人教B版 (2019)必修 第四册10.3 复数的三角形式及其运算教学设计

10.3 复数的三角形式及运算(1)

复数的三角形式把向量和复数的模有机的结合起来，使得复数的内容更加充实、生动、形象，是复数代数内容的升华，教材联系了复数的代数形式，并把它与三角形式相融合，两种形式互化，可以使知识体系更加完备、灵活。另外，复数的三角形式是其乘法、除法、乘方、开方运算的基础，教材从引入到实例的设置由浅入深，层层深入，逐步引导学生去体会，学习。教学中注意教材的内容设置，把教材，分析教材，灵活处理教材与学生的实际相结合。可以说，复数的三角形式是承接复数代数形式的同时，也是后面复数三角形式运算打下伏笔和基础，因此，复数的三角形式在复数的教学中显得至关重要。

【教学重点】

复数的三角表示、复数乘法运算的三角表示及其几何意义

【教学难点】

复数乘法运算的三角表示及其几何意义

复习回顾：

复数的几何意义及复数的模：

复数z=a+bi有序实数对（a，b）点Z（a，b）向量

设复数z=a+bi （a，b∈R）对应的向量为，则向量的长度叫做复数a+bi的模（或绝对值），记作

|a+bi|=.

练习：求下列复数的模

（1）   （2）   （3）   （4）    (5)

（6）   （7）   （8）   （9）    (5)

问题1：复数的三角形式定义

设复数在复平面内对应的点为Z，

（1）写出Z的坐标，并在图中描出点Z的位置，作出向量；

（2）记r为向量的模，是以x轴正半轴为始边，射线为终边的一个角，求r得值，并写出的任意一个值，探讨与的实部、虚部之间的关系.

答案：（1）    （2）

一般地，如果非零复数在复平面内对应点，且为向量的模，是以x轴正半轴为始边，射线OZ为终边的一个角，则

根据任意角余弦、正弦地定义可知：

因此：

从而称为非零实数的三角形式（对应的称为复数的代数形式），其中称为的辐角.

显然，任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍.

特别地，在［0，2π）内的辐角称为z的辐角主值，记作arg z.

例1.写出复数z＝1+i的三角形式.

解：方法1：因为|z|＝＝2，cos θ＝ ，sin θ＝，

所以可取θ＝arg z＝，从而z＝1+i的三角形式为

z＝.

方法2：

注:(1)为了求出一个非零复数的三角形式，只要求出这个复数的模，然后再找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可.

(2)因为 0＝0（cos θ+isin θ），

其中θ可以为任意值，所以我们也称上式为复数0的三角形式.这样一来，任意复数都可以写成三角形式了.

例2.把下列复数的代数形式改写成三角形式

（1）   （2）    （3）

解：由题意可知：

（2）因为2i在复平面内所对应的点在y轴的正半轴上，所以可知：

从而可知：

（3）因为-1在复平面内所对应的点在y轴的正半轴上，所以可知：

从而可知：

练习：

1.复数的三角形式为          

答案：

2.复数化为三角形式

答案：

3.写出下列复数的辐角主值

（1）   （2）

解：（1）因为r＝＝2，所以cos θ＝ sin θ＝

又因为θ∈［0，2π），所以其辐角主值θ＝π.

（2）当a>0时，r＝a，cos θ＝0，sin θ＝-1，其辐角主值θ＝；

当a＝0时，其辐角主值θ＝0；

当a<0时，r＝-a，cos θ＝0，sin θ＝1，其辐角主值θ＝.

例3.将复数化为代数形式为         

解：＝＝+i.

练习：

1.复数对应的点在第          象限

2.已知，则对应的点在第          象限

答案：一、一

问题2：复数的乘法的三角表示及几何意义

设z1＝r1（cos θ1+isin θ1），z2＝r2（cos θ2+isin θ2），试求出z1z2.

z1z2＝r1（cos θ1+isin θ1）×r2（cos θ2+isin θ2）

＝r1r2［（cos θ1cos θ2-sin θ1sin θ2）+i（sin θ1cos θ2+cos θ1sin θ2）］

＝r1r2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］.

由此，我们可得到复数三角形式的乘法法则：

r1（cos θ1+isin θ1）×r2（cos θ2+isin θ2）＝r1r2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］.

注：z1的模乘以z2的模等于z1z2的模（简记：模相乘），z1的辐角与z2的辐角之和是z1z2的辐角

（简记：辐角相加）

例如.×

 ＝＝.

设对应的向量分别为，将绕原点旋转，再将的模变为原来的倍，如果所得向量为则对应的复数为，如图所示.

当时，按逆时针方向旋转角，当时，按顺时针方向旋转角

因为，所以一个复数与i相乘，从向量的角度来说，就相当于把这个复数对应的向量绕原点沿逆时针方向旋转，如图所示.

上述两个复数三角形式的乘法及其几何意义，可以推广到有限个复数的三角形式相乘.

特别地，如果，则：

例5. ×=                       

解：×

＝＝

＝+.

练习：

1.计算：

（1）=                   

（2）=                   

答案：（1） （2）

2.设z为复数，且z的辐角主值为，z-2的辐角主值为，则复数z为                   

答案：

小结：

1.复数的三角形式

z＝a+bi＝r（cos θ+isin θ）的右边称为非零复数z＝a+bi的三角形式，其中的θ称为z的辐角.

在［0，2π）内的辐角称为z的辐角主值，记作arg z.

为了求出一个非零复数的三角形式，只要求出这个复数的模，然后再找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可.

2.复数三角形式的乘法法则

r1（cos θ1+isin θ1）×r2（cos θ2+isin θ2）＝r1r2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］.

模相乘，辐角相加.