人教B版 (2019)必修 第四册9.2 正弦定理与余弦定理的应用第2课时教案

9.2正弦定理与余弦定理的应用（2）

本课时是正弦定理与余弦定理应用的第2课时，在上一节探讨了正弦定理与余弦定理在实际问题中的距离，高度，角度等问题应用的基础上，进一步探讨正、余弦定理在平面几何问题中的应用. 通过这节课，让学生能把一些简单的平面几何中的边角关系问题，应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式来解决。激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想，解决数学问题的能力。

【教学重点】

正、余弦定理在三角形形状判断、三角形、四边形长度求解、三角形角度问题、三角形面积、周长相关问题中的应用

【教学难点】

具体几何问题的分析与转化

复习回顾

（1）正弦定理、三角形面积公式：

；

．

（2）正弦定理的变形：

①；

②；

③．

（3）余弦定理：

题型1：正、余弦定理在三角形形状判断中的应用

例1.（1）在中，已知，试判断该三角形的形状．

（2）在△ABC中，若sinA＝，试判断△ABC的形状.

【解】（1）由正弦定理及余弦定理，

得，

所以， 

整理得 因为，

所以，因此，为等腰三角形．

（2）∵sinA＝，∴cosB＋cosC＝，

应用正、余弦定理得＋＝，

∴b（a2c2－b2）＋c（a2－b2c2）＝2bc（b＋c），

∴a2（b＋c）－（b＋c）（b2－2bc＋c2）＝2bc（b＋c）

即a2＝b2＋c2    

故△ABC为直角三角形.

【变式练习】

1.在△ABC中已知a＝2bcosC，求证：△ABC为等腰三角形.

【证明】证法一：由正弦定理得a＝

∴2bcosC＝，即2cosC·sinB＝sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC.

∴sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin（B－C）＝0，∴B－C＝nπ（n∈Z）.

∵B、C是三角形的内角，∴B＝C，即三角形为等腰三角形.

证法二：根据射影定理，有a＝bcosC＋ccosB，

又∵a＝2bcosC        ∴2bcosC＝bcosC＋ccosB   ∴bcosC＝ccosB，即 ＝.

又∵＝.  ∴＝，即tanB＝tanC

∵B、C在△ABC中，∴B＝C  ∴△ABC为等腰三角形.

证法三：∵cosC＝及cosC＝，

∴＝，化简后得b2＝c2.   ∴b＝c   ∴△ABC是等腰三角形.

2.在△ABC中，若a2tanB=b2tanA，试判断△ABC的形状.

【解】解法一：∵a2tanB=b2tanA，

∴＝＝     ①    

由正弦定理得＝  ②

由余弦定理得

cosB＝,   ③    

cosA＝,   ④

把②③④式代入①式得

＝＝，

整理得（a2－b2）（c2－a2－b2）＝0，∴a＝b或a2＋b2＝c2. 

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.

解法二：由已知及正弦定理可得

（ksinA）2＝（ksinB）2，

∴2sinAcosA＝2sinBcosB      

 ∴sin2A＝sin2B

∴2A＝2B或2A＝π－2B   即A＝B或A＋B＝ 

∴△ABC是等腰或直角三角形.

题型2：正、余弦定理在三角形、四边形长度求解中的应用

例2.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长.

【解】设BC边为x，则由D为BC中点，可得BD＝DC＝，

在△ADB中，cosADB＝＝

在△ADC中，cosADC＝＝

又∠ADB＋∠ADC＝180°  ∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC.

∴＝－  解得，x＝2  所以，BC边长为2.

例3. 如图，在四边形中，已知,，, , ，

求的长.

【解】在中，设，

则，    

即，   

∴，

∴，（舍去），

由正弦定理：，

∴．

【变式练习】

1.在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB.

【解】在△ADC中，

cosC＝＝＝，

又0＜C＜180°，∴sinC＝

在△ABC中，＝

∴AB＝AC＝··7＝.

题型3：正、余弦定理在三角形角度问题中的应用

例4.用余弦定理证明：在中，当为锐角时，；当为钝角时，．

【证】当为锐角时，，

由余弦定理，得，

即  ．

同理可证，当为钝角时，

【变式练习】

中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，求最大角的余弦值.

【解】①设三边， 且，

∵为钝角，  ∴，解得，

∵， ∴或，但时不能构成三角形应舍去，

当时，；

例5．在锐角中，则的值等于        ，的取值范围为        .    

【解】设由正弦定理得

由锐角得，

又，故，

【变式练习】

1.在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝sinAsinC，求B的度数.

【解】由定理得sin2B＝sin2A＋sin2C－2sinAsinCcosB 

∴－2sinAsinCcosB＝sinAsinC    ∵sinAsinC≠0，∴cosB＝－   ∴B＝150°

题型4：正、余弦定理在三角形面积、周长相关问题中的应用

例6. 三角形ABC中有两个角分别为300和450， ，求⊿ABC的面积。

【解】由条件知三角形的第三个角为1050，设三角形外接圆半径为，则

.

【变式练习】

1.半径为1的圆内接三角形的面积为0.25，求此三角形三边长的乘积.

【解】设△ABC三边为a，b，c.   则S△ABC＝acsinB

∴＝＝

又＝2R，其中R为三角形外接圆半径

∴＝ ∴abc＝4RS△ABC＝4×1×0.25＝1    所以三角形三边长的乘积为1.

例7.如图，在△ABC中，AB＝4 cm，AC＝3 cm，角平分线AD＝2 cm，求此三角形面积.

【解】在△ABC中，S△ABC＝S△ADB＋S△ADC，

∴AB·ACsinA＝·AC·AD·sin＋·AB·ADsin

∴·4·3sinA＝·3·2sin，∴6sinA＝7sin∴12sincos＝7sin

∵sin≠0，∴cos＝，又0＜A＜π，∴0＜＜

∴sin＝＝，∴sinA＝2sincos＝，

∴S△ABC＝·4·3sinA＝（cm2）.

【变式练习】

1.已知三角形的一个角为60°，面积为10cm2，周长为20 cm，求此三角形的各边长.

【解】设三角形的三边长分别为a、b、c，B＝60°，则依题意得

    ∴

由①式得b2＝［20－（a＋c）］2＝400＋a2＋c2＋2ac－40（a＋c）    ④

将②代入④得400＋3ac－40（a＋c）＝0   再将③代入得a＋c＝13

由，解得或  ∴b1＝7，b2＝7

所以，此三角形三边长分别为5 cm，7 cm，8 cm.

小结：

一.知识脉络

二.应用正、余弦定理解决三角形、四边形相关问题主要思路

根据所给条件确定三角形的形状，主要有两条途径：(1)化边为角；(2)化角为边．

常见具体方法有：

①通过正弦定理实施边角转换；

②通过余弦定理实施边角转换；

③通过三角变换找出角之间的关系；

④通过三角函数值符号的判断及正、余弦函数有界性的讨论；另外要注意为锐角，为直角，为钝角．