人教B版 (2019)必修 第四册11.3.2 直线与平面平行第2课时教案

课程目标

学科素养

A..掌握直线与平面平行的性质定理，并能利用这两个定理解决空间中的平行关系问题．

B.利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题．

1.数学抽象： 直线与平面平行的性质定理

2.逻辑推理：判定定理与性质定理的关系

3.直观想象：在不同的几何模型中运用定理

4.数学建模：常见的直线与平面平行的证明方法

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、情境与问题

，你能得出什么性质呢？

   当 与没有公共点，此时，若，则，这就是说的与位置关系是异面或平行，那么情况下， 与平行呢？证明直线与平面平行？

证明：因为， 与没有公共点，

又因为，所以，

注意到且

所以与共面且没有公共点，即

直线与平面平行的性质定理

1.思考

(1)若直线a∥平面α,则直线a平行于平面α内的任意一条直线吗?

提示:不对.如在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥平面A1B1C1D1,但AB与A1D1不平行.

(2)若直线a与平面α不平行,则直线a就与平面α内的任一直线都不平行,对吗?

提示:不对.若直线a与平面α不平行,则直线a与平面α相交或a⊂α.当a⊂α时,α内有无数条直线与直线a平行.

做一做

1.如果直线a∥平面α,b⊂α,那么a与b的关系是 (        )

A.相交   B.平行或异面     C.平行   D.异面

答案:B

2.直线a∥平面α,α内有n条直线交于一点,则这n条直线中与直线a平行的直线有(　　)

A.0条   B.1条        C.0或1条 D.无数条

答案:C

3.如图所示,已知AB∥平面α,AC∥BD,且AC,BD与α分别相交于点C,D.

求证:AC=BD.

证明:如图所示,连接CD.

∵AC∥BD,∴AC与BD确定一个平面β,

又∵AB∥α,AB⊂β,α∩β=CD,∴AB∥CD.

∴四边形ABDC是平行四边形.

∴AC=BD.

【例1】　如图，AB，CD为异面直线，且AB∥α，CD∥α，AC，BD分别交α于M，N两点．求证：AM∶MC＝BN∶ND.

[证明]　连接AD交平面α于点E，连接ME和NE.

如图所示，

因为平面ACD∩α＝ME，CD∥α，

所以CD∥ME，所以＝.同理可得EN∥AB，

所以＝.所以＝，即AM∶MC＝BN∶ND.

利用线面平行的性质定理证明线线平行的四个步骤

(1)在已知图形中确定(或寻找)一条直线平行于一个平面．

(2)作出(或寻找)过这条直线且与这个平面相交的平面．

(3)得出交线．

(4)根据线面平行的性质定理得出结论．

跟踪训练1．求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．

[解]　已知：α∩β＝l，a∥α，a∥β，求证：a∥l.

证明：如图，过a作平面γ交α于b.

∵a∥α，∴a∥b.过a作平面ε交平面β于c.

∵a∥β，∴a∥c，∴b∥c.

又bβ且cβ，∴b∥β.

又平面α过b交β于l，∴b∥l.

∵a∥b，∴a∥l.

线面平行判定定理与性质定理的综合运用

【例2】．如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)是否都和平面α平行？

[提示]　平行．

2．若直线l∥平面α，则l平行于平面α内的所有直线吗？

[提示]　不是．

3．若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？这些平面与α的交线与直线a有什么关系？

[提示]　若a∥α，则过a且与α相交的平面有无数个．这些平面与α的交线与直线a之间相互平行．

【例3】　如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，点P∈BB1(P不与B，B1重合)，PA∩A1B＝M，PC∩BC1＝N.求证：MN∥平面ABCD.

[证明]　连接AC，A1C1在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四边形ACC1A1是平行四边形，所以AC∥A1C1，因为AC平面A1BC1，A1C1平面A1BC1，所以AC∥平面A1BC1，因为AC平面PAC，平面A1BC1∩平面PAC＝MN，所以AC∥MN.因为MN平面ABCD，AC平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.

利用线面平行的判定定理和性质定理的关键及思考方向

关键：是过直线作平面与已知平面相交．

思考方向：若条件中含有线线平行，可考虑线面平行的判定定理的条件；若条件中含有线面平行，可考虑线面平行的性质定理得线线平行．

通过对直线与平面平行判定定理的回顾，提出问题，引导学生思辨，推理论证，从而获得线面平行的性质定理。发展学生数学抽象和直观想象的核心素养。

通过定理思辨，提升学生对定理的准确理解和应用能力，发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。

通过典例分析，提高学生对线面平行证明的应用能力，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。

三、达标检测

1.已知直线l∥平面α,l⊂平面β,α∩β=m,则直线l,m的位置关系是(　　)

A.相交 B.平行   C.异面  D.相交或异面

解析:由直线与平面平行的性质定理知l∥m.

答案:B

2.直线l是平面α外的一条直线,下列条件中可能推出l∥α的是(　　)

A.l与α内的一条直线不相交

B.l与α内的两条直线不相交

C.l与α内的无数条直线不相交

D.l与α内的任意一条直线不相交

解析:由线面平行的定义知直线l与平面α无公共点,则l与α内的任意一条直线不相交.

答案:D

3.(多选题)已知直线a∥平面α,直线b∥平面α,则直线a,b的位置关系可能是(　　)

A.平行   B.异面      C.相交        D.以上都不对

答案:ABC

4.如图所示,直线a∥平面α,A∉α,并且a和A位于平面α两侧,点B,C∈a,AB,AC分别交平面α于点E,F,若BC=4,CF=5,AF=3,则EF=　　　　　. 

解析:由于点A不在直线a上,则直线a和点A确定一个平面β,

所以α∩β=EF.

因为a∥平面α,a⊂平面β,所以EF∥a.

所以.所以EF=.

答案:

5.如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,P为平面ABC外一点,E,F分别是PA,PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC的位置关系,并加以证明.

证明:直线l∥平面PAC,证明如下:

因为E,F分别是PA,PC的中点,所以EF∥AC.

又EF⊄平面ABC,且AC⊂平面ABC,

所以EF∥平面ABC.

而EF⊂平面BEF,且平面BEF∩平面ABC=l,

所以EF∥l.

因为l⊄平面PAC,EF⊂平面PAC,

所以l∥平面PAC.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学直观、逻辑推理、数学建模的核心素养。

四、小结

1．直线与平面平行的性质定理的理解

应用性质定理时，必须具备的三个条件

①直线l平行于平面α，即l∥α，

②直线l在平面β内，即lβ，

③两平面α与β相交，即α∩β＝m，这三个条件缺一不可．

2．证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“由已知想性质，由求证想判定”，是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段．

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。