人教B版 (2019)必修 第四册10.2.2 复数的乘法与除法学案

10.2.2 复数的乘法和除法（2）

【学习重点】 

共轭复数的性质、复数的正整数指数幂的运算律、实系数一元二次方程的解

【学习难点】

用类比思想从实数的有关性质探讨复数的相应有关性质。

问题1：共轭复数的性质

例1.计算

⑴            

⑵                 

⑶             

共轭复数的性质：

（1）=           =               ，特别的，当时，        

（2）        

（3）        

变式训练：

1．复数满足：（为虚数单位），为复数的共轭复数，则下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数满足，且，则（    ）

A．3 B． C． D．

3．设有下面四个命题

：若复数满足，则；

：若复数满足，则；

：若复数满足，则；

：若复数，则.

其中的真命题为

A． B．

C． D．

问题2：复数的正整数指数幂

定义：n个相同的复数相乘时，仍称为的次方（或n次幂），并记作，

复数的正整数指数幂运算律：

（1）                     

（2）                     

（3）                     

例2：（1）计算             ，       

根据计算结果得出

         =        =        =          

练习：（1）  

（2）=          

（3）计算： ，

（4）设，计算：的值

变式：

1．若复数满足是虚数单位），则的共轭复数(    )

A． B． C． D．

2．已知是虚数单位，且，则（     ）

A． B． C． D．

3．设，则可取的值有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个

问题3：实系数一元二次方程的解m]

对实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a、b、c∈R，且a≠0)

⊿判别式：当⊿＝b2－4ac＞0时，方程有两个不等的实数根；

当⊿＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；

当⊿＝b2－4ac＜0时，方程有没有实数根。

韦达定理：设方程的两个根为x1、x2，则有x1＋x2＝－，x1·x2＝

求根公式：当⊿＞0时，方程两根为x＝

思考：在复数集范围内是否仍然成立？

方程有一对共轭虚根：                                    

仍然满足韦达定理：x1＋x2＝         ，x1·x2＝             

例3.在复数集中解方程： x2－4x＋8＝0

例4.已知时关于x的方程的根，求实数a的值.

变式：

已知关于x的方程的两个根是、.

（1）若为虚数且，求实数p的值；

（2）若，求实数p的值.