人教B版 (2019)必修 第四册11.3.2 直线与平面平行第1课时教案设计

课程目标

学科素养

A.掌握直线与平面平行的判定定理和，并能利用这个定理解决空间中的平行关系问题．

B. 利用直线与平面平行的判定定理证明空间平行问题．

1.数学抽象： 直线与平面平行的判定定理

2.逻辑推理：运用反证法证明直线与平面平行的判定定理

3.直观想象：直线与平面平行的画法

4.数学建模：常见的直线与平面平行的判定方法

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、情境与问题

   前面我们已经通过几何体直观地认识了直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交，其中后两种位置关系又统称为直线在平面外，一般地直线与平面的位置关系，可以用图表示

1．直线与平面的平行

  如图所示，如果将乒乓球台的台面抽象成平面，将乒乓球网的上边缘抽象成直线，则直线与平面具有怎样的位置关系？如果将乒乓球网的下边缘抽象成直线，并把看成平面 内的直线，则直线与直线具有怎样的位置关系？由此思考，怎样才能证明直线与平面平行？

       因为直线与平面都可以无限延伸，所以要直接判定一条直线与一个平面，有没有公共点？并不是一件容易的事。

     如图所示，假设直线在平面内，即直线 平移出平面，平移后的直线为，因为是平移，所以 利用合适的实物演示平移的过程，判断直线与平面的位置关系，并说明理由。

从正面思考有一定难度，我们可以从反面思考。

      如图所示，假设，因为直线与直线平行，所以他们可以确定一个平面(记为)，由于， 所以，又因为， ，因此根据平面的基本事实3，点P一定在与的交线上，于是直线与相交，这与 矛盾，所以，即

     2.直线与平面平行的判定定理及性质定理

1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)

(1)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α.(　　)

(2)若直线l∥平面α,则l与平面α内的任意一条直线都不相交. (　　)

(3)若直线a∥平面α,直线a∥直线b,则直线b∥平面α. (　　)

(4)若直线a,b和平面α满足a∥α,b∥α,则a∥b. (　　

提示:(1)×.若直线a与平面α内无数条直线平行,则这条直线可能在这个平面内,也可能与这个平面平行,所以该命题错误.

(2)√.若直线l∥平面α,则l与平面α无公共点,所以l与平面α内的任意一条直线都不相交.

(3)×.直线b有可能在平面α内.

(4)×.若直线a,b和平面α满足a∥α,b∥α,则a与b平行、相交和异面都有可能.

2.如图,过正方体ABCD-A′B′C′D′的棱BB′作一平面交平面CDD′C′于EE′,则BB′  与

   EE′的位置关系是 (　　)

  A.平行              B.相交                   C.异面                D.不确定

【解析】选A.因为BB′∥平面CDD′C′,BB′⊂平面BB′E′E,平面BB′E′E∩平面CDD′C′=EE′,所以BB′∥EE′.

【例1】　如图，在三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.

[思路探究]　要证明BD∥平面FGH，需在平面FGH内找到一条直线平行于BD，

进而转化为线线平行的证明．

[证明]　在三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，连接CD、FG.设CD∩FG＝O，则O为CD的中点．又H为BC的中点，所以OH∥BD.又OH平面FGH，BD平面FGH，所以BD∥平面FGH.

应用判定定理证明线面平行的步骤

上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：

①空间直线平行关系的传递性法；

②三角形中位线法；

③平行四边形法；

④成比例线段法．

提醒：线面平行判定定理应用的误区

(1)条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”．

(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线．

跟踪训练1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　)

A　[A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.

因为QD∩平面MNQ＝Q，所以QD与平面MNQ相交，

所以直线AB与平面MNQ相交．

B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，

∴AB∥MQ.

又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.

C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，所以AB∥MQ.

又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.

D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，所以AB∥NQ.

又AB平面MNQ，NQ平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.

故选A．]

通过对直线与平面位置关系的回顾，引出直线与平面平行的定义。发展学生数学抽象和直观想象的核心素养。

由生活实例出发，让学生经历直观想象，分析概括与推理论证。发展学生数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养。

通过定理思辨，提升学生对定理的准确理解和应用能力，发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。

通过典例分析，提高学生对线面平行证明的应用能力，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。

三、达标检测

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若直线与平面不相交，则直线与平面平行． (　　)

(2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行． (　　)

(3)直线l上有无数多个点在平面α外，则l∥α. (　　)

(4)过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行． (　　)

[解析]　(1)错误．若直线与平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平行．

(2)错误．当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故(2)错．

(3)错误．直线l也可能与平面α相交．

(4)错误．在棱柱的上底面内，过一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故(4)错．

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2．M∈l，N∈l，Nα，M∈α，则有(　　)

A．l∥α　　　 B．lα

C．l与α相交 D．以上都有可能

C　[由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．]

3．正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过A，C，E三点的平面的位置关系是________．

平行　[如图所示，连接BD交AC于点O.在正方体中容易得到点O为BD的中点．又因为E为DD1的中点，所以OE∥BD1.又因为OE平面ACE，BD1平面ACE，所以BD1∥平面ACE.]

4．直三棱柱ABC­A1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.

[证明]　如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．

又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.

因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，

所以BC1∥平面A1CD.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学直观、逻辑推理、数学建模的核心素养。

四、小结

1．直线与平面平行的判定定理的理解

判定直线l和平面α平行时，必须具备三个条件

①直线l在平面α外，即lα；

②直线m在平面α内，即mα；

③两直线l，m平行，即l∥m.

这三个条件缺一不可．

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。