人教B版 (2019)必修 第四册9.1.2 余弦定理第2课时教案设计

9.1.2余弦定理（2）

本节课是余弦定理的第二课时，第一课时通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握了余弦定理的两种表示形式及三种证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。本课时进一步运用余弦定理的边角互化功能来解决三角形形状判定和几何计算有关的实际问题，通过三角函数、余弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一，培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力.

【教学重点】

利用余弦定理的边角互化功能判定三角形形状，解决三角形，四边形中的边长、角度、面积问题，与其他知识，如三角函数，向量的综合问题

【教学难点】

余弦定理的综合应用

复习回顾：

1.余弦定理：

，，

2. 变形：     

3. 余弦定理的应用：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角

典型例题：

例1.在中，已知用两种方法判断该三角形的形状.

【解】方法1o（余弦定理）得a=b

c= 

是等腰三角形或直角三角形.

方法2o（正弦定理）得sinAcosA=sinBcosB,  sin2A=sin2B, 2A=2B,或2A+2B=180

A=B或A+B=90 是等腰三角形或直角三角形.

注：判断该三角形的形状一般都有“走边”或“走角”两条路，利用余弦或者正弦定理进行边角互化.

【变式练习】

1.在△ABC中，若（a＋b＋c）（b＋c－a）＝3bc，并且sinA＝2sinBcosC，试判断△ABC的形状.

【解】由已知条件（a＋b＋c）（b＋c－a）＝bc及余弦定理得 

cosA＝＝ 

∴A＝60°

又由已知条件sinA＝2sinBcosC

得sin（B＋C）＝sin（B＋C）＋sin（B－C）

∴sin（C－B）＝0，∴B＝C   于是有A＝B＝C＝60°，

故△ABC为等边三角形.

2. 在△ABC中，设，且，请判断三角形的形状。

【解】由,

即而，

得

而由

得

而，

∴三角形为等边三角形。

例2.如图所示平行四边形ABCD中，已知，求四边形ABCD的面积.

【解】连接A，C如图所示。

再中分别使用余弦定理可得：

又因为，所以，因此

解得：，因此

从而可知四边形的面积为：

注：与平面多边形有关的问题，可以转化为三角形中的边或角问题，借助余弦定理或正弦定理来解决。

【变式练习】

1.在四边形ABCD中，ADB=BCD=75，ACB=BDC=45，DC=，求：

（1）          AB的长

（2）          四边形ABCD的面积

【解】（1）因为BCD=75，ACB=45，

所以ACD=30 ，又因为BDC=45，

所以DAC=180-（75+ 45+ 30）=30， 所以， AD=DC=

在BCD中，CBD=180-（75+ 45）=60，所以= ，

BD = = 

在ABD中，AB=AD+ BD-2ADBDcos75= 5,所以， AB=

（2）S=ADBDsin75=    同理， S=

所以四边形ABCD的面积S= 

2. 如图，是中边上的中线，求证：．

【证明】

设，则．在中，

由余弦定理，得

．

在中，由余弦定理，

得

因为，

所以，

因此， ．

例3.在中，求证：.

【证明】如图所示，

因此：

又由图可知

所以：

即：

注：（1）上述结果也可以用向量数量积的几何意义来解释，事实上，是在上的投影的数量之和。

（2）同理可得：

（3）结合三个等式也可以证明余弦定理，同学们可自行尝试.

【变式练习】

1. 在ABC中，求证：

【解】根据余弦定理的推论，

右边=2(bc+ca+ab)

=(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)=a+b+c=左边

2. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，，，证明：。

【证明】由余弦定理知：，

则， 整理得: ，

又由正弦定理得:，    ，

例4. 已知△ABC中，a＝2，c＝1，求角C的取值范围.

【解】由三角形三边关系得b＜a＋c＝3

b＞a－c＝1    ∴1＜b＜3

由c2＝a2＋b2－2abcosC，得b2－4bcos2C＋3＝0  

由Δ≥0，得cos2C≥

∴0＜C≤.

【变式练习】

1. 在△ABC中，已知：c4－2(a2＋b2)c2＋a4＋a2b2＋b4＝0，求角C.

【解】∵c4－2(a2＋b2)c2＋a4＋a2b2＋b4＝0，

 ∴［c2－(a2＋b2)］2－a2b2＝0，

∴c2－(a2＋b2)＝±ab，

cosC＝＝±，

∴C＝120°或C＝60°.

例5. 在中，角所对的边分别为，且满足，． 

（I）求的面积；   （II）若，求的值．

【解】（1）因为，

，

又由  得，

（2）对于，又，

或，

由余弦定理得，  

【变式练习】

在△ABC中，=，=，且，是方程的两根，。

(1)求角C的度数；    (2)求的长；  (3)求△ABC的面积。

【解】(1)

 （2）因为，是方程的两根，所以

 （3）

小结：

1.利用余弦定理的边角互化功能判定三角形形状，解决三角形，四边形中的边长、角度、面积问题

2.余弦定理与其他知识，如三角函数，向量的综合应用.