高中数学7.2.4 诱导公式教学设计

这是一份高中数学7.2.4 诱导公式教学设计，共10页。教案主要包含了教学重点，教学难点，变式训练，变式训练1，变式训练2等内容，欢迎下载使用。

本节课是人教B版必修3《诱导公式》的第2课时，上节课已经推导了诱导公式（一）到（四），本节课的内容是三角函数的诱导公式中的公式（五）到（八），利用对称变换推导到的诱导公式（五），再结合诱导公式（五）和诱导公式（一）到（四），可以得到其他的诱导公式。充分体现对称变换思想在数学中的应用，在练习中加以应用，让学生进一步体会的任意性。综合八个诱导公式总结出诱导公式的口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，了解从特殊到一般的数学思想的探究过程，培养学生用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力。诱导公式在三角函数化简、求值中具有非常重要的工具作用，要求学生能熟练掌握和应用。本节课的目标是借助单位圆推导出诱导公式（五）~（八），要求学生能正确运用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，并解决有关三角函数求值，化简和恒等式证明问题，通过公式的应用，了解未知到已知，复杂到简单的转化过程，培养学生的划归思想，以及信息加工能力，运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。培养学生的划归思想，使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径。

【教学重点】
诱导公式（五）~（八）的推导、利用诱导公式进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明
【教学难点】
诱导公式的综合应用
复习回顾：
1.诱导公式（一）~（四）
(1) eq \x(\a\al(sinα＋k·2π＝sin α，,csα＋k·2π＝cs α，,tanα＋k·2π＝tan α.)) (2) eq \x(\a\al(sin－α＝－sin α，,cs－α＝cs α，,tan－α＝－tan α.))
(3) eq \x(\a\al(sinπ－α＝sin α，,csπ－α＝－cs α，,tanπ－α＝－tan α.)) (4) eq \x(\a\al(sinπ＋α＝－sin α，,csπ＋α＝－cs α，,tanπ＋α＝tan α.))
2.利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”：将负角化为正角； (2)“大化小”：将角化为0°到360°间的角；
(3)“小化锐”——将大于90°的角转化为锐角；(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．
引入：
如图所示，设与的终边与单位圆分别交于和，则

知识点 角α与eq \f(π,2)－α的三角函数值之间的关系
1．α和eq \f(π,2)－α的终边关于角eq \f(α＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),2)＝eq \f(π,4)的终边所在的直线(即直线y＝x)对称．
2．角α与eq \f(π,2)－α的三角函数值之间的关系
诱导公式（五）：
eq \x(\a\al(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(π,2)－α))＝cs α，,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(π,2)－α))＝sin α.))
作用：利用公式（五），我们可以用的三角函数值表示为的三角函数值。
3．推广公式
诱导公式（六）：
eq \x(\a\al(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(π,2)+α))＝cs α，,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(π,2)+α))＝-sin α.))
证明：结合公式二和公式五，我们可以得到：
；
.
角的转化变形：及变换的几何含义：
角的终边可以看作：是由角的终边关于轴的对称得到角的终边，再关于
直线对称得到的.
诱导公式（七）：
eq \x(\a\al(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(3π,2)+α))＝sin α，,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(3π,2)+α))＝-cs α.))
证明：结合公式四和公式六：
；
；
角的转化变形：及变换的几何含义：
角的终边可以看作是：是由角的终边关于轴的对称得到角的终边，再关于
直线对称得到的的终边，最后再关于原点对称得到的.
诱导公式（八）：
eq \x(\a\al(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(3π,2)-α))＝-sin α，,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(3π,2)-α))＝-cs α.))
证明：结合公式四和公式五：
；
.
角的转化变形：及变换的几何含义：
角的终边可以看作是：由角的终边关于直线对称得到的终边，再关于原点对称得到的.
注：（1）公式（一）~（八）都称为诱导公式，利用诱导公式可以求三角函数式的值或化简三角函数式，诱导公式本身还反映了我们后面要学习的三角函数的性质。
（2）八组诱导公式可以总结为如下口诀：奇变偶不表、符号看象限
前四组公式的特点：符号看象限，函数名不变；
后四组公式的特点：符号看象限，函数名改变.
事实上，这8组诱导公式可概括为的各三角函数值.
当为偶数时，得到角的同名三角函数值；
当为奇数时，得到角的余名三角函数值，然后特别需要注意，在前面加上把看成锐角时原三角函数值的符号.
例1.求下列各值
（1） （2） （3）
解：（1）
（2）
（3）
例2. 计算
【变式训练】
1．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…sin289°＝____________.
答案：eq \f(89,2) ∵sin289°＝cs21°，sin21°＋cs21°＝1，
…sin246°＝cs244°，sin244°＋cs244°＝1，
所以原式＝1×44＋sin245°＝44＋eq \f(1,2)＝eq \f(89,2).
2．已知sin α＝eq \f(2,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α))＝____________.
答案：－eq \f(2,3) cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,2)＋α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin α＝－eq \f(2,3).
例3. 化简：
解：
【变式训练1】
eq \f(sinθ－5πcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－θ))cs8π－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3π,2)))sin－θ－4π)
解：原式＝eq \f(sinθ－πcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))cs－θ,cs θsin－θ)
＝eq \f(－sin θ－sin θcs θ,－cs θsin θ)＝－sin θ.
【变式训练2】
已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，求
eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))·sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))·tan22π－α·tanπ－α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))·cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))的值．
解 因为5x2－7x－6＝0的两根为x＝2或x＝－eq \f(3,5)，所以sin α＝－eq \f(3,5).
又因为α为第三象限角，
所以cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(4,5).所以tan α＝eq \f(3,4).
所以原式＝eq \f(－cs α·－cs α·tan2α·－tan α,sin α·－sin α)
＝tan α＝eq \f(3,4).
例4. 求证：eq \f(cs6π＋θsin－2π－θtan2π－θ,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ)))＝－tan θ.
证明 原式左边＝eq \f(cs θ－sin θ－tan θ,sin θ－cs θ)＝－tan θ＝右边，所以结论成立．
【变式训练】
求证：eq \f(tan 2π－αsin－2π－αcs6π－α,csα－πsin5π－α)＝－tan α.
证明 原式左边＝
eq \f(\f(sin 2π－α,cs 2π－α)·sin－α·cs－α,cs π－αsin π－α)
＝eq \f(－sin α·－sin α·cs α,cs α·－cs α·sin α)＝eq \f(－sin α,cs α)
＝－tan α＝右边．
∴原式得证．
例5.已知α是第三象限角，且f(α)＝
eq \f(sinπ－αcs2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(3π,2))),sin－π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))).
(1)求f(α)；
(2)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝eq \f(1,5)，求f(α)．
解 (1)f(a)＝eq \f(sinπ－αcs2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(3π,2))),sin－π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))＝eq \f(sin αcs α－cs α,sin αcs α)＝－cs α.
所以f(α)＝－cs α.
(2)因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝eq \f(1,5)，
所以－sin α＝eq \f(1,5)，又α是第三象限角，
所以cs α＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)))2)＝－eq \f(2\r(6),5).
所以f(α)＝－cs α＝eq \f(2\r(6),5).
【变式训练1】
若本例题设不变，如何求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－α))的值呢？
解 cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝－eq \f(1,2).
【变式训练2】
已知角α终边上一点P(－4,3)，则eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin－π－α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,2)＋α)))的值为____________．
答案：－eq \f(3,4) 因为角α终边过点P(－4,3)，
所以tan α＝eq \f(y,x)＝－eq \f(3,4)，
所以原式＝eq \f(－sin α·[－sinπ＋α],cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6π－\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(π,2)＋α)))
＝eq \f(－sin α·sin α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α))·sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))
＝eq \f(－sin α·sin α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))·cs α)＝eq \f(－sin α·sin α,－sin α·cs α)＝tan α＝－eq \f(3,4).
小结：
1．诱导公式的作用是将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值，使用过程中的关键：一是符号问题，二是函数名称问题．要熟记口诀“奇变偶不变，符号看象限”，并在解题过程中去理解和掌握．
2．由诱导公式可以看出，在三角函数中，角和三角函数值之间是多值对应关系，一个角对应一个三角函数值，而一个三角函数值则对应多个角．
考点
教学目标
核心素养
诱导公式（五）~（八）的推导
理解并掌握诱导公式（五）~（八）的推导过程，从形和数两个角度理解诱导公式
逻辑推理、数学运算
诱导公式的应用
掌握利用诱导公式进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明.
逻辑推理、数学运算