高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第十章 复数10.1 复数及其几何意义10.1.2 复数的几何意义教案及反思

10.1.2 复数的几何意义

　　本节课要学的内容包括复数与点的对应关系、复数与向量的对应关系。其核心内容是复数的向量表示。类比实数可以用数轴上的点表示，把复数在直角坐标系中表示出来，就得到了复数的几何表示，又类比原来学习过点与平面向量的对应关系，就可以得到复数的向量表示。用复平面内的点或平面向量表示复数，不仅使抽象的复数有了直观形象的表示，而且也使数和形得到了有机的结合。要掌握本节课的知识点，关键就是要能够将实数与数轴上的点的对应关系类比到复数与复平面中的点的对应关系。数形结合是本节的主要数学思想，理解复数的几何意义，图形要画得合乎题意，充分利用图形的直观性，简捷巧妙的解题。能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。本节课的教学重点是复数的向量表示，解决重点的关键是能将复平面内与复数对应的点先找出来，再利用点和向量的对应关系找出向量即可。  

【教学重点】

复数与直角坐标系中的点及平面向量之间的一一对应关系，复数的模、共轭复数等概念.

【教学难点】

复数的几何意义的理解.

【提出问题】

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．这说明了我们研究问题时要学会从代数和几何两个方面考虑问题。

我们知道，z=a+bi （a，b∈R）这种代数形式表示复数。

那么，从几何的角度怎样表示复数呢？

【解决问题】

根据复数相等的定义，复数z=a+bi被一个有序实数对（a，b）所唯一确定，而每一个有序实数对（a，b），在平面直角坐标系中又唯一确定一点Z（a，b）（或一个向量）。这就是说每一个复数对应着平面直角坐标系中唯一的一个点（或一个向量）；反过来平面直角坐标系中每一个点（或每一个向量），也对应着唯一的一个有序实数对.

【获得新知】

这样我们通过有序实数对，可以建立复数z=a+bi和点Z（a，b）（或向量）之间的一一对应关系。点Z（a，b）或向量是复数z的几何表示（如图）。

复数z=a+bi有序实数对（a，b）点Z（a，b）向量

知识点1：复平面

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。在复平面内x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。x轴的单位是1，y轴的单位是i.实轴与虚轴的交点叫做原点，原点（0，0）对应复数0。

注：

①实轴上的点都表示实数。

②除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数。

③任意一个实数a与x轴上的点（a，0）一一对应，任意一个纯虚数bi（b≠0）与y轴上的点（0，b）一一对应.

知识点2：复数的模

设复数z=a+bi （a，b∈R）对应的向量为，则向量的长度叫做复数a+bi的模（或绝对值），记作

|a+bi|，

如果b=0，则|a+bi|=|a|，这表明复数绝对值是实数绝对值概念的推广。

由向量长度的计算公式，

|a+bi|=.

知识点3：共轭复数

如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数。

复数z的共轭复数表示。当z=a+bi时，则=a-bi。

当复数z=a+bi的虚部b=0时有z=。也就是说，任意实数的共轭复数仍是它本身。

注：在复平面内表示两个共轭复数的点，关于实轴对称，并且他们的模相等

例1.设复数在复平面内对应的点为，对应的向量为,复数在复平面内对应的点为，对应的向量为，已知，关于虚轴对称，求，并判断和的大小关系.

解：由题意可知，

又因为，关于虚轴对称，所以

从而有，因此

又因为

所以：

例2．已知复数在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数允许的取值范围．

解：由　　得

数形结合思想

［变式一］已知复数在复平面内所对应的点在直线上，求实数的值．

解：∵在复平面内的点是

∴，

∴或．

［变式二］证明对一切，此复数所对应的点不可能位于第四象限．

证明：若复数所对应的点位于第四象限                

则　　即

∵不等式解集为空集

∴复数所对应的点不可能位于第四象限．

例3.若复数z1＝(x－3)＋(x+2y+1)i与z2＝2y＋i(x，y∈R)互为共轭复数，求x与y.

解：z2＝2y＋i(x，y∈R)的共轭复数＝2y-i(x，y∈R)

根据复数相等的定义，得

解这个方程组，得

例4.设复数z在复平面内对应的点为Z，说明当z分别满足下列条件时，点Z组成的集合是什么图形，并作图表示.

（1）     （2）

解：（1）由可知向量的长度等于2，即点Z到原点的距离始终等于2，因此，点Z组成的集合是圆心在原点，半径为2的圆，如图所示.

(2)不等式组等价于

又因

为满足的点Z的集合，是圆心在原点，半径为3的圆及其内部，而满足的点Z的集合，是圆心在原点，半径为1的圆的外部，所以满足条件的点Z组成的集合是一个圆环（包含外边界但不包括内边界），如图.

小结：

1.复数的几何意义：复数z=a+bi有序实数对（a，b）点Z（a，b）

2.复平面及相关概念

3.复数的模：|a+bi|=

4.共轭复数：=a-bi