练习2】
f(x)＝eq \r(3)sin 2ωx＋1(ω>0)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)，\f(π,2)))上为增函数，则ω的最大值为____________．
【变式练习3】
函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的部分图像如图所示．
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值．
(2)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，－\f(π,12)))上的最大值和最小值．
问题3：正弦函数性质综合问题
例3.已知函数 的部分图像如图所示.
（Ⅰ）求函数的解析式及图像的对称轴方程；
（Ⅱ）把函数图像上点的横坐标扩大到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，得到函数的图象，求关于的方程在时所有的实数根之和.
例4.已知函数 的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式，并求出的单调递增区间；
（2）将函数的图象上各个点的横坐标扩大到原来的2倍，再将图象向右平移个单位，得到的图象，若存在使得等式成立，求实数的取值范围.
考点
学习目标
正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
利用图象求解y＝Asin(ωx＋φ)的对应的函数解析式、会求正弦型函数的单调性，对称轴，对称中心，和值域
正弦曲线与y＝Asin(ωx＋φ)的图像的关系
从数和形两个角度理解正弦函数与正弦型函数的本质联系；掌握正弦型函数图象变换；会用换元法对正弦型函数的性质划归为正弦函数模型求解相关问题