人教B版 (2019)必修 第三册7.3.4 正切函数的性质与图修学案

7.3.4 正切函数的性质与图象

【学习重点】

正切函数的图象、正切函数的性质及应用

【学习难点】

正切函数的性质及应用

问题1：正切函数的定义

对于任意一个角，只要，就有唯一确定的正切值与之对应，因此是一个函数，称为            

利用正切线可以直观地表述正切值，如图所示，             就是角x的正切线。

问题2：正切函数的性质

（1）定义域与值域

因为角的终边与横轴垂直，其正切值不存在，因此可知的定义域为             。

由图中的正切线可以看出，当x从0开始增大并越来越接近时，的值从         开始增大，且它的值可以大于指定的任意正数，也就是说能取到             内的所有数，类似的，可以看出能取到             内的所有数，因此的值域为             。

（2）奇偶性

由诱导公式             可知，正切函数是一个             函数。

（3）周期性

由诱导公式   或图中正切线的变化规律可知，是周期为             的周期函数。

（4）单调性

由是以为周期的周期函数可知，我们只要知道正切函数在             内的单调性，就能得到正切函数在所有有定义的区间上的单调性。

由图中的正切线可以看出，正切函数在区间上单调递         ，由此可知，在每一个开区间             上都是单调递增的。

（5）零点

不难看出，正切函数的零点为             。

知识点1　正切函数的性质

1．正切函数y＝tan x的定义域是              ，值域是R.

2．正切函数y＝tan x是            

3．正切函数y＝tan x周期为             的周期函数．

4．正切函数y＝tan x在每一个开区间             上都是单调递增的．

5．正切函数y＝tan x的零点是             

【对点快练】

1．下列说法正确的是(　　)

A．正切函数在整个定义域内是增函数       B．正切函数在整个定义域内是减函数

C．函数y＝3 tan的图像关于y轴对称    D．若x是第一象限角，则y＝tan x是增函数

2．f(x)＝tan(x＋π)是(　　)

A．奇函数　　　　　　 B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数　　 D．非奇非偶函数

问题3：正切函数的图象

因为的周期为，所以只要作出在             上的图象，就可得到其在整个定义域内的图象。又因为是奇函数，所以只要知道在             上的图象即可。

取内的几个点，列表如下：

在平面直角坐标系中描点，如图所示，又根据在上递增等信息，可知将这些点连接起来，形成光滑的曲线，就可以得到在上的函数图象，然后作这一段图象关于原点对称的图象，最后得到在上的图象，如图所示。

由于的周期是，所以正切函数在上的函数图象与其在上的函数图象完全相同，因此不难得到正切函数的图象，如图所示。

知识点2　正切函数的图像

1．取内的几个点，列表如下.

再由正切函数的对称性，可得其在一个周期内的图像，如图：

2．y＝tan x的函数图像称为正切曲线，是中心对称图形，对称中心为            

【对点快练】

1．函数y＝tan，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z的一个对称中心是(　　)

A．(0,0)　　 B．

C．　　 D．(π，0)

2．求函数y＝2tan的图像的对称中心坐标．

例1.求函数的定义域。

【变式练习】

求下列函数的定义域：

(1)y＝；

(2)y＝lg(－tan x)；

(3)y＝tan.

例2.求函数的周期。

【变式练习】

函数的最小正周期______.

例3.(1)求函数y＝3tan的单调区间；

(2)比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．

【变式练习】

(1)求函数y＝－tan的单调减区间；

(2)比较tan与tan的大小．

例4. 已知－≤x≤，f(x)＝tan2x＋2tan x＋2，求f(x)的最值及相应的x值．

【变式练习】

求函数y＝－tan2x＋10tan x－1，x∈的值域．

例5. 画出函数y＝|tan x|的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性、周期性．

【变式练习】

设函数.

（1）求函数的最小正周期及图象的对称中心；

（2）作出函数在一个周期内的简图.