高中数学11.1.2 构成空间几何体的基本元素学案及答案

11.1.2  构成空间几何体的基本元素

1.以长方体的构成为例，认识构成几何体的基本元素，体会空间中的点、线、面与几何体之间的关

系．

2.初步了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系．

3.理解平面的无限延展性，学会判断平面的方法．

重点：以长方体的构成为例，认识构成几何体的基本元素，体会空间中的点、线、面与几何体之间

的关系．

难点：理解平面的无限延展性，学会判断平面的方法．

1．用运动的观点理解空间基本图形之间的关系

曲线；曲线的一段

平面

2．构成空间几何体的基本元素____、   、   是构成空间几何体的基本元素．

点；线；面

(3)面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体．

3．点、直线、平面之间的位置关系及其表示方法

(1)直线在平面内的概念

如果直线l上的         都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.

所有点

(2)常见的文字语言、符号语言与图形语言的对应关系

A∈l ；A∈α；Al；Aα

lα；lα；l∩m＝A ；l∩α＝A；α∩β＝l

4.空间两条直线的位置关系

一个；无；平行；相交；无

5.直线与平面的位置关系

6.两个平面的位置关系

无数；0

7.直线与平面垂直

(1)定义：一般地，如果直线l与平面α相交于一点A，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有     ，则称直线l与平面α垂直(或l是平面α的一条垂线，α是直线l的一个垂面)，记作     ，其中点A称为垂足．

l⊥α；l⊥m

(2)点到平面的距离由长方体可以看出，给定空间中一个平面α及一个点A，过A可以作而且只可以作平面α的一条垂线．如果记垂足为B，则称B为A在平面α内的射影(也称为投影)，线段AB为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的距离．

(3)直线到平面的距离与两平行平面之间的距离

当直线与平面平行时，直线上        到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；当平面与平面平行时，一个平面上         到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离．

任意一点；任意一点

试一试

1．下列说法：

①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；

②一个几何体可以没有顶点；

③一个几何体可以没有棱；

④一个几何体可以没有面．

其中正确的个数是(　　)

A．1    B．2　C．3　　   D．4

2．下列关于长方体的叙述不正确的是(　　)

A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体

B．长方体中相对的面都相互平行

C．长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离

D．两底面之间的棱互相平行且等长

3．下列说法正确的是________．

(1)长方体是由六个平面围成的几何体；

(2)长方体可以看作一个矩形ABCD上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形A′B′C′D′所围成的几何体；

(3)长方体一个面上的任一点到对面的距离相等．

4．如图，在正四棱柱(侧面为矩形，底面为正方形的棱柱)ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是________．

(1)EF与BB1垂直；(2)EF与BD垂直；(3)EF与CD异面；(4)EF与A1C1异面．

一、    情境与问题

问题1：空间中的点、线、面

1：空间几何体的基本元素

长方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体（几何体也简称为“体”），包围着几何体的都是“面”，面与面相交给人“线”的形象，线与线相交给人“点”的形象。

点、线、面是构成空间几何体的基本元素.

2：点、线、面运动的轨迹

点运动的轨迹是线、线运动的轨迹是面、面运动的轨迹是体.

       如图，塔的侧面可以看出一条线段运动的结果；

水平放置的长方体，可以看出一个底面沿垂直方向运动的结果.

例1：如图所示的长方体中，

8个顶点可表示为：

12条棱可以表示为：

6个面可以表示为：

长方体可以表示为：

用身边的物体演示图中塔的侧面的形成过程，以及图所示的长方体的形成过程，并思考几何体中点、线、面之间的关系，能否用数学符号符号来表示。

3：点、线、面的表示方法

(1)点用大写英文字母表示，如点A，点B，点A1，…；

(2)直线用该直线上的两个点表示，如直线AB，直线A1B1，…，

也可以用小写英文字母表示，如直线l，直线m，…；

(3)平面用该平面内不共线的3个或3个以上的点表示，如长方形ABCD所在的平面

可记作面ABC，或面ABD，或面ABCD．也可用小写希腊字母α，β，γ，…表示．

跟踪训练：根据如图所示的棱柱中，回答下列问题：

(1)6个顶点可表示为____________________；(2)9条棱可以表示为____________________；

(3)5个平面可以表示为___________________；(4)棱柱可以表示为______________________．

问题2：空间中点与直线，直线与直线的位置关系

空间中的一条直线可看出这条直线上所有点组成的集合，从而也就能用集合符号来表示空间中点与直线、直线与直线的关系.

例2：如图中的长方体，

（1）直线AB可简记为l，此时，A，B都是l上的点，且都不是l上的点，

这可用符号简写为：

（2）如果记图中顶点确定的直线为m,顶点确定的直线为k,

则有m与l相交（即有公共点），k与l不相交（即没有公共点），这可

分别表示为：

（3）因为m与l相交于点B，所以，一般简写为：

1：异面直线

一般地，空间中的两条直线，可以既不平行，也不相交，

此时称这两条直线异面.

上图中，直线l与k异面.

2：直线与直线的位置关系

如果a,b是空间中的两条直线，则与，有且仅有一种情况成立，

而且当时，a与b要么平行（记作），要么异面.

       同一平面内的两条直线，如果不相交，就一定平行，这一结论可以推广到空间中的两条直线吗？结合图总结空间中两条直线的位置关系。

问题3.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

例3：下图所示的长方体中：

（1）面ABCD可以记为，此时，A是平面内的点，不是平面内的点，

这可用符号简写为：

（2）点A，B确定的直线上的所有点都在平面内，这称为直线l在平面内

（或平面过直线l）,

（3）点确定的直线m上至少有一个点不在平面内，

这称为直线m在平面外，记作：

直线m与有且只有一个公共点（称为直线,与平面相交），

即,一般简写为：

（4）记图中长方形所在的平面为，点A，D确定的直线为，则与有公共点，

这称为平面与平面相交，记作：，

进一步，一个点是与的公共点，当且仅当这个点在直线k上，这可记作：.

1:直线与平面的位置关系

一般地，如果l是空间中的一条直线，是空间中的一个平面，则：与有且仅

有一种情况成立.

（1）当时，要么，要么l与只有一个公共点；

（2）当时，称直线l与平面平行，记作：.

结合图，总结空间中直线与平面的位置关系，以及平面与平面的位置关系。

2：平面与平面的位置关系

如果与是空间中的两个平面，则 与有且仅有一种情况成立。

（1）当时，与的公共点组成一条直线；

（2）当时，称平面与平面平行，记作：.

例4．思考辨析

(1)直线l在平面α内，记作l∈α.(　　)

(2)若a∩b＝∅，则a与b平行．(　　)

(3)若l∩α≠∅，则直线l与平面α有公共点．(　　)

(4)若直线l在平面α外，则直线l与平面α平行．(　　)

(5)若α∩β≠∅，则平面α与平面β相交，且交于一个点．(　　)

例5.根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．

(1)点P与直线AB；   (2)点C与直线AB；    (3)点M与平面ABCD；

(4)点A1与平面ABCD；        (5)直线AB与直线BC；

(6)直线AB与平面ABCD；      (7)平面A1ABB1与平面ABCD．

问题4.直线与平面垂直

由观察可知，图中，不管直线的具体位置如何，只要平面ABCD，则一定有.

观察图中的长方体
(1) 是否垂直，与是否垂直并说明理由;
(2) 判断与AC是否垂直;
(3) 若直线在平面ABCD内，且过点A，判断与是否垂直.

8：直线与平面垂直的定义

一般地，如果直线l与平面相交于一点A，且对平面内任意一条过点A的直线m，都有，

则称直线l与平面垂直（或l是平面的一条垂线，是直线l的一个垂面），记作），

其中点A称为垂足.

因此，图中长方体中，有平面ABCD，类似的，

有平面平面.

9：点到平面的距离

给定空间中一个平面以及一个点A，过A可以作而且只可以作平面的一条垂线。如果记垂足为B，则称B为A在平面内的射影（也称为投影），线段AB为平面的垂线段，AB的长为点A到平面的距离.

10.直线到平面的距离

特别的，当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；

11：平行平面间的距离

当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为两平行平面之间的距离.

因此，点到面ABCD的距离等于线段的长，直线到面ABCD的距离

等于线段的长，面与面ABCD之间的距离等于的长.

例6.下列命题中正确的个数是(　　)

①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；

②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；

③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；

④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．

A．0           B．1               C．2            D．3

例7.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6 cm，BC＝4 cm，AA1＝3 cm，则

(1)点A到平面DCC1D1的距离为________；

(2)直线AA1到平面BCC1B1的距离为________；

(3)平面ABCD与平面A1B1C1D1之间的距离为________.

1.点P在直线a上，直线a在平面α内可记为(　　)

A．P∈a，aα　　　     B．Pa，aα

C．Pa，a∈α          D．P∈a，a∈α

2．已知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系：

(1)点C与平面β：________.

(2)点A与平面α：________.

(3)直线AB与平面α：____________.

(4)直线CD与平面α：__________.

(5)平面α与平面β：__________.

3．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　　)

A．异面或平行            B．异面或相交

C．异面                  D．相交、平行或异面

4.给出下列四个命题：

①若直线l∩m＝∅，则l与m平行；②若直线a在平面α外，则a∥α；

③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；④若m⊂α，m∩β＝M，

那么平面α与平面β相交，其中真命题的个数为(　　)

A．1　　B．2　　C．3　　D．4

5.下面叙述中：

①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；

②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；

③若直线l是平面α的一条垂线，则直线l垂直于平面α内的所有直线；

④若直线l垂直于平面α，则称平面α是直线l的一个垂面．

其中正确的有(　　)

A．1个          B．2个        C．3个       D．4个

6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线、平面间的位置关系：

①A1B与D1C________；            ②A1B与B1C________；

③D1D与平面BCC1B1________；    ④AB1与平面BCC1________；

⑤平面ABB1与平面DCC1_________；     ⑥平面ABB1与平面DD1A1________.

7．线段AB长为5 cm，在水平面上向右移动4 cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为C′D′，再将C′D′沿水平方向向左移动4 cm后记为A′B′，依次连接构成长方体ABCD­A′B′C′D′.

(1)该长方体的高为________cm；

(2)平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为________cm；

(3)点A到平面BCC′B′的距离为________cm.

1．空间中的两条直线a，b的位置关系：

2．直线a与平面α的位置关系：

3．平面α与平面β的位置关系

4．直线与平面垂直：

(1)定义．

(2)点面距：若点A是平面α外一点，AB⊥α，B为垂足，则线段AB的长为点A到平面α的距离．

(3)线面距、面面距转化为点面距．

参考答案：

知识梳理

试一试

1．B　[球只有一个曲面围成，故①错，②对，③对，由于几何体是空间图形，故一定有面，④错．]

2． A　[A中只有移动相同距离才能形成长方体．]

3． (2)(3)　[(1)错．因长方体由6个矩形(包括它的内部)围成，注意“平面”与“矩形”的本质区别；(2)正确；(3)正确．]

4． (4)　[连接A1B(图略)，∵E，F分别是AB1，BC1的中点，∴EF是△A1BC1的中位线，∴EF∥A1C1，故(1)(2)(3)正确，(4)错误．]

学习过程

例1： 8个顶点可表示为：

12条棱可以表示为：

6个面可以表示为：

长方体可以表示为：

跟踪训练：答案　(1)A，B，C，A1，B1，C1　(2)AB，BC，AC，AA1，BB1，CC1，A1B1，B1C1，A1C1　

(3)面ABC，面A1B1C1，面AA1B1B，面BB1C1C，面AA1C1C　(4)棱柱ABC－A1B1C1

例2：如图中的长方体，

（1）符号简写为：；（2）表示为：

（3）简写为：

例3：下图所示的长方体中：

（1）；（2）记作：；

（3）记作：.简写为：；（4）记作：，可记作：.

例4．答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　 (5)×

例5. 解　(1)点P∈直线AB；        (2)点C∉直线AB；      (3)点M∈平面ABCD；

(4)点A1∉平面ABCD；              (5)直线AB∩直线BC＝点B；

(6)直线AB⊂平面ABCD；       (7)平面A1ABB1∩平面ABCD＝直线AB．

例6.解：B　当α内的无数条直线平行时，l与α不一定垂直，故①不对；

当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与α垂直，故②不对；

当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③不对；④正确．

例7.解：(1)4 cm　(2)6 cm　(3)3 cm　

达标检测

1.A　[由点与直线的位置关系表示方法及直线与平面之间位置关系的表示可知点P在直线a上表示为P∈a，直线a在平面α内可表示为aα，故A正确．]

2．[答案]　(1)Cβ；　(2)Aα；　(3)AB∩α＝B；(4)CDα；　(5)α∩β＝BD

3． D　[可参考长方体中各条线的位置关系判断．]

4.解答：A;对于①，直线l∩m＝∅，即直线l与直线m没有公共点，l与m可能平行，也可能异面，∴l不一定与m平行．故①错．

对于②，直线a在平面α外包括两种情形：a∥α，a与α相交，故②错．

对于③，由直线a∥b，b⊂α，只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，故③错．

对于④，∵m⊂α，m∩β＝M，∴点M∈α，M∈β，故平面α与平面β相交，故④正确．

5. 解：C　①中若两条直线为平行直线，则这条直线不一定与平面垂直，所以不正确；由定义知②③④正确．

6.答案　①平行　②异面　③平行　④相交　⑤平行　⑥相交

7．(1)3　(2)4　(3)5　

[如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝5 cm，BC＝4 cm，CC′＝3 cm，

∴长方体的高为3 cm；平面A′B′BA与平面CDD′C′之间的距离为4 cm；点A到平面BCC′B′的距离为5 cm.]