高中数学人教B版 (2019)必修 第四册9.2 正弦定理与余弦定理的应用第1课时教学设计

9.2正弦定理与余弦定理的应用（1）

本节课是在学习了正弦定理和余弦定理等内容后安排的应用举例课,本课时中需要了解常用的测量相关术语（如仰角、俯角、方位角、视角等有关名词）的具体含义，应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决与距离、高度、角度等有关的实际问题，体会数学建模的基本思想，应用解三角形知识解决实际问题的一般步骤为：

（1）根据题意作出示意图；

（2）确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；

（3）选用合适的定理进行求解；

（4）给出答案.

从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等多方面，多角度培养学生分析问题解决问题的能力.

【教学重点】

1．巩固正、余弦定理的应用，熟练掌握解三角形的步骤与过程．

2.了解实际问题中所涉及的名词和一些术语.

3.会建立实际问题的三角形模型，并能运用正弦定理或余弦定理解决有关距离、高度、角度等实际问题.

【教学难点】

根据实际问题建立数学模型

复习回顾：

1.什么是解三角形，我们学了哪些相关的定理？

正弦定理：

余弦定理：

2.关于解斜三角形，你掌握了哪几种类型？

（1）已知两角和任意边，求其他两边和一角

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。(注意解的情况)

（3）已知三边求三个角；

（4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。

问题1：测量相关术语

1．实际问题中的有关术语、名称

(1)仰角和俯角

测量时，以水平线为基准，视线在水平线上方所成的角叫做仰角视线在水平线下方所成的角叫做俯角.

(2)方向角与方位角

①指北或指南的方向线与目标方向线所成的水平角(一般指锐角)叫做方向角．目标方向线的方向一般用某偏某多少度来表示.

前一个“某”是“北”或“南”，后一个“某”是“东”或“西”．如图，OA、OB、OC、OD的方向角分别表示:北偏东60°、北偏西75°、南偏西15°、南偏东40°.

②指北的方向线顺时针转到目标方向线为止的水平角，叫方位角．

(3)水平距离、垂直距离、坡面距离、坡度和坡角

如图所示，BC代表水平距离，AC代表垂直距离，AB代表坡面距离．

坡度＝.

坡面与水平面的夹角α叫做坡角．α为锐角．记坡度为i，坡角为α，水平距离为x，垂直距离为y，则它们的关系如下：i＝＝tan α.

问题2：高度问题

在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形，例如，如图所示是故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量.

假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？如果能，写出你的方案，并给出有关的计算方法，如果不能，说明理由.

如图角楼的高度问题可以转化为：用米尺与测量角度的仪器，怎么得到不便到达的两点之间的距离？

设线段AB不便到达的两点之间的距离，在能到达的地方选定位置C进行测量。用测量角度的仪器可以测量出的大小，但是因为点A，B都不便到达，所以的3条边都无法用米尺测量.

如图所示，在可到达的地方再选定一点D，并使得CD的长m能用米尺测量，用测量角度的仪器测出：

然后，利用即可求出AB的长，

首先，在中，因为，所以由正弦定理可得：

因此，同理，从可得，最后，在中，根据，利用余弦定理就可以得出AB的长.

【变式练习】

在平地上有A，B两点，A点在山CD的正东，B点在山的东南，而且B点在A点的南偏西30°的300米的地方,在A点测得山顶C的仰角是30°，求山高．

解：如图所示，山高为CD，AB＝300.

由题意知∠ADB＝45°，∠DAC＝30°,

∠DAB＝60°，

∴∠ABD＝180°－(45°＋60°)＝75°.

在△ABD中，由正弦定理，得：

＝，即＝，

∴AD＝＝150(1＋)(米)．

在Rt△ADC中，CD＝AD·tan 30°＝150(1＋)×

＝50(3＋)＝150＋50(米)．

所以山高为150＋50米．

【解题方法】

解决测量高度问题时要注意的两个问题

(1)要清楚仰角与俯角的区别及联系．

(2)测量底部不能到达的建筑物的高度问题，一般是转化为直角三角形模型，但在某些情况下，仍需根据正、余弦定理解决．

问题2：距离问题

例2.如图所示，A，B是某沼泽地上不便到达的两点，C，D是可到达的两点，已知A，B，C，D4点都在水平面上，而且已经测得

，求AB的长.

解：因为A，B，C，D4点在水平面上，所以

因此，所以在中，

在中，因为

由正弦定理可得：

因此

在中，由余弦定理可知

从而

【变式练习】

如图所示，在河岸上可以看到两个目标物M，N，但不能到达，在河岸边选取相距40 m的P，Q两点，测得∠MPN＝75°，∠NPQ＝45°，∠MQP＝30°，∠MQN＝45°，试求这两个目标物M，N之间的距离.

解：连接MN，在△PQN 中，PQ＝40，

∠PQN＝30°＋45°＝75°，∠NPQ＝45°，

∴∠PNQ＝180°－75°－45°＝60°.

根据正弦定理，得＝，

即＝.

∴NQ＝＝.

同理，在△PQM 中，MQ＝＝＝40.

在△MNQ中，根据余弦定理得

MN2＝MQ2＋NQ2－2MQ·NQ·cos∠MQN＝，

∴MN＝m.

故这两个目标物M，N之间的距离为m.

【解题方法】

正弦定理与余弦定理交汇求距离的两个关键点

(1)画示意图，弄清题目条件．

根据题意画图研究问题中所涉及的三角形，它的哪些元素是已知的，哪些元素是未知的．

(2)选准入手点．

找出已知边长的三角形,结合已知条件选准“可解三角形”,并判断是选用正弦定理，还是选用余弦定理来求解．

问题3：几何类问题

例3.如图所示，在某海滨城市A附近的海面出现台风活动，据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南方向，距城市A300km的海面点P处，并以的速度向西偏北方向移动。如果台风的影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为，将问题涉及范围内的地球表面看出平面，判断城市A是否会受到上述台风的影响，如果会，求出受影响的时间，如果不会，说明理由.

解.如图所示，设台风的中心后到达位置Q，且此时

在中，有，且

因此由正弦定理可得：

从而可得：，所以或

当时，因此；

当时，因此.

【变式练习】

某观测站C在城A的南偏西20°的方向，由城出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一 人距C为31千米正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D 处,此时CD间的距离为21千米,问这人还要走多少千米可到达A 城?

解：如图所示，

假设∠ACD＝α，∠CDB＝β，

在△CBD中，由余弦定理得

cos β＝＝＝－，

∴sin β＝.

而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β

＝×＋×＝，

在△ACD中，＝，

∴AD＝＝15(千米)．

∴这个人再走15千米就可到达A城.

【解题方法】

几何类问题的证明与求解方法

(1)将平面图形合理地分解为若干三角形．

(2)注意直角三角形、等腰三角形、等边三角形中的角角、边边关系、三角形外角及内角关系以及三角形内角和定理．

(3)将问题归结到一个或几个三角形中，结合三角恒等变换,合理地运用正、余弦定理求解．

小结：

解三角形应用题一般思路