人教B版 (2019)必修 第四册11.1.6 祖暅原理与几何体的体积学案
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11.1.6 祖暅原理与几何体的体积 1.了解柱体、锥体、台体和球的体积计算公式.2.能够运用柱体、锥体、台体、球的体积公式求简单几何体的体积.3.台体的体积及简单几何体的体积计算.重点:了解柱体、锥体、台体和球的体积计算公式,并能够运用体积公式求简单几何体的体积;难点:台体的体积及简单几何体的体积计算1.祖暅原理(1)“幂势既同,则积不容异”,即“夹在两个平行平面间的两个几何体,如果被平行于这两个平面的任意平面所截,两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等”.(2)作用:等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等.2.柱体、锥体、台体和球的体积公式其中S′、S分别表示上、下底面的面积,h表示高,r′和r分别表示上、下底面圆的半径,R表示球的半径.名称体积(V)柱体棱柱Sh圆柱πr2h锥体棱锥Sh圆锥πr2h台体棱台h(S++S′)圆台πh(r2+rr′+r′2)球πR3 试一试1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm、4cm、5cm,则长方体的体积为 ( )A.27 cm3 B.60 cm3C.64 cm3 D.125 cm32.圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其体积为( )A.15π B.30C.12π D.36π3.正方体的表面积为96,则正方体的体积为( )A.48 B.64C.16 D.964.若一个球的直径是12 cm,则它的体积为________cm3.一、 情境与问题在小学时我们就已经学过,一个几何体所占空间的大小称为这个几何体的体积,长方体的体积,圆柱的体积都等于底面积乘以高。下面我们探讨其他几何体体积的求法。 同一摞书挡改变摆放书的形式时,这摞书的总体积是否会改变?由此能得到有关体积的什么结论?1:祖暅原理祖暅简介祖暅,字景烁,祖冲之之子,范阳郡蓟县人(今河北省涞源县人),南北朝时代的伟大科学家。祖暅在数学上有突出贡献,他在实践的基础上,于5世纪末提出了体积的计算原理。祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”。“势”即是高,“幂”即是面积。祖暅原理的提出要比其他国家的数学家早一千多年。在欧洲直到17世纪,才有意大利数学家卡瓦列里提出上述结论。1.祖暅原理:幂势既同,则积不容异.2.含义:夹在两个平行平面间的两个几何体,如果被平行于这两个平面的任意平面所截,两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积一定相等. 1.夹在两个平行平面间的三棱锥和三棱柱,如果它们的底面积相等,那么这两个几何体的体积是否相等?2.若三棱柱ABC-A1B1C1与圆柱O′O的高相等,且△ABC的面积与底面圆O的面积相等,那么它们的体积是否相等?2:柱体的体积探究:如图,下面是底面积都等于S,,高都等于h的任意棱柱,圆柱和长方体,你能用祖暅原理推导柱体的体积公式吗?(1)结论:等底面积、等高的两个柱体,体积相等.(2)体积:如果柱体的底面积为S,高为h,则柱体的体积计算公式为V柱体=Sh.3:锥体的体积探究:棱锥和圆锥的体积如何计算?如图所示,当锥体被平行于底面的平面所截时,得到的截面与底面相似,即而且相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离纸币,因此截面与底面的面积之比:(1)结论:等底面积、等高的两个锥体,体积相等.(2)体积:如果锥体的底面积为S,高为h,则椎体的体积计算公式为V椎体=Sh. 如图所示的直三棱柱可以分成3个三棱锥,所得到的,3个三棱锥的体积之间有什么关系?由此能得到三棱锥的体积计算公式吗?例1.如图所示,长方体中,求棱锥的体积和长方体的体积之比. 4:台体的体积探究:棱台、圆台的体积如何求解?例2.已知四棱台上下底面面积分别为,而且高为,求这个棱台的体积。 台体(棱台与圆台)的体积:如果台体的上、下底面面积分别为S1、S2,高为h,则台体的体积计算公式为V台体=(S2++S1)h.1.已知棱台的上、下底面面积分别为4,16,高为3,则棱台的体积为________.思考:柱体、锥体、球体的体积有什么关系? 5:球的体积(1)你能想办法测出一个乒乓球的体积吗?(2)如图所示是底面积和高都相等的两个几何体,左边是半球,右边是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分,用平行于半球与圆柱底面的平面去截这两个几何体,分别指出截面的形状,并讨论两个截面面积的大小关系,由此你能得到球的体积公式吗?如果球的半径为R,那么球的体积计算公式为V球=1.若将球的半径扩大到原来的2倍,则它的体积增大到原来的( )A.2倍 B.4倍 C.8倍 D.16倍 6:组合体1.概念:由简单几何体组合而成的几何体一般称为组合体.常见的组合体大多是由 柱、锥、台、球等几何体组成的.2.求组合体的体积(或表面积)时,只需要算出其中每个几何体的体积(或表面积),然后再处理即可.例5.如图所示,某铁质零件由一个正四棱柱和一个球组成,已知正四棱柱底面边长与球的直径均为1cm,正四棱柱的高位2cm,现有这种零件一盒共50kg,取铁的密度位(1)估计有多少个这样的零件?(2)如果要给这盒两件的每个零件表面涂上一种特殊的材料,则需要能涂多少平方厘米的材料(球和棱柱接口处面积不计,结果精确到1)?1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的某个平面所截,如果截得的两个截面面积相等,则这两个几何体的体积相等. ( )(2)锥体的体积只与底面积和高度有关,与其具体形状无关. ( )(3)由V锥体=S·h,可知三棱锥的任何一个面都可以作为底面. ( )2.两个半径为1的铁球,熔化成一个大球,这个大球的半径为( )A.2 B.C. D.3.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π,那么圆柱的体积等于( )A.π B.2π C.4π D.8π4.已知圆锥SO的高为4,体积为4π,则底面半径r=________.5.一个正三棱锥底面边长为6,侧棱长为,求这个三棱锥体积.6.如图所给图形及数据(单位:cm),求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.1.对柱体、锥体、台体的体积公式的四点说明(1)等底、等高的两个柱体的体积相同.(2)等底、等高的锥体和柱体的体积之间的关系可以通过实验得出,等底、等高的柱体的体积是锥体的体积的3倍.(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系(4)求台体的体积转化为求锥体的体积.根据台体的定义进行“补形”,还原为锥体,采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积.参考答案:知识梳理试一试1.B [长方体的体积为3×4×5=60(cm3).]2.C [圆锥的高h==4,故V=π×32×4=12π.]3.B [设正方体的棱长为a,则6a2=96,解得a=4,所以正方体的体积为a3=64.]4. 288π [由题意,知球的半径R=6 cm,故其体积V=πR3=×π×63=288π(cm3).]学习过程1. 解答:被平行于这两个平面的任意平面所截时,三棱锥和三棱柱不满足两个截面的面积总相等,故这两个几何体的体积不相等.2. 解答:根据祖暅原理,知三棱柱ABC-A1B1C1与圆柱O′O的体积相等.例1解:已知的长方体可以看成直棱柱,设它的底面面积为S,高为h,则长方体的体积为: 因为棱锥可以看成棱锥,且的面积为,棱锥的高为h,所以 因此所求体积比为.例2. 解:如图所示,讲四棱台看成从棱锥中截去所得到的,且设两个棱锥的高分别为与由已知有: 再由,因此可得: 从而可知棱台的体积为: 1.答案:28 V=(4+16+8)×3=28.思考: 5:球的体积解答:如图,左图的截面为半径为的圆,右图的截面分别为半径为的两个同心圆环由于右图的圆环面积为 即左右两图的截面面积始终相等,有祖暅原理,左右两个立体图形的体积相等即: 如果球的半径为R,那么球的体积计算公式为V球=1. 答案:C 设球原来的半径为r,体积为V,则V=πr3,当球的半径扩大到原来的2倍后,其体积变为原来的23=8倍.例5. 解:(1)每个零件的体积为: 因此每个零件的质量为:因此可估计出零件的个数为:.(2)每个零件的表面积为: 因此零件的表面积之和约为: 即需要能涂33389的材料 达标检测1.[答案] (1)× (2)√ (3)√2.C [设熔化后的球的半径为R,则其体积是原来小球的体积的2倍,即V=πR3=2×π×13,得R=.]3.B [设轴截面正方形的边长为a,由题意知S侧=πa·a=πa2.又∵S侧=4π,∴a=2.∴V圆柱=π×2=2π.]4. [由已知得4π=πr2×4,解得r=.]5. [解] 如图所示,正三棱锥SABC. 设H为正三角形ABC的中心,连接SH,则SH的长即为该正三棱锥的高.连接AH并延长交BC于E,则E为BC的中点,且AE⊥BC.∵△ABC是边长为6的正三角形,∴AE=×6=3.∴AH=AE=2.在△ABC中,S△ABC=BC·AE=×6×3=9.在Rt△SHA中,SA=,AH=2,∴SH===.∴V正三棱锥=S△ABC·SH=×9×=9.6. 解 由题意知,所求旋转体的表面积由三部分组成:圆台下底面、侧面和半个球面.S半球=8π,S圆台侧=35π,S圆台底=25π.故所求几何体的表面积为68π cm2,由V圆台=×(π×22++π×52)×4=52π(cm3),V半球=π×23×=π (cm3),所以所求几何体的体积为V圆台-V半球=52π-π=π (cm3).
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