人教B版 (2019)必修 第三册8.1.3 向量数量积的坐标运算教案设计

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册8.1.3 向量数量积的坐标运算教案设计，共11页。教案主要包含了教学重点，教学难点，对点快练，变式练习1，变式练习2等内容，欢迎下载使用。

本节课是人教B版必修3第八章的第三课时，平面向量的数量积是两向量之间的乘法，而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算。本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面向量数量积的坐标表示，平面两点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。为解决直线垂直问题，三角形边角的有关问题提供了很好的办法，本节内容也是全章重要内容之一。通过本节的学习，要让学生掌握：（1）平面向量数量积的坐标表示；向量夹角的坐标表示；向量垂直的坐标表示的充要条件。以及它们的一些简单应用，以上三点也是本节课的重点，本节课的难点是向量垂直的坐标表示的充要条件以及它的灵活应用。
【教学重点】
平面向量数量积的坐标表示；向量夹角的坐标表示；向量垂直的坐标表示的充要条件
【教学难点】
向量垂直的坐标表示的充要条件以及它的灵活应用
问题1：向量的坐标表示与向量的数量积
在平面直角坐标系中，分别给定与轴、轴正方向相同的单位向量之后，如果对于平面内的向量，有，则就是向量的坐标，记作。而且，是单位正交基底，这就是说，。
因此，
类似的，有，即。
也就是说，在单位正交基底下的坐标为。
由向量坐标的定义可知，存在单位正交基底，使得
因此，
从而，
特别的，
在平面直角坐标系中，如果，则
，
从而，因此
新知新学
1．在平面直角坐标系中，分别给定与x轴、y轴正方向相同的单位向量e1，e2之后，如果对于平面内的向量a，有a＝x e1＋y e2，则(x，y)就是向量a的坐标，记作a＝(x，y).
2．设a＝(x1，y2)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，|a|2＝a·a＝xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)，|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))，cs 〈a，b〉＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)) \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
3．在平面直角坐标系中，如果A(x1，y2)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
【对点快练】
1．已知a＝(0,1)，b＝(2，－1)，则a·b等于( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
答案：B ∵a＝(0,1)，b＝(2，－1)，∴a·b＝(0,1)·(2，－1)＝0×2＋1×(－1)＝－1.
2．设向量a与b的夹角为θ，a＝(2,1)，3b＋a＝(5,4)，则cs θ＝( )
A．eq \f(4,5) B．eq \f(1,3)
C．eq \f(\r(10),10) D．eq \f(3\r(10),10)
答案：D 因为3b＝3b＋a－a＝(5,4)－(2,1)＝(3,3)，所以b＝(1,1)，所以cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(2×1＋1×1,\r(5)×\r(2))＝eq \f(3,\r(10))＝eq \f(3\r(10),10).
例1.已知，求。
解：由题意可知：
，
又因为，
所以。
【变式练习1】
已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,2)．
(1)求a·(a－b)；
(2)求(a＋b)·(2a－b)；
(3)若c＝(2,1)，求(a·b)c，a(b·c)．
解 (1)方法一：∵a＝(－1,2)，b＝(3,2)，
∴a－b＝(－4,0)．
∴a·(a－b)＝(－1,2)·(－4,0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
方法二：a·(a－b)＝a2－a·b
＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.
(2)∵a＋b＝(－1,2)＋(3,2)＝(2,4)，
2a－b＝2(－1,2)－(3,2)＝(－2,4)－(3,2)＝(－5,2)，
∴(a＋b)·(2a－b)＝(2,4)·(－5,2)＝2×(－5)＋4×2＝－2.
(3)(a·b)c＝[(－1,2)·(3,2)](2,1)
＝(－1×3＋2×2)(2,1)＝(2,1)．
a(b·c)＝(－1,2)[(3,2)·(2,1)]
＝(－1,2)(3×2＋2×1)＝8(－1,2)＝(－8,16)．
【变式练习2】
已知a＝(2,1)，b＝(－1,3)．若存在向量c，使得a·c＝4，b·c＝－9，试求向量c的坐标．
解 设c＝(x，y)，
则a·c＝(2,1)·(x，y)＝2x＋y＝4.①
由b·c＝－9，得b·c＝(－1,3)·(x，y)＝3y－x＝－9.②
联立①②得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝4，,x－3y＝9，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－2.))∴c的坐标为(3，－2)．
例2.已知点求的余弦值。
解：因为，
所以，
因此：
【变式练习1】
已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，当a与b的夹角为锐角时，求λ的取值范围．
解 a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.
∵a与b的夹角为锐角，
∴cs θ＞0，且cs θ≠1，∴a·b＞0且a与b不同向．
因此1＋2λ＞0，∴λ＞－eq \f(1,2).又a与b共线且同向时，λ＝2.
∴a与b的夹角为锐角时，λ的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞)．
【变式练习2】
若向量a，b满足a＋b＝(2，－1)，a＝(1,2)，则向量a与b的夹角等于( )
A．45° B．60°
C．120° D．135°
答案：D 根据题意，设向量a与b的夹角为θ，a＋b＝(2，－1)，a＝(1,2)，则b＝(a＋b)－a＝(1，－3)，可得|a|＝eq \r(5)，|b|＝eq \r(10)，cs θ＝eq \f(1×1－2×3,\r(5)×\r(10))＝－eq \f(\r(2),2)，又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝135°.
问题2：用向量的坐标表示两个向量垂直的条件
因为的充要条件是，因此
这就是说，利用向量的坐标与向量的数量积，可以方便地表达出向量垂直的条件。
新知新学：
设a＝(x1，y2)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y1＝0.
【对点快练】
1．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则a与b( )
A．垂直 B．不垂直也不平行
C．平行且同向 D．平行且反向
答案：A ∵－5×6＋6×5＝0，∴a⊥b.
2．向量a＝(－1,2)，b＝(1,3)，下列结论正确的是( )
A．a∥b B．a⊥b
C．a∥(a－b) D．a⊥(a－b)
答案：D 由a－b＝(－2，－1)，易得a·(a－b)＝0，故a⊥(a－b)．
例3.已知点，求证：
证明：因为
所以：
因此。
【变式练习1】
已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
解 (1)∵a⊥b，
∴a·b＝0，即1×(2x＋3)＋x×(－x)＝0，
解得x＝－1或x＝3.
(2)∵a∥b，∴1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
解得x＝0或x＝－2.
又|a－b|＝eq \r(a－b2)＝eq \r(|a|2－2a·b＋|b|2)，
∴|a－b|＝2或2eq \r(5).
【变式练习2】
设平面向量a＝(cs α，sin α)(0≤α<2π)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，且a与b不共线．
求证：向量a＋b与a－b垂直．
证明 ∵a＝(cs α，sin α)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，
∴a＋b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs α－\f(1,2)，sin α＋\f(\r(3),2)))，
a－b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs α＋\f(1,2)，sin α－\f(\r(3),2)))，
∴(a＋b)·(a－b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs α－\f(1,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs α＋\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin α＋\f(\r(3),2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin α－\f(\r(3),2)))
＝cs2α－eq \f(1,4)＋sin2α－eq \f(3,4)＝1－1＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)，即向量a＋b与a－b垂直．
例4.如图所示，已知点将向量绕原点O逆时针旋转得到，求点B的坐标。
解：由已知可得：
又因为，设，则，从而有
解得或
又因为由图可知，所以。
例5.如图所示，已知正方形ABCD中，P为对角线AC不在端点上的任意一点，，连接求证：。
证明：以A为原点，AB所在直线为x轴，正方形的边长为单位长，建立如图所示的平面直角坐标系，则，从而。
由已知，可设其中，则因此
又因为
所以，因此。
例5说明，建立合适的平面直角坐标系之后，可以方便地借助向量的坐标来解决有关几何问题。
【变式练习1】
求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．
解 如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系，
设A(2a,0)，B(0,2a)，则D(a,0)，C(0，a)，
从而可求：eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2a，a)，Beq \(D,\s\up6(→))＝(a，－2a)，不妨设Aeq \(C,\s\up6(→))、Beq \(D,\s\up6(→))的夹角为θ，
则cs θ＝eq \f(A\(C,\s\up6(→))·B\(D,\s\up6(→)),|A\(C,\s\up6(→))||B\(D,\s\up6(→))|)＝eq \f(－2a，a·a，－2a,\r(5)a·\r(5)a)＝eq \f(－4a2,5a2)＝－eq \f(4,5).
故所求钝角的余弦值为－eq \f(4,5).
【变式练习2】
已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD的两对角线所夹的锐角的余弦值．
(1)证明 ∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,1)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(－3,3)．∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(AD,\s\up6(→))，即AB⊥AD.
(2)解 ∵四边形ABCD为矩形，∴eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→)).
设C点的坐标为(x，y)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,1)，eq \(DC,\s\up6(→))＝(x＋1，y－4)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＝1，,y－4＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝5.))∴C点的坐标为(0,5)．
从而eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2,4)，eq \(BD,\s\up6(→))＝(－4,2)，
∴|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2eq \r(5)，|eq \(BD,\s\up6(→))|＝2eq \r(5)，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝8＋8＝16.
设eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(BD,\s\up6(→))的夹角为θ，则cs θ＝eq \f(\(AC,\s\up6(→))·\(BD,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))||\(BD,\s\up6(→))|)＝eq \f(16,20)＝eq \f(4,5)，
∴矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为eq \f(4,5).
小结：
1．向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．
2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．
3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
考点
教学目标
核心素养
向量数量积的坐标表示
掌握向量数量积的坐标表示公式的推导及应用
逻辑推理、数学运算
向量夹角的坐标表示
掌握向量夹角的坐标表示，并应用公式求向量的夹角
逻辑推理、数学运算
向量垂直的坐标表示
能用坐标表示平面向量垂直的条件，并解决相关问题
直观想象、逻辑推理、数学运算