高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步11.4 空间中的垂直关系11.4.1 直线与平面垂直第2课时教学设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步11.4 空间中的垂直关系11.4.1 直线与平面垂直第2课时教学设计，共21页。教案主要包含了温故知新，达标检测，小结，课时练等内容，欢迎下载使用。
11.4.1 直线与平面垂直 (2)    本节《普通高中课程标准数学教科书-必修四（人教B版）第十一章《11.4.1直线与平面垂直 (2)》， 本节课要学的内容为直线与平面垂直的性质、直线与平面所称的角、直线与平面垂直的综合的应用。引导学生从生活中的实例出发，通过观察、分析归纳、推理论证等过程。获得线面角的概念及直线与垂直的性质，并能简单应用。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。课程目标学科素养A.掌握线面垂直的性质定理，并能应用．B.掌握直线与平面所成角的定义C.理解三垂线定理并能灵活应用。D.灵活运用直线与平面垂直的判定定理和性质定理处理空间垂直问题． 1.数学抽象： 直线与平面垂直的判定定理2.逻辑推理：直线与直线与平面垂直判定定理的证明3.直观想象：异面直线所成的角 4.数学建模：常见的直线与平面垂直的证明方法1.教学重点：掌握线面垂直的性质定理；直线与平面所成角的定义; 2.教学难点： 灵活运用直线与平面垂直的判定定理和性质定理处理空间垂直问题.多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、温故知新1．直线与平面垂直的定义文字语言图形语言符号语言如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足l⊥α⇔mα，l⊥m.3.直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直⇒l⊥α 尝试与发现1：直线与平面垂直的性质定理(1)文字叙述：如果两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(2)图形语言：(3)符号表示：如果l∥m，l⊥α，则m⊥α.如果直线垂直于一个平面，直与直线平行，那么直线与平面是否垂直？利用合适的实物演示，猜测结果并说明理由证明：要证明这个结论，只要证明且时，能够推出即可,事实上，设直线为平面内的任意两条相交直线，则由可知， 又因为，根据空间中两条直线互相垂直的定义知： 所以根据线面垂直的判定定理得 (3)符号表示：如果l∥m，l⊥α，则m⊥α.性质定理2(1)文字叙述：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.(2)图形语言：(3)符号表示：如果l⊥α，m⊥α，则l∥m.     如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线具有怎样的位置关系？利用合适的实物演示,猜测结果并说明理由. (3)符号表示：如果l⊥α，m⊥α，则l∥m.证明：如图所示，，设 假设直线不与直线平行，则过点O可作直线与平行，由线面垂直得性质定理可知。因为，所以与能确定一个平面，记为，设 ,由可知这样一来，在平面内，过点O有两条不同得直线都与直线a垂直，这是不可能得。因此假设不成立，即 上述证明过程也说明，过空间中一点，有且仅有一条直线与已知平面垂直。1．思考辨析(1)垂直于同一条直线的两直线平行．(　　)(2)垂直于同一条直线的两直线垂直．(　　)(3)垂直于同一个平面的两直线平行．(　　)(4)垂直于同一条直线的一条直线和平面平行．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线l⊥平面A1B1C1D1(l与棱不重合)，则(　　)A．B1B⊥l B．B1B∥l       C．B1B与l异面 D．B1B与l相交答案：B　因为B1B⊥平面A1B1C1D1，又l⊥平面A1B1C1D1，则l∥B1B．例1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上的一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．[分析]　欲证MN∥AD1，只需证出MN，AD1垂直于同一个平面即可，由题目中的条件可知，只需证出AD1⊥平面A1DC；欲证M为AB的中点，只需证出AM＝AB＝DC＝ON即可．证明　(1) ∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴AD1⊥A1D．又∵CD⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC．又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.(2)设AD1∩A1D＝O，连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC．∴ONCDAB，∴ON∥AM.又∵MN∥OA，∴四边形AMNO为平行四边形，∴ON＝AM.∵ON＝AB，∴AM＝AB，∴M是AB的中点．直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．跟踪训练1. 如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E∈平面ABCD,F∈平面A1B1C1D1,且EF⊥平面ABCD.求证:EF∥AA1.证明:∵AA1⊥AB,AA1⊥AD,且AB∩AD=A,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,∴AA1⊥平面ABCD.又∵EF⊥平面ABCD,∴EF∥AA1.2：直线与平面所成角       斜拉桥又称斜张桥,是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁,是由承压的塔、受拉的索和承弯的梁体组合起来的一种结构体系.其可看作是拉索代替支墩的多跨弹性支承连续梁.其可使梁体内弯矩减小,降低建筑高度,减轻了结构重量,节省了材料.斜拉桥由索塔、主梁、斜拉索组成.  (1)图中拉索所在直线与桥面都是相交的关系,其倾斜程度相同吗?提示:不同.2)能用角来表示直线与平面相交时不同的倾斜程度吗?提示:能.(3)直线与平面所成的角是空间角,能和异面直线所成角一样把空间角转化为平面角吗?提示:能.直线与平面所成的角(1)斜线：与平面α    ，但不和平面α     ，图中         ．(2)斜足：斜线和平面的     ，图中     ．(3)射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引    ，过    和______的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为          .相交；垂直；直线PA；交点；点A；斜足；直线；AO垂线；垂足；(4)直线与平面所成的角：①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角．②规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是      ；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是        ．(5)取值范围：              .0°≤θ≤90°；直角；0°的角1．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是(　　)A．60°        B．45°        C．30°    D．120°A　[由题意知，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，BO＝AB，所以∠ABO＝60°.]2.如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角等于　　　　　. 解析:因为PA⊥平面ABC,所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB,所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角.在△PAB中,∠BAP=90°,PA=AB,所以∠PBA=45°,即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.答案:45°1．求斜线与平面所成角的步骤(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．例2.如图所示三棱锥中，，且，，求三棱锥的体积。分析：为了求出这个三棱锥的体积，关键是作出三棱锥的高，也就是找到S在底面的射影解：设S在底面的射影为O，则由，由，即I为的外心，又因为是直角三角形，所以O是线段AC的中点因为 所以，又因为是直角三角形，从而 因此所求体积为：  点到平面的距离      利用线面垂直，可以找出点到平面的距离，从而求出一般几何体的高，进而得到几何体的体积等.另外，因为直线与平面平行时直线与平面的距离，以及两平行平面之间的距离，都是通过点到平面的距离来定义，所以我们也可以利用点到平面的距离来求出直线与平面的距离，以及两平行平面之间的距离.1.如图所示,已知P为△ABC外一点,PA,PB,PC两两垂直,PA=PB=PC=a,求点P到平面ABC的距离. 证明:过点P作PO⊥平面ABC于点O,连接AO,BO,CO,所以PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC.因为PA=PB=PC=a, 所以△PAO≌△PBO≌△PCO.所以OA=OB=OC,所以O为△ABC的外心.因为PA,PB,PC两两垂直,所以AB=BC=CA=a,所以△ABC为正三角形,所以OA=AB=a,所以PO=a.所以点P到平面ABC的距离为a.三垂线定理例4.如图所示，已知AB是平面的一条垂线，AC是平面的一条斜线，，求证： 证明：因为，所以又因为且，所以面ABC而且面ABC，所以 例4的结果可以简述为“平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线”三垂线定理(1)平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线；平面内垂直于斜线的直线也垂直于射影．(2)图形语言：(3)已知AB⊥α，AC是平面α的一条斜线，l⊂α，①若l⊥BC，则l⊥AC；②若l⊥AC，则l⊥BC．   通过对直线与平面垂直及其判定定理的回顾，引出直线与平面垂直的性质定理。发展学生数学抽象和直观想象的核心素养。                                                                                                                                                                                                       由生活实例出发，让学生经历直观想象，分析概括，获得线面角的概念。发展学生数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养。                                    通过定理思辨，提升学生对定理的准确理解和应用能力，发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。                                                           通过典例分析，提高学生对线面垂直证明的应用能力，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。             三、达标检测1.下列说法中错误的个数是(　　)①若直线m∥平面α，直线l⊥m，则l⊥α；②若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α必相交；③过平面α外一点有且只有一条直线和平面α垂直；④过直线a外一点有且只有一个平面和直线a垂直．A．0       B．1　　　C．2　　　　 D．3C [(1)①错误．若直线m∥平面α，直线l⊥m，则l与α平行、相交或l在α内都有可能；②错误．若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α平行、相交或l在α内都有可能；③④正确．2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线AC与体对角线D1B的位置关系是(　　)A．平行    B．垂直      C．相交    D．以上都有可能答案：B　因为D1D⊥平面ABCD，AC⊥BD，所以AC⊥D1B．3．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中AB1与平面ADD1A1所成的角等于________，AB1与平面DCC1D1所成的角等于________．45°　0°　[∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1与平面DCC1D1平行，即所成的角为0°.]4.在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,PA⊥平面ABCD,且PA=1,取对角线BD上一点E,连接PE,PE⊥DE,则PE的长为　　　　　. 解析:如图所示,连接AE.因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.又因为BD⊥PE,PA∩PE=P,所以BD⊥平面PAE,所以BD⊥AE.所以AE=.所以在Rt△PAE中,由PA=1,AE=,得PE=.5.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;(2)求证:AE⊥平面PCD. (1)解:在四棱锥P-ABCD中,因为PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以PA⊥AB.又AB⊥AD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD.所以PB在平面PAD内的射影为PA,即∠APB为PB和平面PAD所成的角.在Rt△PAB中,AB=PA,故∠APB=45°.(2)证明:在四棱锥P-ABCD中,因为PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥PA.因为CD⊥AC,PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC,所以AE⊥CD.由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.因为E是PC的中点,所以AE⊥PC.又PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD.  通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学直观、逻辑推理、数学建模的核心素养。    四、小结1．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据；2．求线面角的关键是找直线在相应平面内的射影，并借助直角三角形的边角关系求线面角；3. 三垂线定理：平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线；平面内垂直于斜线的直线也垂直于射影，在异面直线的垂直证明中起着重要的作用；五、课时练  通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。 本课从生活实例出发，引导学生观察抽象，获得线面角的概念及直线与平面垂直的性质定理。从而发展学生的逻辑推理、数学建模和直观想象的核心素养。教学中要注重学生的主体地位，调动学生积极性，使数学教学成为数学活动的教学。