高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.1.5 旋转体导学案

11.1.5　旋转体 

1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义．

2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．

3.能够根据圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征识别和区分几何体．

4.会作旋转体的轴截面，并利用轴截面解决问题．

重点：了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义及其结构特征

难点：能够根据圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征识别和区分几何体

1．圆柱的结构特征

2.圆锥的结构特征

3.圆台的结构特征

4.轴截面

在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面通常简称为轴截面，圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形．

5．旋转体的侧面积与全面积

(1)旋转体侧面的面积称为旋转体的侧面积，侧面积与底面积之和称为旋转体的表面积(或全面积)．

(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式

6.球的结构特征

7.球的表面积S＝4πR2.

思考：等边三角形绕其一边的中线所在直线旋转半周形成的面所围成的几何体是什么几何体？

[提示]　圆锥．

试一试

1．已知两个球的半径之比为1∶2，则这两个球的表面积之比为(　　)

A．1∶2　　　　　B．1∶4          C．1∶6        D．1∶8

2．圆锥的母线长为10，底面半径为6，则其高等于(　　)

A．6             B．8　　　　     C．10　　　    D．不确定

3．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边所在直线为轴旋转，所形成几何体的侧面积之比为(　　)

A．1∶2　　　　B．1∶1            C．1∶4       D．1∶3

4．有下列说法：

①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；

②球的直径是球面上任意两点间的连线；

③用一个平面截一个球，得到的是一个圆．

其中正确说法的序号是________．

一、    情境与问题

1：圆柱、圆锥、圆台

从生活中的一些物体可以抽象出圆柱、圆锥、圆台，如图所示，观察它们的结构，总结出形成圆柱、圆锥、圆台的方式。

1：圆柱

以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体称为圆柱．如图(1)．

2：圆锥

以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体称为圆锥．如图(2)．

3：圆台

以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体称为圆台．如图(3)．

4：旋转体 

(1)定义：用类似圆柱、圆锥、圆台的形成方式构成的几何体都是旋转体．

(2)有关概念：旋转轴称为旋转体的轴，

在轴上的边(或它的长度)称为旋转体的高，

垂直于轴的边旋转而成的圆面称为旋转体的底面，

不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为旋转体的侧面.

无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都称为母线．

5：轴截面

在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面通常简称为轴截面．

如圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形.

例1.写出圆台中任意两条母线的位置关系，任意一条母线与底面的位置关系，以及两个底面的位置关系。

圆台是否可以看成用平面截圆锥得到的几何体？

跟踪训练1．圆柱的母线长为10，则其高等于(　　)

A．5　　B．10　　C．20　　D．不确定

2．圆锥的高与底面半径相等，母线等于5，则底面半径等于________.

2：圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积

1：旋转体的侧面积

旋转体侧面的面积称为旋转体的侧面积．

2：旋转体的表面积

侧面积与底面积之和称为旋转体的表面积(全面积)．

为了求圆柱、圆锥、圆台的表面积，分别需要知道哪些条件？怎样求出它们的表面积？

3：圆柱的底面积、侧面积、表面积

底面积：S底＝πr2

侧面积：S侧＝2πrl

表面积：S＝2πr2＋2πrl

4：圆锥的底面积、侧面积、表面积

底面积：S底＝πr2

侧面积：S侧＝πrl

表面积：S＝πr2＋πrl

5：圆台的底面积、侧面积、表面积

上底面面积：S上底＝πr′2

下底面面积：S下底＝πr2

侧面积：S侧＝π(r＋r′)l

表面积：S＝πr2＋πr′2＋π(r＋r′)l

1．圆柱OO′的底面直径为4，母线长为6，则该圆柱的侧面积为________，表面积为________.

2．如图，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的侧面积为________.

3：球

1：球的定义

一个半圆绕着以它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面称为球面；球面围成的几何体，称为球．

     日常生活中的很多物体都可以抽象成球面，如图所示，

（1）从数学的角度应该怎样来刻画球面呢？圆可以看成平面上到定点的距离等于定长的点的集合，球面上的点是否有类似的性质？

（2）球面可以通过什么图形旋转得到？

2：球的相关概念

形成球面的半圆的圆心称为球的球心，连接球面上一点和球心的线段称为球的半径，

连接球面上两点且通过球心的线段称为球的直径．

如图所示的球中，点O是球心，OA，OB，OC都是球的半径，AB为球的直径，如果

，则

3：球的表示方法

用表示它的球心的字母来表示，如球O.

球面可以看成空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合．

4：球的截面

(1)球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆．此时，大圆的半径等于球的半径.

(2)球面被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆．

       当用刀去切一个球形的西瓜时（如图所示），所得到的截面是什么形状？一般地，如果用一个平面与球面相截（如图所示），所得交线的形状是怎样的？

如图，设OO′＝d，球的半径为R，则小圆的半径＝.

1．下列命题正确的个数是(　　)

①球的半径是球面上任一点与球心的连线段的长；

②球的直径是球面上任意两点间的连线段；

③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；

④用一个平面截一个球，得到的截面是圆面．

A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

例2. 一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．

（3）当把地球看成一个球时，经线就是球面从北极到南极的半个大圆；赤道是一个大圆，

其余的纬线都是小圆。经度（取值区间为）与纬度（取值区间为），

如图所示.

例3.把地球看成一个半径为6370Km的球，已知我国首都北京靠近北纬，求北纬纬线的长度。（ 结果精确到1Km）

5：球的表面积

如果设球的半径为R，那么球的表面积为S＝4πR2

       我们知道，如果一个圆的半径为，那么它的周长为2，它的面积为，如果球的半径为R，你能猜出球的面表面积与中哪一个成正比吗？

例4.已知一个长方体的8个顶点都在一个球面上，且长方体的棱长为3，4，5，求球的表面积.

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)矩形绕其一边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是圆柱．  (　　)

(2)以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台． (　　)

(3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． (　　)

2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是(　　)

A．圆柱　　　　　B．圆锥      C．圆台       D．两个圆锥

3．关于圆台，下列说法正确的是________．

①两个底面平行且全等；

②圆台的母线有无数条；

③圆台的母线长大于高；

④两底面圆心的连线是高．

4．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm.

5．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q，求此圆柱的底面半径．

6.（1）若棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球面上，求此球的表面积．

（2）将条件改为“球与棱长为2的正方体的面都相切”，如何求解？

1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．

2．旋转体的轴截面中有母线、底面半径、高等主要元素，因而，在涉及这些元素的计算时，通常利用轴截面求解．在圆台的轴截面中，将等腰梯形的两腰延长，在三角形中可借助相似求解．这种立体问题平面化是解答旋转体中计算问题最常用的方法．

3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键．

4．球的轴截面图形，球半径、截面圆半径、球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法．

5．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．

参考答案：

知识梳理

试一试

1．B　[＝＝＝＝.]

2． B　[由圆锥的轴截面可知，圆锥的母线、底面半径与高构成直角三角形，所以其高为＝8.]

3．B　[以边长为1的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S1＝2π×2×1＝4π，以边长为2的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S2＝2π×1×2＝4π，故S1∶S2＝1∶1，选B.]

4． ①　[利用球的结构特征判断：①正确；②不正确，因为直径必过球心；③不正确，因为得到的是一个圆面．]

学习过程

答：圆台可以看出平行于圆锥底面的平面截圆锥所得到的几何体.

例1. 解：圆台中任意两条母线都相交，任意一条母线与底面都相交，两个底面相互平行.

跟踪训练1．答案：B　圆柱的母线长与高 相等，则其高等于10.

2.答案：5　圆锥的轴截面如图所示，

由图可知，底面半径r＝，∴r＝5.

1．答案　24π　32π

2．

答案　2π

1． 答案：C　命题①是正确的；

命题②是错误的，只有两点的连线段经过球心时才为直径；命题③是错误的，

命题④是正确的，截面为圆面(圆及其内部)而不是圆．

例2. 解　(1)当截面在球心的同侧时，

如图①所示为球的轴截面，由截面性质知AO1∥BO2，

O1，O2为两截面圆的圆心，且OO1⊥AO1，OO2⊥BO2，

设球的半径为R，

∵π(O2B)2＝49π，∴O2B＝7 cm，

同理得：O1A＝20 cm.

设OO1＝x，则OO2＝(x＋9) cm，

在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202，①

在Rt△OO2B中，R2＝72＋(x＋9)2，②

联立①②可得x＝15，R＝25.

∴S球＝4πR2＝2 500π cm2，

故球的表面积为2 500π cm2.

(2)当截面在球心的两侧时，如图②所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥O1A，

OO2⊥O2B．

设球的半径为R，

∵π·(O2B)2＝49π，∴O2B＝7 cm.

∵π·(O1A)2＝400π，∴O1A＝20 cm.

设O1O＝x cm，则OO2＝(9－x) cm.

在Rt△OO1A中，R2＝x2＋400.

在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋49.

∴x2＋400＝(9－x)2＋49，

解得x＝－15，不合题意，舍去．

综上所述，球的表面积为2 500π cm2.

例3.解：作出界面图，如图所示，设A是北纬圈上的一点，AK是北纬圈的半径，

O为球心，所以。

设北纬的纬线长为，因为，所以

例4.问题提示：

（1）你能画出合适的图形来表示上述题目中的关系吗？

（2）如图所示是一个长方体，你能在空间中找出一点，使它到长方体的8个顶点的距离都相等吗？

解：由题设可知，长方体的体对角线的中的就是球心，又因为：

所以所求的球的表面积为：

解：由题设可知，长方体的体对角线的中的就是球心，又因为：

所以所求的球的表面积为：

达标检测

1．[解析]　(1)正确；(2)错误，应以直角梯形的垂直于底边的腰为轴；(3)错误，应是平面与圆锥底面平行．[答案]　(1)√　(2)×　(3)×

2． D　[连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥．]

3． ②③④　[圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则①不正确，②③④正确．]

4． 10　[如图是圆锥的轴截面，则SA＝20 cm，∠ASO＝30°，∴AO＝10 cm，SO＝10 cm.]

5． [解]　设圆柱底面半径为r，母线为l，则由题意得

解得r＝. 所以此圆柱的底面半径为.

6.（1）解　正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图，

所以正方体的外接球直径等于正方体的对角线长，即2R＝，所以R＝.

∴球的表面积S＝4π×()2＝12π.

（2）

解　正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个

面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图，

所以球的直径是正方体的棱长，即2R＝2，∴R＝1，

∴球的表面积S＝4π×12＝4π.