数学必修 第四册11.4.1 直线与平面垂直第2课时教学设计

这是一份数学必修 第四册11.4.1 直线与平面垂直第2课时教学设计，共13页。教案主要包含了教学重点，教学难点，对点快练，变式训练，变式练习等内容，欢迎下载使用。
11.4.1 直线与平面垂直（2）直线和平面垂直的概念是立体几何的重要内容之一，直线与平面的定义的引入完善了直线和平面的位置关系，是学生在学习了平面和直线的定义及相关定理之后，对直线和平面的位置关系做的进一步研究。它也是空间中线线垂直、面面垂直关系的一个交汇点，搞好本节课的学习，对学生全面掌握线线关系、线面关系乃至创新能力的培养都具有十分重要的意义，同时也对学好下一节面面垂直的判定和性质做了很好的铺垫。直线与平面垂直关系的关键是根据线与面之间的互化关系，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力。考点教学目标核心素养直线与平面垂直的性质定理掌握直线与平面垂直的性质及其性质定理，利用性质定理解决有关垂直与平行的相互转化问题．直观想象、数学抽象和逻辑推理线面角的定义掌握直线和平面所成的角的定义，并会利用定义求解简单的线面角直观想象、数学抽象和逻辑推理、数学运算点到平面的距离了解点到面距离的定义，并会求解点到平面的距离直观想象、数学抽象和逻辑推理、数学运算三垂线定理了解并会证明三垂线定理，并会利用定理判定异面直线的垂直关系直观想象、数学抽象和逻辑推理【教学重点】直线与平面垂直的性质定理、线面角的定义、点到平面的距离、三垂线定理【教学难点】线面关系的互相转化复习回顾：1．直线与平面垂直的定义(1)文字叙述：如果直线l与平面α内过它们公共点的所有直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)符号表示：l⊥a⇔∀m⊂α，l⊥m.(3)图形表示：2．判定定理(1)文字叙述：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．(2)图形语言：(3)符号语言：如果m⊂α，n⊂α，m∩n≠∅，l⊥m，l⊥n，则l⊥α.(4)作用：证明直线与平面垂直.问题1：直线与平面垂直的性质定理知识点1．性质定理1        (1)文字叙述：如果两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(2)图形语言：(3)符号表示：如果l∥m，l⊥α，则m⊥α.证明：要证明这个结论，只要证明且时，能够推出即可事实上，设直线为平面内的任意两条相交直线，则由可知， 又因为，根据空间中两条直线互相垂直的定义知： 所以根据线面垂直的判定定理得 知识点2．性质定理2(1)文字叙述：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.(2)图形语言：(3)符号表示：如果l⊥α，m⊥α，则l∥m.证明：如图所示，，设 假设直线不与直线平行，则过点O可作直线与平行，由线面垂直得性质定理可知。因为，所以与能确定一个平面，记为，设 由可知这样一来，在平面内，过点O有两条不同得直线都与直线a垂直，这是不可能得。因此假设不成立，即 上述证明过程也说明，过空间中一点，有且仅有一条直线与已知平面垂直。【对点快练】1．思考辨析(1)垂直于同一条直线的两直线平行．(　　)(2)垂直于同一条直线的两直线垂直．(　　)(3)垂直于同一个平面的两直线平行．(　　)(4)垂直于同一条直线的一条直线和平面平行．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线l⊥平面A1B1C1D1(l与棱不重合)，则(　　)A．B1B⊥l B．B1B∥lC．B1B与l异面 D．B1B与l相交答案：B　因为B1B⊥平面A1B1C1D1，又l⊥平面A1B1C1D1，则l∥B1B．例1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上的一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．[分析]　欲证MN∥AD1，只需证出MN，AD1垂直于同一个平面即可，由题目中的条件可知，只需证出AD1⊥平面A1DC；欲证M为AB的中点，只需证出AM＝AB＝DC＝ON即可．证明　(1) ∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴AD1⊥A1D．又∵CD⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC．又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.(2)设AD1∩A1D＝O，连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC． ∴ONCDAB，∴ON∥AM.又∵MN∥OA，∴四边形AMNO为平行四边形，∴ON＝AM.∵ON＝AB，∴AM＝AB，∴M是AB的中点．直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．【变式训练】　如图，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.证明　如图所示，连接AB1、B1D1、B1C、BD，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC．又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C．∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C．又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.问题2：直线与平面所成角引入：斜拉桥又称斜张桥,是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁,是由承压的塔、受拉的索和承弯的梁体组合起来的一种结构体系.其可看作是拉索代替支墩的多跨弹性支承连续梁.其可使梁体内弯矩减小,降低建筑高度,减轻了结构重量,节省了材料.斜拉桥由索塔、主梁、斜拉索组成.(1)图中拉索所在直线与桥面都是相交的关系,其倾斜程度相同吗?提示:不同.(2)能用角来表示直线与平面相交时不同的倾斜程度吗?提示:能.(3)直线与平面所成的角是空间角,能和异面直线所成角一样把空间角转化为平面角吗?提示:能.知识点：直线与平面所成角(1)垂线段、斜线段：如果A是平面α外一点，B是平面α内一点，则AB⊥α时，AB是平面α的垂线段．如果C是平面α内一点，且AC与α不垂直，则称AC是平面α的斜线段(相应地，直线AC称为平面α的斜线)，称C为斜足.如图所示．(2)直线与平面所成的角：如图，AB是平面α的垂线段，AC是平面α的斜线段，直线BC称为直线AC在平面α内的射影，∠ACB称为直线AC与平面α所成的角．如图所示．（3）一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角等于90°;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角等于0°.因此,直线与平面所成的角的范围是 【对点快练】1．如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，则PD与平面ABCD所成的角为图中的(　　)A．∠PAD B．∠PDAC．∠PDB D．∠PDC答案：B　∵PA⊥平面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD上的射影，故∠PDA是PD与平面ABCD所成的角．2. 如图所示,若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍,则AB与平面α所成的角是(　　)A.60° 　　　　　B.45°C.30° 　　　　　D.120°解析:∠ABO即斜线AB与平面α所成的角,在Rt△AOB中,AB=2BO,所以cos∠ABO= ,即∠ABO=60°.答案:A3.如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角等于　　　　　. 解析:因为PA⊥平面ABC,所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB,所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角.在△PAB中,∠BAP=90°,PA=AB,所以∠PBA=45°,即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.答案:45°问题3.点到平面的距离利用线面垂直，可以找出点到平面的距离，从而求出一般几何体的高，进而得到几何体的体积等.另外，因为直线与平面平行时直线与平面的距离，以及两平行平面之间的距离，都是通过点到平面的距离来定义，所以我们也可以利用点到平面的距离来求出直线与平面的距离，以及两平行平面之间的距离.例1.如图所示,已知P为△ABC外一点,PA,PB,PC两两垂直,PA=PB=PC=a,求点P到平面ABC的距离.证明:过点P作PO⊥平面ABC于点O,连接AO,BO,CO,所以PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC.因为PA=PB=PC=a,所以△PAO≌△PBO≌△PCO.所以OA=OB=OC,所以O为△ABC的外心.因为PA,PB,PC两两垂直,所以AB=BC=CA=a,所以△ABC为正三角形,所以OA=AB=a,所以PO=a.所以点P到平面ABC的距离为a.例2.如图所示三棱锥中，，且，，求三棱锥的体积。分析：为了求出这个三棱锥的体积，关键是作出三棱锥的高，也就是找到S在底面的射影解：设S在底面的射影为O，则由，由，即I为的外心，又因为是直角三角形，所以O是线段AC的中点因为 所以，又因为是直角三角形，从而 因此所求体积为：  【变式练习】在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,PA⊥平面ABCD,且PA=1,取对角线BD上一点E,连接PE,PE⊥DE,则PE的长为　　　　　. 解析:如图所示,连接AE.因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.又因为BD⊥PE,PA∩PE=P,所以BD⊥平面PAE,所以BD⊥AE.所以AE=.所以在Rt△PAE中,由PA=1,AE=,得PE=.问题4：三垂线定理例4.如图所示，已知AB是平面的一条垂线，AC是平面的一条斜线，，求证： 证明：因为，所以又因为且，所以面ABC而且面ABC，所以 例4的结果可以简述为“平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线”知识点：三垂线定理(1)平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线；平面内垂直于斜线的直线也垂直于射影．(2)图形语言：(3)已知AB⊥α，AC是平面α的一条斜线，l⊂α，①若l⊥BC，则l⊥AC；②若l⊥AC，则l⊥BC．【对点快练】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线AC与体对角线D1B的位置关系是(　　)A．平行 B．垂直C．相交 D．以上都有可能答案：B　因为D1D⊥平面ABCD，AC⊥BD，所以AC⊥D1B． 小结：1．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据；2．求线面角的关键是找直线在相应平面内的射影，并借助直角三角形的边角关系求线面角；3. 三垂线定理：平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线；平面内垂直于斜线的直线也垂直于射影，在异面直线的垂直证明中起着重要的作用；