人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.1 向量的数量积8.1.1 向量数量积的概念教案

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.1 向量的数量积8.1.1 向量数量积的概念教案，共9页。教案主要包含了教学重点，教学难点，对点快练，变式练习1，变式练习2，变式练习3等内容，欢迎下载使用。

本节课是人教B版必修3第八章《向量数量积与三角恒等变换》的第一课时《向量数量积的概念》，数量积是继向量的线性运算（加法、减法、向量的数乘）后的又一种新的运算，它的内容很丰富，包括定义、几何意义、性质与运算律，而且在物理和几何中具有广泛的应用。它与向量的线性运算有着本质的区别，运算结果是一个数量，数量积为解决有关几何问题提供了方便，可以利用平面向量的数量积求解向量的模和向量的夹角，解决线段的垂直问题。向量的数量积分为两个重要部分，一个是数量积的概念和运算律，另一个是数量积的坐标运算。本节课作为本章的第一课时，向量的数量积是继向量的线性运算后的一种新的重要的运算，它有明显的物理意义、几何意义。向量数量积是代数、几何与三角的结合点，应用广泛，很好地体现了数形结合的数学思想。
【教学重点】
平面向量数量积的概念和物理意义、几何意义、应用
【教学难点】
平面向量数量积的几何意义理解
引入：
答：情境与问题中的功是由向量和的大小以及这两个向量方向的差异确定。一般地，给定任意两个向量，能确定出一个类似地标量，这也是本小节要学习的向量的数量积。
问题1：向量的夹角
新知新学（一）：向量夹角的定义
给定两个非零向量，在平面内任选一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝，eq \(OB,\s\up6(→))＝，则称[0，π]内的∠AOB为向量与向量的夹角，记作．
如图，向量与的夹角为，即；向量与的夹角为，即；向量与的夹角为，即；向量与的夹角为，即。
新知新学（二）：向量夹角的性质
（1）根据向量夹角的定义可知，两个非零向量的夹角是唯一确定的，而且
；
（2）当时，称向量与向量垂直，记作，由于零向量方向是不确定的，在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直．
【对点快练】
1．在等边三角形ABC中，向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为( )
A．60° B．120°
C．90° D．30°
答案：A 因为三角形ABC是等边三角形，所以∠BAC＝60°，即向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为60°.
2．若向量a与b的夹角为60°，则向量a与－b的夹角是( )
A．60° B．120°
C．30° D．150°
答案：B 平移向量a，b使它们有公共起点O，如图所示，向量a与－b的夹角是180°－60°＝120°.
问题2：向量数量积的性质
新知新学（三）：向量数量积的定义
数量积的定义：一般地，当都是非零向量时，称为向量的数量积(也称为内积)，记作，即＝
答：观察两个非零向量与的数量积的定义可知，的符号由决定，从而也就是由的大小决定.如图，，也就是说，两个非零向量的数量积既可以是正数，也可以是零，还可以是负数。
新知新学（四）：数量积的性质
(1)|；
(2) ，即;
(3) ,即向量垂直的充要条件为；
(4)
例1.（1）已知，求；
（2）已知，求.
解：（1）由已知可得＝

（2）由＝可知，
因此从而可知
【变式练习1】
在正三角形ABC中，边长为4，求(1)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))；(2)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→)).
解：(1)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|cseq \f(π,3)＝4×4×eq \f(1,2)＝8.
(2)〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝π－eq \f(π,3)＝eq \f(2π,3)，
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(BC,\s\up6(→))|cseq \f(2π,3)＝4×4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－8.
【变式练习2】
已知|a|＝2，|b|＝1，a·b＝－eq \r(3)，求〈a，b〉．
解：∵cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝－eq \f(\r(3),2)，又0≤〈a，b〉≤π，∴〈a，b〉＝eq \f(5π,6).
【变式练习3】
若非零向量a，b满足|a|＝|b|,2a·b＋b2＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案：C 设向量a与b的夹角为θ，∵2a·b＋b2＝0.∴2|a||b|cs θ＋|b|2＝0.∵|a|＝|b|，∴cs θ＝－eq \f(1,2)，又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
问题3：向量的投影与向量数量积的几何意义
新知新学（五）向量在直线上的投影、向量在向量上的投影
如图所示，设非零向量过分别作直线l的垂线，垂足分别为，则称向量为向量在直线l上的投影向量或投影。
类似地，给定平面上的一个非零向量，设所在的直线为，则在直线上的投影称为在向量上的投影。
如图所示，向量在向量上的投影为，可以看出，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，但它们的方向既有可能相同，也有可能相反。
如图所示，
当时，的方向与的方向相同，而且；
当时，为零向量，即
当时，的方向与的方向相反，而且
新知新学（六）向量投影的数量及数量积的几何意义
（1）一般地，如果都是非零向量，则称为向量在向量上的投影的数量。投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数。
（2）因为
所以两个非零向量的数量积，等于在向量上的投影的数量与的模的乘积，这就是两个向量数量积的几何意义。
（3）特别的，当为单位向量时，因为，所以，即任意向量与单位向量的数量积，等于这个向量在单位向量上的投影的数量。
【对点快练】
1．已知|b|＝3，向量a在向量b上的投影向量为2b，则a·b＝____________.
答案：18 ∵a在b上的投影向量为|a|cs θeq \f(b,|b|)＝eq \f(|a|cs θ,|b|)b，∴eq \f(|a|cs θ,|b|)＝2，即|a|cs θ＝6.
∴a·b＝|a||b|cs θ＝3×6＝18.
2．已知|b|＝3，a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量的数量为____________．
答案：4 设向量a在向量b上的投影向量的数量为x，则有a·b＝|b|·x，∴x＝eq \f(12,3)＝4.
例2.如图所示，求出一下向量的数量积
（1） （2） （3）
解：（1）（方法一）由图可知，，因此。
（方法二）由图可知，向量在向量上的投影的数量为1，且为单位向量，因此根据向量数量积的几何意义可知；
（2）由图知，因此；
（3）由图可知，向量在向量上的投影的数量为-1，且为单位向量，因此根据向量数量积的几何意义可知，
【变式练习1】
已知|a|＝4，e为单位向量，它们的夹角为eq \f(2π,3)，则向量a在向量e上的投影向量是________________；向量e在向量a上的投影向量是________________．
答案：－2e －eq \f(1,8)a 向量a在向量e上的投影向量是|a|cs θe＝4cseq \f(2π,3)e＝－2e.因为与向量a方向相同的单位向量为eq \f(a,|a|)＝eq \f(1,4)a，所以向量e在向量a上的投影向量是|e|cs θeq \f(a,|a|)＝cseq \f(2π,3)×eq \f(1,4)a＝－eq \f(1,8)a.
小结：
1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°＜θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．
2．向量b在向量a上的投影向量是与a共线的向量，其表达式为|b|cs θeq \f(a,|a|)(θ为a与b的夹角)，注意a在b上的投影向量与b在a方向上的投影向量一般是不同的，a在b上的投影向量是与b共线的向量，但当a⊥b时，a在b上的投影向量与b在a方向上的投影向量相同，都是零向量．考点
教学目标
核心素养
平面向量数量积的概念和物理意义
理解平面数量积的概念及物理意义，会计算平面向量的数量积
数学抽象、逻辑推理、数学建模
数量积的几何意义
通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义
直观想象、数学运算
数量积的简单应用
掌握数量积的简单应用，会利用数量积判断两个平面向量的垂直关系
逻辑推理、数学运算