人教B版 (2019)必修 第三册7.3.1 正弦函数的性质与图像学案

7.3.1 正弦函数的性质及图象

【学习重点】

五点法作图、正弦函数的性质

【学习难点】

函数周期性的理解，正弦函数性质的理解和应用

问题1：正弦函数的定义

知识点1　正弦函数的定义

正弦函数：对于任意一个角x，都有唯一确定的正弦sin x与之对应，因此y＝sin x是一个函数，一般称为           函数．

用正弦线可以直观地表示正弦函数地函数值，如图，           就是角x的正弦线。

问题2：正弦函数的性质

知识点2：定义域与值域

因为任意角都有正弦，所以的定义域为R，由图中的正弦线可以看出，长度的最大是           ，最小是           ，因此可知的值域为           ，而且

当且仅当           时，函数的最大值为           ；

当且仅当           时，函数的最小值为           .

例1.已知，求t的取值范围。

知识点3：奇偶性

由诱导公式，可知正弦函数为        函数，其图象关于           对称。

【对点快练】

函数y＝sin(x＋π)的图像关于(　　)

A．x轴对称　　 B．原点对称

C．y轴对称　　 D．直线x＝对称

由诱导公式可知，当自变量x的值每增加或减少的整数倍时，正弦值重复出现，这种性质称为正弦函数的周期性。

知识点4：正弦函数的周期性

1．周期函数定义：

一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的         x，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么就称f(x)为周期函数，           称为这个函数的周期．

对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期．

2．正弦函数的周期：正弦函数y＝sin x是周期函数，          都是它的周期，最小正周期是        .

【对点快练】

1．函数y＝2sin x－1的最小正周期是____________．

2．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝____________.

由是以为周期的周期函数可知，我们只要知道正弦函数在一个长度为的区间内的单调性，就能得到正弦函数在R上的单调性。

由图中的正弦线可以看出，正弦函数在区间上，从-1增大到1，是递增的；在区间上，从1减少到-1，是递减的。

知识点5：单调性

一般地，正弦函数在区间                                    上递增，

在                                      上递减。

【对点快练】

在下列区间中，使函数y＝sin x为增函数的是(　　)

A．[0，π]　　 B．

C．　　 D．[π，2π]

例2.不求值，比较 和的大小。

【变式练习1】

(1)已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|(x∈R)为奇函数，则a等于(　　)

A．0　　　　 B．1　　　　

C．－1　　　　 D．±1

(2)函数y＝sin x的最小正周期是____________．

(3)比较sin(－320°)与sin 700°的大小．

【变式练习2】

判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝sin；

(2)f(x)＝lg.

知识点6：正弦函数的零点

正弦函数y＝sin x的零点是             .

【对点快练】

函数y＝2sin x的零点是____________．

例3.求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时x的值。

（1）；                （2）

（3）

【变式练习1】

求函数y＝1－2cos2x＋5sin x的最大值和最小值．

【变式练习2】

本例题中若限定x∈，函数解析式不变，如何求函数的最大值与最小值？

问题3：正弦函数的图象

由是以        为周期的周期函数可知，只要知道正弦函数在一个长度为        的闭区间的图象，就可以得到正弦函数在R 上的图象。

下面我们探讨正弦函数在区间上的图象。

又因为是奇函数，所以在和上的图象关于        对称，因此只要探讨在上的图象即可。

取中的几个值，列表如下：

在平面直角坐标系中描点，如图所示，又根据在上递增，在上递减等信息，可知将这些点连接起来，形成光滑的曲线，就可以得到在上的函数图象。然后作这一段图象关于原点对称的图象，最后得到在上的图象，如图所示。

由于的周期是，所以正弦函数在上的函数图象与其在的函数图象形状完全相同，因此不难得到正弦函数的图象，如图所示。

一般地，的函数图象称为正弦曲线。

由图象可知，正弦曲线是轴对称图形，对称轴为                 ，正弦曲线也是中心对称图形，且对称中心为           ，这两个结论也可以从关系式        和        得到，其中。

知识点7　正弦函数的图像

1．一般地，函数y＝sin x的图像称为正弦曲线，利用五点法作正弦曲线，这五个点是：

y＝sin x，x∈[0,2π]的图像向         、        平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图像．

2．正弦函数y＝sin x的图像对称轴为             ，对称中心为          ，其中k∈Z.

【对点快练】

1．用五点法画y＝sin x，x∈[0,2π]的图像时，下列哪个点不是关键点(　　)

A．　　 B．

C．(π，0)　　 D．(2π，0)

2．函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像与函数y＝1的图像的交点个数是(　　)

A．1　　 B．2　　

C．3　　 D．4

例4.用五点法作函数的图象。

【变式练习】

用“五点法”作出下列函数的简图．

y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]．