人教B版 (2019)必修 第四册11.4.2 平面与平面垂直学案设计

11.4.2 平面与平面垂直(2)  

1.掌握面面垂直的性质定理．

2.灵活运用线面、面面垂直的判定定理和性质定理解决空间中的位置关系问题．

重点：掌握面面垂直的性质定理．

难点：灵活运用线面、面面垂直的判定定理和性质定理解决空间中的位置关系问题

                                       1.二面角

 2.平面与平面垂直

(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作α⊥β.

(2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，如图所示．

(3)面面垂直的判定定理

(4)面面垂直的性质定理

一、情境与问题

平面与平面垂直的性质定理:

如果平面与平面相互垂直，能得出什么性质呢？

面面垂直的性质定理

 例1.如图所示，已知，在与的交线上取线段，且分别在平面和平面内，它们都垂直于交线，并且，求的长。

例2. 如图，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，

求证：BC⊥AC．

  1．平面与平面垂直的性质定理的三个作用

(1)证明直线与平面垂直．

(2)证明直线与直线平行．

(3)作平面的垂线．

2．垂直间的相互转换

跟踪训练1. 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.

(1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD；

(2)求证：AD⊥PB.

平面与平面垂直的判定和性质定理综合应用

例3.如图所示，已知中，，是斜边上的高，如图所示，以AD为折痕将折起，

使为直角，在图（2）中，求证：

（1）面面BDC，面面BDC；

（2）

线面、面面垂直的综合问题的解题策略

(1)重视转化

涉及线面垂直、面面垂直的综合问题的解题关键是转化，即证面面垂直，转化为证线面垂直；证线面垂直转化为证线线垂直．

(2)充分挖掘线面垂直关系

解答线面垂直、面面垂直的综合问题时，通常要先证出一个关键的线面垂直关系，由此出发才能证出其他线线垂直、线面垂直关系，因此要注意线面垂直在解题过程中的枢纽作用．

跟踪训练2. 如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E为AD的中点．求证：

(1)EN∥平面PDC；

(2)BC⊥平面PEB；

(3)平面PBC⊥平面ADMN.

1．下列命题中错误的是(　　)

A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ

D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

2．下列四个命题中，正确的序号有________．

①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；

②α∥β，β∥γ，则α∥γ；

③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ；

④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ.

3.如图,AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,平面PAC⊥平面ABC.

(1)判断BC与平面PAC的位置关系,并证明.

(2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系.

4.如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为AB的中点，N为BC的中点，沿DE将△ADE折起．

若平面ADE⊥平面BCDE，求证：AB＝AC．

1．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：

(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．

2．面面垂直的判定和性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内

在联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：

参考答案：

知识梳理

学习过程

平面与平面垂直的性质定理:

证明：如图所示，设，过O在平面内作与垂直的直线OB，

则为二面角的平面角。

因为，所以，因此 

又因为且，所以

例1.解：连接

因为，所以

又因为，所以，因此是直角三角形

在中，有

进而在中，有

例2.

证明　过A作AE⊥PC于E，由平面PAC⊥平面PBC，

且平面PAC∩平面PBC＝PC，可知AE⊥平面PBC．

又BC⊂平面PBC，故AE⊥BC．

又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，故PA⊥BC．

∵PA∩AE＝A，PA，AE⊂平面PAC．∴BC⊥平面PAC．

又AC⊂平面PAC，故BC⊥AC．

跟踪训练1.

 [思路探究]　(1)―→

―→

(2)要证AD⊥PB，只需证AD⊥平面PBG即可．

[证明]　(1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，

由已知∠DAB＝60°，

∴△ABD为正三角形，∵G是AD的中点，∴BG⊥AD.

∵平面PAD⊥平面ABCD，

且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.

(2)如图，连接PG.

∵△PAD是正三角形，G是AD的中点，

∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD.又∵PG∩BG＝G.

∴AD⊥平面PBG.

而PB平面PBG，∴AD⊥PB.

例3.

证明：（1）由已知有，因此在图（2）中，有面

又因为面，所以面面

同理，面面

（2）因为，所以图（1）中，有 ，从而

因此图（2）中是等腰直角三角形，所以

，从而，所以 

跟踪训练2.

[思路探究]　(1)证明EN∥DM；(2)由AD∥BC可证AD⊥平面PEB；(3)利用(2)可证PB⊥平面ADMN.

[证明]　(1)因为AD∥BC，BC平面PBC，AD平面PBC，所以AD∥平面PBC.

又因为平面ADMN∩平面PBC＝MN，所以AD∥MN.

又因为BC∥AD，所以MN∥BC.

又因为N是PB的中点，所以点M为PC的中点．

所以MN∥BC且MN＝BC，

又因为E为AD的中点，所以MN∥DE，且MN＝DE.

所以四边形DENM为平行四边形．

所以EN∥DM，且EN平面PDC，DM平面PDC.

所以EN∥平面PDC.

(2)因为四边形ABCD是边长为2的菱形，

且∠BAD＝60°，所以BE⊥AD.

又因为侧面PAD是正三角形，且E为AD中点，

所以PE⊥AD，BE∩PE＝E，所以AD⊥平面PBE.

又因为AD∥BC，所以BC⊥平面PEB.

(3)由(2)知AD⊥平面PBE，

又PB平面PBE，所以AD⊥PB.

又因为PA＝AB，N为PB的中点，所以AN⊥PB.

且AN∩AD＝A，所以PB⊥平面ADMN.

又因为PB平面PBC. 所以平面PBC⊥平面ADMN.  

达标检测

1．D　[如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D项叙述是错误的．]

2． ①②　[③④不正确，如图所示，α⊥β，γ⊥β，但α，γ相交且不垂直．]

3.解:(1)BC⊥平面PAC.

证明:因为AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,所以∠ACB=90°,所以BC⊥AC.

又因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,BC⊂平面ABC,所以BC⊥平面PAC.

(2)因为BC⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAC.

4. 证明　(1)取DE的中点M，连接AM，

∵在翻折前，ABCD为矩形，AB＝2AD，E为AB的中点，

∴翻折后AD＝AE，且AM⊥DE，

又平面ADE⊥平面BCDE，∴AM⊥平面BCDE，

∴AM⊥BC，又N为BC的中点，∴MN⊥BC，∵AM∩MN＝M，

∴BC⊥平面AMN，∴BC⊥AN，

又N为BC的中点，∴AB＝AC．